L’objectif est de présenter les principales étapes de construction d’un Modèle éléments finis La présentation est animée, avancez à votre vitesse par un simple clic Les techniques numériques relatives à la MEF sont présentées dans le chapitre 5 du cours. Elles sont mises en œuvre dans les scripts Matlab de l’application MEFLAB. Bonne lecture

Idées de base Point de départ : Formulation Variationnelle Approximation de la solution par sous-domaines : éléments finis forme simple approximation sur des variables physiques Domaine discrétisé Forces nodales Déplacements imposés Charge répartie Domaine continu

Formulation Variationnelle  PTV en Mécanique Efforts donnés sur Approximation Éléments Finis Mêmes familles de fonctions pour (Galerkin) Pour chaque élément :

Pour les efforts internes Notation matricielle Opérateur gradient en petites déformations Loi de comportement avec Matrice raideur élémentaire Approximation EF

Pour les efforts externes Vecteur force généralisée élémentaire Approximation EF Vous avez utilisé cette démarche pour l’étude des treillis et des portiques. On défini des vecteurs globaux Système global Assemblage En statique

signification physique Techniques numériques Approximation nodale Exemple 1D 2 variables  approximation à 2 paramètres : T = a0+ a1 s « Pb de température » s 1 T1 T2 T(s) Variables nodales signification physique Identification aux nœuds : Fonctions d’interpolation Exemple : approximation utilisant 3 éléments L’approximation n’assure pas la continuité de la dérivée C’est l’approximation utilisée pour l’élément barre

Éléments à une dimension Espace réel Base polynomiale Linéaire (1 s ) Quadratique (1 s s2 ) Cubique (1 s s2 s3 ) Type Lagrange Interpolation Type Hermite 2 variables par nœud exemple : élément poutre v et 

Éléments à deux dimensions Les bases polynomiales sont complètes Éléments triangulaires Éléments quadrilatéraux Les bases polynomiales sont incomplètes Éléments toriques

Éléments à trois dimensions Les bases polynomiales sont complètes Éléments tétraédriques bases incomplètes Éléments prismatiques Éléments hexaédriques bases incomplètes

Transformation géométrique La transformation géométrique permet de passer d’un même élément de référence aux éléments réels du maillage de la structure nœuds Dréf Dréel s,t,u x,y,z ==> matrices [B]e Dérivation : on montre Fct de Ng et J matrice jacobienne de la transformation Intégration : on montre

Intégration numérique Points d’intégration sur l’élément de référence Poids  Calcul des matrices élémentaires Pour chaque point d ’intégration Calcul de [J] et [J]-1 au point d ’intégration Construction de [D] et [B] Calcul de [B]T [D] [B] det[J] i Calcul de  [N]T [N] det[J] i Accumuler dans [K] et [M] Pour chaque élément Ng et A étudier avec les scripts MEFLAB du T3 et Q4

Bilan Domaine continu Discrétisation géométrique Calcul des matrices élémentaires Prise en Compte des Conditions aux limites et Résolution de l’équation matricielle Construction de l’approximation nodale Assemblage Évaluation des grandeurs élémentaires

Nous venons de présenter la démarche éléments finis Vous l’avez déjà mise en œuvre sur les treillis et portiques En effectuant les calculs sur les éléments réels Vous devez maintenant étudier sa généralisation : éléments de référence transformations géométriques calculs numériques  Techniques Numériques