Mathématiques des Modèles Impulsionnels de Neurones Romain Brette INSERM U483

Le neurone Les neurones communiquent par impulsions électriques (potentiels daction).

Modèles impulsionnels Impulsions impulsions

Modèles impulsionnels Variable continue impulsions (encodeur)

Formulation générale 1) Une équation différentielle: 2) Un mécanisme de réinitialisation: impulsion quand V > seuil

Exemples Modèle de Lapicque (1907): L. Lapicque, J physiol pathol gen 9, (1907)

Exemples Modèle à conductances synaptiques:

Modèles à fuite with i.e. Vf(V,t) est décroissante Modèle à conductances synaptiques: Le modèle de Lapicque (1907): Exemples:

Lapplication impulsionnelle

Lapplication impulsionnelle : temps dune impulsion temps de limpulsion suivante Dynamique en temps continu du modèle impulsionnel = dynamique en temps discret de lapplication impulsionnelle

La fréquence de décharge dépend-elle de la condition initiale t ? non si φ est croissante

est-elle croissante ? est localement croissante en t si f(0,t)>0 est localement décroissante en t if f(0,t)<0

est croissante sur son image (modèles à fuite) t Si t est dans limage de : f(1,t)0 et Vf(V,t) décroissante (fuite) implique: f(0,t)>0 Donc: est localement croissante en t En fait: est strictement croissante sur son image Conséquence: la fréquence est indépendante de la condition initiale

Continuité de lapplication impulsionnelle est continue en t if f(1, (t))>0

Continuité de lapplication impulsionnelle intervalle sans impulsions

Dérivée de lapplication impulsionnelle Théorème des fonctions implicites: Exemple: modèle de Lapicque

Stimulations périodiques

Stimulations périodiques avec f(V,t+T)=f(V,t) Alors φ(t+T)= φ(t)+T

Homéomorphismes du cercle Or φ est strictement croissante sur son image (modèle à fuite): cest le relèvement dun homéomorphisme du cercle (si continue) ou dune application du cercle conservant lorientation (sinon) Nombre de rotation = inverse de la fréquence de décharge (pour T=1) (Poincaré, Denjoy) Nombre de rotation rationnel: orbite périodique stable Nombre de rotation irrationnel: orbite dense dans le cercle ou dans un Cantor

Accrochage de phase Nombre de rotation rationnel: « accrochage de phase »

Application impulsionnelle continue vs. discontinue φ discontinue => accrochage de phase p.s. (Veerman) φ C 1 => orbite dense avec proba>0 (Herman)

Conjectures Si φ t est une famille continue dapplications du cercle conservant lorientation (continue avec la topologie de Hausdorff sur les graphes), alors pour presque tout t, le nombre de rotation de φ t est rationnel. Si φ a un nombre de rotation rationnel, alors φ+petit bruit a une seule orbite stable (dans la limite bruit petit).

Fiabilité neuronale

Reproductibilité des temps dimpulsion Z. Mainen, T. Sejnowski, Science 268, (1995) La réponse du neurone à un courant constant nest pas reproductible

Reproductibilité des temps dimpulsion Z. Mainen, T. Sejnowski, Science 268, (1995) La réponse du neurone à un courant variable est reproductible

Reproductibilité des impulsions dynamique instable dynamique stable / convergence

Lien avec la synchronisation Des neurones qui reçoivent le même stimulus dynamique se synchronisent, même sils sont au départ dans des états différents.

Fiabilité et discontinuités de lapplication impulsionnelle intervalle sans impulsions

Fiabilité et discontinuités de lapplication impulsionnelle - zones colorées: zones interdites - zone blanche: zone atteignable par une solution - trajectoire discontinue: exemple de solution du modèle

Première piste Proportion de trous dans φ n ([0,t]) = Proportion de trous dans φ n ([0,+[) = Idée: montrer que Remarque: où λ(t) = exposant de Lyapunov

Autres pistes On considère le problème sur laxe du potentiel (V); on observe lévolution de la distribution de V au cours du temps: entropie produit dapplications du cercle aléatoires (V(t n ) V(t n+1 )) EDP de transport

Détection de coïncidences

Détection de coïncidences Un neurone est sensible aux fluctuations de son entrée, i.e., la fréquence de décharge en réponse à un courant I(t) est plus grande que celle en réponse à un courant constant de même moyenne. Et dans les modèles impulsionnels? Comparer les fréquences de décharge de et avec =0 pour tout V (F fonction croissante de λ ?)

Modèles impulsionnels stochastiques

Un modèle stochastique simple Ex. 1: φ(t)-t = temps darrêt (intervalle entre deux impulsions successives) Distribution de φ-id en fonction des paramètres ? Fiabilité ? (à ω fixé) Distribution de V (lien avec EDP de Fokker-Planck)

Un modèle stochastique plus compliqué Ex. 2: avec g g+δ aléatoirement selon un processus de Poisson (g(t)=« shot noise ») Mêmes questions Quelle est la fonction de corrélation entre les impulsions postsynaptiques (en V) et présynaptiques (en g) ?

Synchronisation avec V un vecteur de R n et A une matrice constante et V i (t+)=0 si V i (t)=1 Corrélations entre les impulsions ? (pour 2 neurones i et j)

Dynamique de populations

Population homogène Soit f(t)dt la proportion de neurones qui émettent une impulsion dans lintervalle [t,t+dt], et g(t) lentrée commune. Alors pour un neurone i: Comment évolue f(t) ? Y a-t-il synchronisation ? Propriétés dergocité ? (lien avec les EDPs)

Simulation numérique

Modèles à conductances exponentielles Avec g i g i + δ ij à linstant t ij. Objectif: calculer rapidement la suite des temps dimpulsions Idem avec un bruit ξ(t) ajouté à g i (t).

Méthodes expérimentales

Mesures in vivo On veut déterminer: C (capacité membranaire) (conductance moyenne) sans trop perturber le système

Mesures in vivo Idée: on injecte un petit courant: I(t) est constant sur un pas de temps [t n,t n+1 ] (de durée h) On choisit I n = variables aléatoires i.i.d. Alors: Problème: il faudrait évaluer pour plusieurs valeurs de h

Mesures in vivo Idée: dans [t n,t n+1 ], on injecte soit I n =I n-1 avec probabilité p soit I n = variable aléatoire indépendante avec probabilité (1-p) Alors si on note N p ={n|I n-1 I n =I n+1 =…=I n+p-1 I n+p }: Problèmes: comment choisir p ? comment estimer optimalement C et la conductance ? comment estimer lerreur ?

Publications Résultats généraux: Brette, R. Dynamics of one-dimensional spiking neuron models. J Math Biol 48, (2004). Nombre de rotation pour des applications discontinues: Brette, R. Rotation numbers of discontinuous orientation-preserving circle maps. Set-Valued Analysis 11, (2003). Fiabilité: Brette, R. & Guigon, E. Reliability of spike timing is a general property of spiking model neurons. Neural comput 15, (2003). Simulation numérique: Brette, R. Event-driven simulation of integrate-and-fire neurons with exponential synaptic conductances. Submitted (2004).