Ensembles de test et morphismes sans répétition Francis Wlazinski - Gwénaël Richomme

2 Introduction Alphabet ensemble fini de symboles (lettres) Exemples : { } {0,1} {a,b,c}{a,b} Exemples : abaca abbabaabbaababbabaababbaabbabaabbaababbaabb a Mot suite finie de lettres

Cest de linformatique ??? (ASCII binaire) ADN

Applications de la combinatoire des mots : - compression de données - biologie : recherche de séquences - systèmes distribués, calcul parallèle - compilateurs

A* monoïde libre engendré par lalphabet A. u facteur de v v p u s avec p,s A* Exemple : aba est facteur de ababacaba

A* monoïde libre engendré par lalphabet A. u facteur de v v p u s avec p,s A* aba Exemple : aba est facteur de ababacaba

A* monoïde libre engendré par lalphabet A. u facteur de v v p u s avec p,s A* aba Exemple : aba est facteur de ababacaba

A* monoïde libre engendré par lalphabet A. u facteur de v v p u s avec p,s A* aba Exemple : aba est facteur de ababacaba

A* monoïde libre engendré par lalphabet A. u facteur de v v p u s avec p,s A* Exemple : aba est facteur de ababacaba Répétitions : Chevauchement Puissance k

A* monoïde libre engendré par lalphabet A. u facteur de v v p u s avec p,s A* Exemple : aba est facteur de ababacaba Répétitions : Chevauchement : x u x u x avec x A et u A* Puissance k

A* monoïde libre engendré par lalphabet A. u facteur de v v p u s avec p,s A* Exemple : aba est facteur de ababacaba Répétitions : Chevauchement : x u x u x avec x A et u A* Exemples : abcabca ou aaa Puissance k

A* monoïde libre engendré par lalphabet A. u facteur de v v p u s avec p,s A* Exemple : aba est facteur de ababacaba Répétitions : Chevauchement : x u x u x avec x A et u A* a bc a bca Exemples : a bc a bc a ou aaa Puissance k

A* monoïde libre engendré par lalphabet A. u facteur de v v p u s avec p,s A* Exemple : aba est facteur de ababacaba Répétitions : Chevauchement : x u x u x avec x A et u A* a a a Exemples : abcabca ou a a a Puissance k

A* monoïde libre engendré par lalphabet A. u facteur de v v p u s avec p,s A* Exemple : aba est facteur de ababacaba Répétitions : Chevauchement : x u x u x avec x A et u A* Exemples : abcabca ou aaa Puissance k : u k avec u A + A*\{ } et k * Exemples :abab k carré abababk cube abababab k puissance 4

A* monoïde libre engendré par lalphabet A. u facteur de v v p u s avec p,s A* Exemple : aba est facteur de ababacaba Répétitions : Chevauchement : x u x u x avec x A et u A* Exemples : abcabca ou aaa Puissance k : u k avec u A + A*\{ } et k * ab ab Exemples :ab ab k carré abababk cube abababab k puissance 4

A* monoïde libre engendré par lalphabet A. u facteur de v v p u s avec p,s A* Exemple : aba est facteur de ababacaba Répétitions : Chevauchement : x u x u x avec x A et u A* Exemples : abcabca ou aaa Puissance k : u k avec u A + A*\{ } et k * Exemples :abab k carré ab ab ab ab ab abk cube abababab k puissance 4

A* monoïde libre engendré par lalphabet A. u facteur de v v p u s avec p,s A* Exemple : aba est facteur de ababacaba Répétitions : Chevauchement : x u x u x avec x A et u A* Exemples : abcabca ou aaa Puissance k : u k avec u A + A*\{ } et k * Exemples :abab k carré abababk cube ab ab ab ab ab ab ab ab k puissance 4

ab ab ab ab ba est un mot sans chevauchement Mots sans chevauchement, mots sans carré, mots sans cube, mots sans puissance k. baacacb f (b aacacb) f (b) f (aacacb) a acacb f (b) f (a acacb) f (b) f (a) f (acacb) f (b) f (a) f (a) f (c) f (a) f (c) f (b) f (baacacb) Exemple : Morphisme : f : A* B* vérifiant f (u v) f (u) f (v) u,v A* Exemple : soit f un morphisme défini sur {a,b,c}* ababba est un mot sans chevauchement

Exemples de morphismes : Le morphisme de Thue-Morse : {a,b}* {a,b}* a ab b ba (abba) ab ba Le morphisme de Fibonacci (a) ab et (b) a

Morphismes qui préservent labsence dune répétition Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition

Morphismes qui préservent labsence dune répétition Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition

Morphisme sans chevauchement : morphisme qui préserve labsence de chevauchement Exemples : le morphisme (échange) E : {a,b}* {a,b}* a b b a est sans chevauchement. le morphisme de Thue-Morse est sans chevauchement (Thue 1912). le morphisme de Fibonacci nest pas sans chevauchement : bba sans chevauchement a a a (bba) a a ab

chevauchement chevauchement Morphisme sans : morphisme qui préserve labsence de Exemples : le morphisme (échange) E : {a,b}* {a,b}* a b b a est sans chevauchement. le morphisme de Thue-Morse est sans chevauchement (Thue 1912). le morphisme de Fibonacci nest pas sans chevauchement : bba sans chevauchement a a a (bba) a a ab

Morphisme sans : morphisme qui préserve labsence de carré carré carré

cube cube cube Morphisme sans : morphisme qui préserve labsence de

puissance k puissance k puissance k Morphisme sans : morphisme qui préserve labsence de le morphisme de Thue-Morse est sans puissance k pour tout entier k 2 (Brandenburg 1983). Exemples : le morphisme échange sur {a,b}* est sans puissance k pour tout entier k 2. le morphisme dIstrail défini par h(a) abc, h(b) ac et h(c) b nest pas sans carré : aba sans carré c ac a h(aba) abc ac abc

T ensemble de test fini pour morphismes sans de A* vers B*: chevauchement f sans chevauchement f (T) sans chevauchement f : A* B*, Exemple : {a,aa} est un ensemble de test pour les morphismes sans chevauchement de {a}* vers B*.

T ensemble de test fini pour morphismes sans de A* vers B*: chevauchement f sans chevauchement f (T) sans chevauchement f : A* B*, Exemple : {aa} est un ensemble de test pour les morphismes sans chevauchement de {a}* vers B*.

T ensemble de test fini pour morphismes sans de A* vers B*: chevauchement chevauchement f sans chevauchement chevauchement f (T) sans chevauchement f : A* B*, Exemple : {aa} est un ensemble de test pour les morphismes sans chevauchement de {a}* vers B*.

T ensemble de test fini pour morphismes sans de A* vers B*: carré carré f sans carré carré f (T) sans carré f : A* B*, Exemple : {a} est un ensemble de test pour les morphismes sans carré de {a}* vers B*.

T ensemble de test fini pour morphismes sans de A* vers B*: cube cube f sans cube cube f (T) sans cube f : A* B*, Exemple : {aa} est un ensemble de test pour les morphismes sans cube de {a}* vers B*.

T ensemble de test fini pour morphismes sans de A* vers B*: puissance k puissance k f sans puissance k puissance k f (T) sans puissance k f : A* B*, Exemple : {a k } est un ensemble de test pour les morphismes sans puissance k de {a}* vers B*.

Ensembles de test finis

Morphismes qui préservent labsence dune répétition Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition Morphismes sans chevauchement Morphismes uniformes sans chevauchement Morphismes sans cube Morphismes sans puissance k

Morphismes qui préservent labsence dune répétition Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition Morphismes sans chevauchement Morphismes sans chevauchement Morphismes uniformes sans chevauchement Morphismes sans cube Morphismes sans puissance k

37 Morphismes sans chevauchement Proposition Si Card(B) Card(A) 3, il n'y a pas d'ensemble de test fini pour morphismes sans chevauchement de A* vers B*. Idée de la preuve u {a,b}* tel que a u a sans chevauchement. f u : {a,b,c}* {a,b,c}* f u (a) abc, f u (b) bca et f u (c) cababc f u (u) abccaab. w mot sans chevauchement sur {a,b,c}, f u (w) contient un chevauchement c a u a c facteur de w.

Proposition f : {a,b}* B* non-effaçant. f (T B ) sans chevauchement f sans chevauchement T B {aba, bab, abba, baab}. Théorème Card(B) 3 et T {a,b}*. T ensemble de test pour morphismes sans chevauchement non-effaçants de {a,b}* vers B* w T, w sans chevauchement T B Fact(T).

Corollaire Card(B) 3 et T {a,b}*. T ensemble de test pour morphismes sans chevauchement de {a,b}* vers B* Corollaire f : {a,b}* B* avec Card(B) 3. f sans chevauchement sans chevauchement w T, w sans chevauchement. T B Fact(T). u T / |u| a 3. v T / |v| b 3. T B {aba, bab, abba, baab}. f (abbabaab) aba f (abbabaab) bab f (abbabaab) abba f (abbabaab) baab f (abbabaab)f (abbabaab) w T, w sans chevauchement. T B Fact(T). u T / |u| a 3. u T / |u| a 3. v T / |v| b 3. v T / |v| b 3. w T, w sans chevauchement. T B Fact(T). u T / |u| a 3. v T / |v| b 3.

Morphismes qui préservent labsence dune répétition Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition Morphismes sans chevauchement Morphismes uniformes sans chevauchement Morphismes uniformes sans chevauchement Morphismes sans cube Morphismes sans puissance k

41 Morphismes uniformes sans chevauchement Théorème Card(B) Card(A) 3 et T A*. T ensemble de test pour morphismes uniformes sans chevauchement de A* vers B* w T, w sans chevauchement. T U Fact(T).

T U 1 { xw 0 x | x A, w 0 A* et a A, |xw 0 | a 1} x,y, A et w 1,w 2 A* T U 2 xw 1 w 2 y a A, |w 1 w 2 | a 1 |w 1 | |w 2 | 1, | w 2 | x 0 |w 1 | y T U T U 1 T U 2 où A alphabet Corollaire Card(B) Card(A) 3 et f : A* B* uniforme. f sans chevauchement f sans chevauchement jusqu'à Card(A) 2.

Théorème T {a,b}*. T ensemble de test pour morphismes uniformes sans chevauchement de {a,b}* vers B* (si Card(B) 2) {ab,ba} Fact(T) {aa,bb} Fact(T) {aab,bba,ababb,babaa} Fact(T) {baa,abb,bbaba,aabab} Fact(T) (si Card(B) 2) {aa,bb,aba,bab} Fact(T) {aab,bba,ababb,babaa} Fact(T) {baa,abb,bbaba,aabab} Fact(T)

Corollaire Card(B) Card(A) 2 et f : A* B* uniforme. f sans chevauchement f sans chevauchement jusqu'à 3. Corollaire f : {a,b}* {a,b}* uniforme. f sans chevauchement f (abba) sans chevauchement Corollaire f : {a,b}* B* uniforme et Card(B) 3. f sans chevauchement f (aababb) sans chevauchement

Morphismes qui préservent labsence dune répétition Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition Morphismes sans chevauchement Morphismes uniformes sans chevauchement Morphismes sans cube Morphismes sans cube Morphismes sans puissance k

46 w mot sans cube sur A, f u,v (w) contient un cube a v a u a facteur de w. Morphismes sans cube Proposition Si Card(A) 3 et Card(B) 2, il n'y a pas d'ensemble de test fini pour morphismes sans cube de A* vers B*. Idée de la preuve a A, x,y,z A et u,v (A\{a})* sans cube tels que (u,v). f u,v : A* (A\{a} {x,y,z})* f u,v (a) x (z y u x y v x) 2 z y et f u,v (b) b b A\{a}. w mot sans cube sur A, a v a u a f u,v (w) contient un cube a v a u a facteur de w.

T min {abbabba, ababba, abbaba, aabba, abbaa, ababa, baabaab, babaab, baabab, bbaab, baabb, babab} Théorème T {a,b}*. T ensemble de test pour morphismes sans cube de {a,b}* vers B* w T, w sans cube T min Fact(T). Corollaire f : {a,b}* B* f sans cube f ( aabbababbabbaabaababaabb ) sans cube

Corollaire (Leconte 85) f : {a,b}* B* f sans cube f sans cube jusquà 7. Les images par f de tous les mots sans cube de longueur 7 sont sans cube.

Morphismes qui préservent labsence dune répétition Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition Morphismes sans chevauchement Morphismes uniformes sans chevauchement Morphismes sans cube Morphismes sans puissance k

50 Morphismes sans puissance k Proposition Si Card(A) 3 et Card(B) 2, il n'y a pas d'ensemble de test fini pour morphismes sans puissance k de A* vers B*. Idée de la preuve a A, x,y,z A et u,v (A\{a})* sans puissance k f u,v : A* (A\{a} {x,y,z})* a x(z y u x y v x) k 1 z y b b b A\{a}.

(t k ) k 2 est la suite d'entiers définie par : t 2 3 t k si k 4 est pair t 3 4 t k si k 5 est impair Définitions w mot primitif si w v n n 1 k22k22 k (k 1) 2 Proposition Un morphisme binaire sans puissance k ( 2) jusquà t k est primitif. f morphisme primitif si f préserve les mots primitifs

Théorème f morphisme primitif binaire et k 2. f sans puissance k f sans puissance k jusqu'à 2k 1. Corollaire f morphisme binaire et k 2. f sans puissance k f sans puissance k jusqu'à t' k avec t' 2 3, t' 3 7 et t' k t k si k 4. Corollaire A alphabet binaire et k 2. {w A* / |w| k 2 et w sans puissance k} est un ensemble de test pour morphismes sans puissance k sur A.

Morphismes qui préservent labsence dune répétition Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition répétition Morphismes sans chevauchement Morphismes uniformes sans chevauchement Morphismes sans cube Morphismes sans puissance k

54 Rappel : morphisme de Thue-Morse : {a,b}* {a,b}* a ab b ba (a) ab 2 (a ) ( (a)) (ab) 3 (a ) ( 2 (a)) (abba) 4 (a ) abbabaabbaababba 5 (a ) abbabaabbaababbabaababbaabbabaab abba abbaabba Mots engendrés par morphismes (a ) lim n (a ) n

Proposition (Thue 12) f endomorphisme sur {a,b} sans chevauchement f i ou f E i pour un entier i. Proposition (Séébold 84) f endomorphisme sur {a,b} prolongeable en a. f engendre un mot sans chevauchement f sans chevauchement Proposition (Karhumäki 81) f endomorphisme sur {a,b} prolongeable en a. f engendre un mot sans chevauchement f 7 (a) sans chevauchement

Proposition (Crochemore 82) f endomorphisme sur {a,b,c} prolongeable en a. f engendre un mot sans carré 1. f ({abc, acb, bac, bca, cab, cba}) sans carré 2. f (xyx) ou f (xzx) ou f (xyzx) sans carré pour toute permutation 3. f (w) sans carré w Fact(f (a)) et |w| 5 Proposition (Crochemore 82) f endomorphisme sur {a,b,c} prolongeable en a. f engendre un mot sans carré f sans carré Proposition (Berstel 79 - Crochemore 82) f endomorphisme sur {a,b,c} prolongeable en a. f engendre un mot sans carré f p (a) sans carré

Proposition f endomorphisme sur {a,b} prolongeable en a. f engendre un mot sans cube f sans cube Proposition (Karhumäki 83) f endomorphisme sur {a,b} prolongeable en a. f engendre un mot sans cube f 10 (a) sans cube Contre-exemple : f (a) abba f (b) baababaababbaabbabaabbaababbaabbabaababaababbaab babaabbaababbaabbabaababaab

Proposition f endomorphisme sur {a,b} prolongeable en a. f engendre un mot sans cube 1. f ({abba, baab, aba, bab}) sans cube 2. f (w) sans cube w Fact(f (a)) et |w| 7 Exemple : Dans le cas dun endomorphisme uniforme f tel que : | f(a)| a | f(a)| b | f(b)| a | f(b)| b,

Conclusion : Ensembles de test finis

Conclusion : problèmes connexes Puissances fractionnaires Sans puissance k sans puissance k 1 Sans chevauchement sans puissance k Sans cube primitif (cas non binaire)