ROULEMENT SANS GLISSEMENT VITESSE DE CONDITIONS DE RAPPEL DE COURS ETUDE DE CAS EXERCICES METHODE ANALYTIQUE 20/04/20141 Rappel de cours, roulement sans glissement ICAM NANTES

ROULEMENT ET GLISSEMENT SOL S1S1 x y x1x1 RAYON R x (t) P I Si on sintéresse à la vitesse de I Nulle ? Voir la trajectoire si la roue roule sans glisser) °(t) x ? ??? Rappel de cours, roulement sans glissement 20/04/20142

SOL S1S1 x y x1x1 RAYON R x (t) P I Si on sintéresse à la vitesse de I Nulle ? Voir la trajectoire si la roue roule sans glisser) °(t) x ? ??? Il y a 3 points I : I, point de contact entre les deux solides. Ce point nappartient à aucun solide. On lappelle aussi point coïncidant ou point géométrique. Cest la vitesse que lon obtient si on dérive le vecteur OI = (t) x. VI/0 = [d OI /dt] 0 C 20/04/20143 Rappel de cours, roulement sans glissement

SOL S1S1 x y x1x1 RAYON R x (t) I Si on sintéresse à la vitesse de I Nulle ? Voir la trajectoire si la roue roule sans glisser) °(t) x ? ??? I, point du solide S 1. Avant, ce point sappelait P. Quand ce point est au contact de lautre solide, il sappelle I. Son vecteur position est OI = (t) x + r y – r x 1 avec x 1 confondu avec – y, ce qui nous interdit de dériver pour trouver VI 1/0 ; la dérivée dune fonction nulle à linstant t (r y – r x 1 ), nest pas nulle. On utilise alors léquiprojectivité des vecteurs vitesse des points du solide S 1 /S 0 VI 1/0 = VC 1/0 + IC 1/0. I, point du solide S 0. Dans ce cas, cette vitesse est nulle. C 20/04/20144 Rappel de cours, roulement sans glissement

La vitesse du point de contact sobtient par dérivation. VI/0 = [d OI /dt] 0 La vitesse de I, point du solide 1, se calcule par équiprojectivité à partir dun autre point dont on peut calculer la vitesse. VI 1/0 = VA 1/0 + IA 1/0 La vitesse de I, point du solide 2, se calcule par équiprojectivité à partir dun autre point dont on peut calculer la vitesse. VI 2/0 = VB 2/0 + IB 2/0 VI 1/2 sappelle la vitesse de glissement entre les deux solides. A BO I C 20/04/20145 Rappel de cours, roulement sans glissement 1 2 CONCLUSION

La vitesse du point de contact sobtient par dérivation du vecteur unitaire : VI/0 = [d OI /dt] 0 La vitesse de glissement se calcule par composition des vitesse des points des solides en présence : VI 1/2 = VI 1/0 - VI 2/0 Ou bien par composition des vitesse des points géométriques (méthode plus compliquée) VI/1 = VI/2 + VI 1/2 Avec : VI/1 = [d AI /dt] 1 avec A point fixe de 1 VI/2 = [d BI /dt] 2 avec B point fixe de 2 Et : La vitesse de glissement est TOUJOURS dans le plan tangent de contact. On lexprimera en fin de calcul selon des vecteurs unitaires appartenant à ce plan tangent de contact. A B I /04/20146 Rappel de cours, roulement sans glissement VI 1/2 CONCLUSION

EXERCICES TYPES Transformation de mouvement : pompe à essence Transformation de mouvement : pompe à essence Réducteur train dengrenages axes parallèles Odomètre Elévateur 20/04/20147

Transformation de mouvement Pompe à essence 20/04/20148

Le dispositif représenté ci-dessous modélise la transformation de mouvement dans un mécanisme de pompe à essence. Lexcentrique S 1 est en liaison pivot daxe (O, z 0 ) avec le bâti. Le poussoir S 2 est en liaison pivot glissant daxe (O, x 0 ) avec le bâti. Lexcentrique S 1 est en contact avec poussoir S 2 au point I. S1S1 S2S2 x0x0 y0y0 I OC = e. x 1 (t) =( x 0, x 1 ) Rayon de S 1 : R x1x1 Transformation de mouvement, pompe à essence 20/04/20149 C O

Déterminer la vitesse de glissement en I entre S 1 et S 2. Déterminer laccélération du point M appartenant au poussoir par rapport au bâti. Application numérique : N 1/0 = 3000tr/min ; R = 20mm ; e = 7mm. Pour quelle position de S 1 la vitesse de glissement est-elle la plus grande ? S1S1 S2S2 x0x0 y0y0 I OC = e. x 1 (t) =( x 0, x 1 ) Rayon de S 1 : R x1x1 C O (t) M 20/04/ Transformation de mouvement, pompe à essence

S1S1 S2S2 x0x0 y0y0 I OC = e. x 1 (t) =( x 0, x 1 ) Rayon de S 1 : R x1x1 C O VI S 1 /S 2 = VI S 1 /S 0 - VI S 2 /S 0 VI S 1 /S 2 = [ VO S 1 /S 0 + IO S 1 /S 0 ] - (t)° x 0 VI S 1 /S 2 = [ 0 + ( e x 1 + R x 0 ) (t)° z ] - (t)° x 0 VI S 1 /S 2 = ( e (t)° y 1 + R (t)° y - (t)° x 0 or (t) = R + e cos (t) (t)° = - e (t)°sin (t) (t) 20/04/ Transformation de mouvement, pompe à essence

S1S1 S2S2 x0x0 y0y0 I OC = e. x 1 (t) =( x 0, x 1 ) Rayon de S 1 : R x1x1 C O VI S 1 /S 2 = e (t)° y 1 + R (t)° y 0 - (t)° x 0 or (t) = R + e cos (t) (t)° = - e (t)°sin (t) y 1 = cos (t) y 0 - sin (t) x 0 VI S 1 /S 2 = [ e cos (t) + R ] (t)° y 0 (t) La vitesse de glissement est bien dans le plan tangent de contact. 20/04/ Transformation de mouvement, pompe à essence

Déterminer laccélération du point M appartenant au poussoir par rapport au bâti. M/R = (t)°° x 0 avec (t) = R + e cos (t) (t)° = - e (t)°sin (t) (t)°° = - e (t)°°sin (t) – e (t)°² cos (t) S1S1 S2S2 x0x0 y0y0 I OC = e. x 1 (t) =( x 0, x 1 ) Rayon de S 1 : R x1x1 C O (t) M 20/04/ Transformation de mouvement, pompe à essence

Autre problème REDUCTEUR A AXES FIXES AXES PARALLELES Réducteur axes fixes et parallèles, roues de friction ou engrenages 20/04/201414

Le réducteur est composé dune roue motrice 1, de rayon r 1,de centre O 1 dune double roue intermédiaire 2, de petit rayon r 2, de grand rayon R 2,de centre O 2 dune roue réceptrice 3, de rayon R 3,de centre O 3 Les trois roues sont en liaison pivot en leur centre avec le bâti. 1/0 = 1/0 z 2/0 = 2/0 z 3/0 = 3/0 z Calculer la vitesse de glissement en I et J. Si ces vitesses de glissement sont nulles, déterminer la loi entrée sortie 3/0 / 1/0 Si la puissance dentrée est égale à P = C m m, si le rendement est égal à 1, en déduire le couple de sortie en N.m. s1s1 s2s2 s3s3 I J O1O1 O2O2 O3O3 x y u 20/04/ Réducteur axes fixes et parallèles, roues de friction ou engrenages

VI 1/2 = VI 1/0 - VI 2/0 VI 1/2 = [VO 1 1/0 + IO 1 1/0 ] - [VO 2 2/0 + IO 2 2/0 ] VJ 2/3 = VJ 2/0 - VJ 3/0 VJ 2/3 = [VO 2 2/0 + JO 2 2/0 ] - [VO 3 3/0 + JO 3 3/0 ] s1s1 s2s2 s3s3 I J O1O1 O2O2 O3O3 x y u Si les vitesses de glissement sont nulles : IO 1 1/0 - IO 2 2/0 = 0 JO 2 2/0 – JO 3 3/0 = 0 -r 1 y 1/0 z – R 2 y 2/0 z = 0 -r 2 u 2/0 z – R 3 u 3/0 z = 0 -r 1 1/0 – R 2 2/0 = 0 et r 2 2/0 + R 3 3/0 = 0 En éliminant 2/0 des deux expressions, on obtient : 3/0 r 1 * r = /0 R 2 * R 3 20/04/ Réducteur axes fixes et parallèles, roues de friction ou engrenages

s1s1 s2s2 s3s3 I J O1O1 O2O2 O3O3 x y u Si les vitesses de glissement sont nulles : 3/0 r 1 * r = /0 R 2 * R 3 La relation générale sécrit : (avec p le nombre de contacts extérieurs ) SORTIE/0 (rayons des roues menantes) = ( -1) p ENTREE/0 (rayons des roues menées) 20/04/ Réducteur axes fixes et parallèles, roues de friction ou engrenages

ODOMETRE 20/04/201418

Véhicule s 1 s4s4 s2s2 s3s3 y1y1 z1z1 C I B y2y2 (t) y4y4 h Inspiré du CC A quoi est égale la cote (hauteur à la verticale) de B par rapport au sol ? En dérivant cette expression, déterminer la relation liant les paramètres (t) et (t), et leur dérivées. VB/0 = °(t) y 1 Rayon roue 4 : r ° sin + ° cos = 0 20/04/201419

Véhicule s 1 s4s4 s2s2 s3s3 y1y1 z1z1 C I B y2y2 (t) y4y4 h Inspiré du CC Calculer la vitesse du point I, point de contact entre S 4 et S 0, I point géométrique, dans son mouvement par rapport à S0. Montrer que cette vitesse est bien portée uniquement par y 1. VB/0 = °(t) y 1 (t) Rayon roue 4 : r VI/0 = [d( y 1 - y 2 – r z 1 )/dt] 0 = ° y 1 - ° y 2 - ( 2/0 y 2 ) = ° y 1 - ° y 2 - ° z 2 y 2 = cos y 1 + sin z 1 ; z 2 = - sin y 1 + cos z 1 VI/0 = ° y 1 - ° (cos y 1 + sin z 1 )- ° (- sin y 1 + cos z 1 ) = ° y 1 - ° cos y 1 + ° sin y 1 - ° sin z 1 - ° cos z 1 car ( ° sin + ° cos ) = 0 20/04/201420

Véhicule s 1 s4s4 s2s2 s3s3 y1y1 z1z1 C I B y2y2 (t) y4y4 h Inspiré du CC Calculer la vitesse de glissement en I entre S 4 et S 0, sachant que S 1 a un mouvement de translation rectiligne de vitesse ° y 1. Montrer que cette vitesse est bien portée uniquement par y 1. En déduire alors les conditions de roulement sans glissement, ° en fonction des autres paramètres. VB/0 = °(t) y 1 Rayon roue 4 : r 20/04/201421

Véhicule s 1 s4s4 s2s2 s3s3 y1y1 z1z1 C I B y2y2 (t) y4y4 h Inspiré du CC VI 4/0 = VC 4/0 + IC 4/0 (en dérivant OI on obtiendrait VI/0 ) VC 4/0 = là on peut dériver ! = [d OC /dt] 0 = ( °- °cos + ° sin ) y 1 IC 4/0 = r z 1 ( °+ °) x 1 = r ( °+ °) y 1 VI 4/0 = ( °- °cos + ° sin + r ( °+ °)) y 1 Conditions de roulement sans glissement : °- °cos + ° sin + r ( °+ °) = 0 VB/0 = °(t) y 1 Rayon roue 4 : r 20/04/201422

Elévateur 20/04/201423

20/04/ S3S3 S2S2 S1S1 S0S0 y1y1 x y y2y2 (t) Crémaillère Pignon Un élévateur de charge est motorisé par : un motoréducteur fixé sur le bâti agit sur le bras S 1 en O un motoréducteur fixé en bout de bras S1 agit sur le pignon S 2 en C Le solide S 3 est en liaison glissière avec le bâti S 0 Le solide S 2 est en liaison pivot (C, z ) avec le solide S 1 Le solide S 1 est en liaison pivot (O, z ) avec le solide S 0 En I, il y a engrènement du pignon S 2 sur la crémaillère S 3 O C I OC = L Pignon rayon r Déterminer, en utilisant la condition de roulement sans glissement, la liaison entre les deux paramètres (t) et (t). A

20/04/ S3S3 S2S2 S1S1 S0S0 y1y1 x y y2y2 (t) Crémaillère Pignon O C I La vitesse de glissement en I est définie par VI 3/2 On utilise la composition VI 3/2 = VI 3/0 + VI 0/2 = VI 3/0 - VI 2/0 Il ne faut surtout pas dériver pour trouver les vitesses des point I appartenant aux solides ! Il faut utiliser le champ distributif des vecteurs vitesses des points dun solide (équiprojectivité) VI 3/2 = [ VA 3/0 + IA 3/0 ] - [ VC 2/0 + IC 2/0 ] VI 3/2 = [ ° (t) y + IA 0 ] - [ VC 2/0 + IC 2/0 ] VI 3/2 = ° (t) y – [ - L ° x 1 + (-r y ) ( ° + ° ) z ] = ° (t) y + L ° x 1 + r ( ° + ° ) x Il faut maintenant vérifier que cette vitesse de glissement est bien sur x A x1x1 (t) On remarque que : (t) = L cos + r En dérivant par rapport au temps : ° (t) = - L ° sin et : x 1 = cos x + sin y

20/04/ S3S3 S2S2 S1S1 S0S0 y1y1 x y y2y2 (t) Crémaillère Pignon O C I VI 3/2 = ° (t) y + L ° x 1 + r ( ° + ° ) x ° (t) = - L ° sin x 1 = cos x + sin y Il faut maintenant vérifier que cette vitesse de glissement est bien sur x VI 3/2 = - L ° sin y + L ° (cos x + sin y ) + r ( ° + ° ) x VI 3/2 = (L ° cos + r ( ° + ° )) x Les conditions de roulement sans glissement sont : L ° cos + r ( ° + ° ) = 0 A x1x1 (t)

LANCEUR DE PIGEON DARGILE 20/04/201427

20/04/ Un lanceur de pigeon dargile est un dispositif permettant de lancer des « assiettes » en terre cuite lors des ball-traps. Linclinaison est constante. On arme le dispositif puis on lâche. Les forces dinertie expulsent le projectile vers lextérieur et les frottements lui appliquent un mouvement de rotation propre. A la fin du lancement, il sélance en lair avec une vitesse initiale et un mouvement de rotation (comme un frisbee).

20/04/ SCHEMA (t) I C O Ecrire la liaison entre les 3 paramètres de position. S1 S2 assemblage CAO d'un lanceur, sur you yube

20/04/ (t) S2 (t) C I O e Rayon r S1 SCHEMA La vitesse de glissement en I est définie par VI 1/2 On utilise la composition VI 1/2 = VI 1/0 + VI 0/2 = VI 1/0 - VI 2/0 Il ne faut surtout pas dériver pour trouver les vitesses des point I appartenant aux solides ! Il faut utiliser le champ distributif des vecteurs vitesses des points dun solide (équiprojectivité) VI 1/2 = [ VO 1/0 + IO 1/0 ] - [ VC 2/0 + IC 2/0 ] VI 1/2 = [ O + (- x 1 + e y 1 ) ° z ] - [ VC 2/0 + r y 1 ( °+ °) z ] VC 2/0 = ° x 1 + ° y 1 - (r-e) ° x 1 VI 1/2 = ° y 1 + e ° x 1 - [ ° x 1 + ° y 1 - (r-e) ° x 1 + r ( °+ °) x 1 ] VI 1/2 = - ( ° + r ° ) x 1 x1x1 x y

20/04/ (t) S2 (t) C I O e Rayon r S1 SCHEMA La vitesse de glissement en I est définie par VI 1/2 Mais on aurait pu faire beaucoup plus vite! En remarquant que lon connait VC 2/1 = ° x 1 et donc VC 1/2 = - ° x 1 VI 1/2 = VC 1/2 + IC 1/2 ( 1/2 = - 2/1 = - ° z ) VI 1/2 = - ° x 1 + r y 1 - ° z VI 1/2 = - ( ° + r ° ) x 1 VI 2/1 = + ( ° + r ° ) x 1 Les conditions de roulement sans glissement sont donc : ° = - r ° x1x1 x y