Statistiques en 3ème M-S Contenu disciplinaire : Séries statistiques à un caractère : paramètres de position, de dispersion. Séries statistiques à deux caractères : Tableau à deux entrées, distributions marginales, fréquences marginales - paramètres de position et de dispersion des distributions marginales. Nuage de points, point moyen.

Aptitudes à développer Résumer une série statistique à un caractère et déterminer ses paramètres de position et de dispersion. Interpréter une distribution normale. Organiser une série statistique à deux caractères dans un tableau à deux entrées et déterminer ses distributions marginales ainsi que leurs paramètres de position et de dispersion. Représenter à l’aide d’un nuage de points une série statistique à deux caractères et déterminer son point moyen.

L’étude des séries statistiques se fera sur des exemples puisés dans l’environnement de l’apprenant. On initiera l’apprenant à faire des raisonnements statistiques pour interpréter les résultats.

Les élèves résolvent des problèmes dans des situations mathématiques ou en rapport avec l’environnement. En particulier , ils résolvent des problèmes puisés dans des situations réelles menant à un modèle tatistique ou probabiliste

Statistiques en 4ème M-S Contenu disciplinaire : Séries statistiques à deux caractères Ajustements affines (méthode des moindres carrés, méthode de Mayer), droites de régression, corrélation linéaire, coefficient de corrélation linéaire, covariance. Exemples d’ajustements non affines.

Aptitudes à développer Déterminer et tracer une droite de régression. Calculer la covariance d’une série statistique double. Calculer le coefficient de corrélation linéaire et interpréter le résultat

L’étude des séries statistiques se fera sur des exemples puisés dans l’environnement de l’apprenant. On initiera l’apprenant à faire des raisonnements statistiques pour interpréter les résultats.

Les élèves résolvent des problèmes dans des situations mathématiques ou en rapport avec l’environnement. En particulier, ils résolvent des problèmes puisés dans des situations réelles menant à un modèle statistique ou probabiliste

Paramètres de position et de dispersion

On considère la série 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17 Son effectif est Son étendue est Sa moyenne est Sa variance est Son écart type est Sa médiane est Son 1er quartile est Son 3ème quartile est Son écart interquartile est 17 16 9 24 4.89 5 13 8

On considère la série 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17 Son effectif est Son étendue est Sa moyenne est Sa variance est Son écart type est Sa médiane est Son 1er quartile est Son 3ème quartile est Son écart interquartile est 17 29 11 71.29 8.44 9 5 13 8 17 16 9 24 4.89 5 13 8

2ème application

Polygone des effectifs cumulés croissants ? Les loyers mensuels de 80 appartements d’un ensemble d’ immeubles est réparti comme suit : Loyer x (dinars) [100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[ Nombre 21 26 15 12 6 Effectifs cumulés 47 62 74 80 Loyer x (dinars) [100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[ Nombre 21 26 15 12 6 Classe modale : [150 , 200[ Polygone des effectifs cumulés croissants ? Médiane ? Quartiles ?

Les loyers mensuels de 80 appartements d’un ensemble d’ immeubles est réparti comme suit : Loyer x (dinars) [100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[ Nombre 21 26 15 12 6 Effectifs cumulés 47 62 74 80 Loyer x (dinars) [100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[ Nombre 21 26 15 12 6 Classe modale : [150 , 200[

 21 Médiane : Me  40 200  47 Me = 186.538 Loyer x (dinars) [100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[ Nombre 21 26 15 12 6 Effectifs cumulés 47 62 74 80  21 Me  40 200  47 Médiane : Me = 186.538

100  0 Quartile Q1 : Q1  20 150  21 Q1 = 147.619 Loyer x (dinars) [100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[ Nombre 21 26 15 12 6 Effectifs cumulés 47 62 74 80 100  0 Q1  20 150  21 Quartile Q1 : Q1 = 147.619

200  47 Quartile Q3 : Q3  60 250  62 Q3 = 243.333 Loyer x (dinars) [100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[ Nombre 21 26 15 12 6 Effectifs cumulés 47 62 74 80 200  47 Q3  60 250  62 Quartile Q3 : Q3 = 243.333

Loyer x (dinars) [100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[ Nombre 21 26 15 12 6 Effectifs cumulés 47 62 74 80 200  47 Q3  60 250  62 Quartile Q3 : Me = 186.538 Q1 = 147.619 Q3 = 243.333

2ème application bis

Les loyers mensuels de 80 appartements d’un ensemble d’ immeubles est réparti comme suit : Loyer x (dinars) [100 , 140[ [140 , 200[ [200 , 240[ [240 , 320[ [320 , 440[ Nombre 21 26 15 12 6 Densité d’effectif 0.525 0.4333 0.375 0.15 0.05 Loyer x (dinars) [100 , 140[ [140 , 200[ [200 , 240[ [240 , 320[ [320 , 440[ Nombre 21 26 15 12 6 Classe modale: [100,140[ histogramme

Comparaison de deux séries

Personnes traitées pour toxicomanie dans certains pays d’Europe. X : nombre de personnes traitées en 2001 Y : âge moyen des personnes Pays Nbre de personnes âge moyen Danemark 4 079,00 31,10 Allemagne 13 607,00 26,80 Grèce 3 679,00 27,80 Espagne 49 376,00 31,50 France 16 670,00 30,80 Irlande 4 778,00 25,10 Italie 150 400,00 32,30 Hollande 10 139,00 32,80 Suède 1 336,00 31,80 Angleterre 40 184,00 28,30

Personnes traitées pour toxicomanie dans certains pays d’Europe. X : nombre de personnes traitées en 2001 Y : âge moyen des personnes Pays Nbre de personnes âge moyen Danemark 4 079,00 31,10 Allemagne 13 607,00 26,80 Grèce 3 679,00 27,80 Espagne 49 376,00 31,50 France 16 670,00 30,80 Irlande 4 778,00 25,10 Italie 150 400,00 32,30 Hollande 10 139,00 32,80 Suède 1 336,00 31,80 Angleterre 40 184,00 28,30

Comparaison des variables x et y: Écart type relatif Écart type relatif de x : Écart type relatif de y :

Écart interquartile relatif Nbre de personnes (x) 1 336 3 679 4 079 4 778 10 139 13 607 16 670 40 184 49 376 150 400

Écart interquartile relatif de x et y: âge moyen (y) 25,10 26,80 27,80 28,30 30,80 31,10 31,50 31,80 32,30 32,80

Comparaison des variables x et y: Écart type relatif Écart interquartile relatif

Loi normale

On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique. Durée (t) en minutes Nombre de communications 0.5 1 4 1.5 16 2 38 2.5 74 3 80 3.5 67 39 4.5 15 5 6

On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique. Durée (t) en minutes Nombre de communications 0.5 1 4 1.5 16 2 38 2.5 74 3 80 3.5 67 39 4.5 15 5 6

On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique. Durée (t) en minutes Nombre de communications 0.5 1 4 1.5 16 2 38 2.5 74 3 80 3.5 67 39 4.5 15 5 6

On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique. Durée (t) en minutes Nombre de communications 0.5 1 4 1.5 16 2 38 2.5 74 3 80 3.5 67 39 4.5 15 5 6

65% des effectifs sont dans l’intervalle Durée (t) en minutes Nombre de communications 0.5 1 4 1.5 16 2 38 2.5 74 3 80 3.5 67 39 4.5 15 5 6

96% des effectifs sont dans l’intervalle Durée (t) en minutes Nombre de communications 0.5 1 4 1.5 16 2 38 2.5 74 3 80 3.5 67 39 4.5 15 5 6

99% des effectifs sont dans l’intervalle Durée (t) en minutes Nombre de communications 0.5 1 4 1.5 16 2 38 2.5 74 3 80 3.5 67 39 4.5 15 5 6

La série x est normale ( ou gaussienne ) Durée (t) en minutes Nombre de communications 0.5 1 4 1.5 16 2 38 2.5 74 3 80 3.5 67 39 4.5 15 5 6 65% des effectifs sont dans l’intervalle 96% des effectifs sont dans l’intervalle 0.99% des effectifs sont dans l’intervalle

Double entrée

On a relevé le prix de vente Y ( en milliers de dinars) de 50 voitures de même puissance , et de modèles comparables, en fonction de leur âge X (en années) depuis leur première mise en circulation. On a obtenu le tableau suivant : âge X prix Y 4 5 6 7 [11 ,12[ 2 11 [12 ,13[ 10 [13 ,14[ 1 3 [14 ,15[ [15 ,16[ [16 ,17[

distributions marginales des variables X et Y: âge X prix Y 4 5 6 7 [11 ,12[ 2 11 [12 ,13[ 10 [13 ,14[ 1 3 [14 ,15[ [15 ,16[ [16 ,17[

distributions marginales des variables X et Y: âge X prix Y 4 5 6 7 [11 ,12[ 2 11 [12 ,13[ 10 [13 ,14[ 1 3 [14 ,15[ [15 ,16[ [16 ,17[ marge en X 15 17

distributions marginales des variables X et Y: âge X prix Y 4 5 6 7 marge en Y [11 ,12[ 2 11 13 [12 ,13[ 10 14 [13 ,14[ 1 3 [14 ,15[ [15 ,16[ [16 ,17[ marge en X 15 17 50

âge moyen et le prix moyen des voitures vendues? âge X prix Y 4 5 6 7 marge en Y [11 ,12[ 2 11 13 [12 ,13[ 10 14 [13 ,14[ 1 3 [14 ,15[ [15 ,16[ [16 ,17[ marge en X 15 17 50

âge moyen et le prix moyen des voitures vendues? âge X 4 5 6 7 marge en X 11 15 17

âge moyen et le prix moyen des voitures vendues? âge X prix Y 4 5 6 7 marge en Y [11 ,12[ 2 11 13 [12 ,13[ 10 14 [13 ,14[ 1 3 [14 ,15[ [15 ,16[ [16 ,17[ marge en X 15 17 50

âge moyen et le prix moyen des voitures vendues? prix Y centre marge en Y [11 ,12[ 11.5 13 [12 ,13[ 12.5 14 [13 ,14[ 13.5 6 [14 ,15[ 14.5 7 [15 ,16[ 15.5 3 [16 ,17[ 16.5

écarts types de X et de Y ? prix Y marge en Y 13 14 marge en X 15 17 âge X prix Y 4 5 6 7 marge en Y [11 ,12[ 2 11 13 [12 ,13[ 10 14 [13 ,14[ 1 3 [14 ,15[ [15 ,16[ [16 ,17[ marge en X 15 17 50

écarts types de X et de Y ? âge X 4 5 6 7 marge en X 11 15 17

écarts types de X et de Y ? prix Y marge en Y 13 14 marge en X 15 17 âge X prix Y 4 5 6 7 marge en Y [11 ,12[ 2 11 13 [12 ,13[ 10 14 [13 ,14[ 1 3 [14 ,15[ [15 ,16[ [16 ,17[ marge en X 15 17 50

écarts types de X et de Y ? prix Y centre marge en Y [11 ,12[ 11.5 13 [12 ,13[ 12.5 14 [13 ,14[ 13.5 6 [14 ,15[ 14.5 7 [15 ,16[ 15.5 3 [16 ,17[ 16.5

covariance du couple ( X , Y)? 4 5 6 7 11.5 2 11 12.5 10 13.5 1 3 14.5 15.5 16.5

Y a-t-il ajustement affine du couple (X , Y)? Equation de la droite de régression de Y en X par la méthode des moindres carrés. r  ≥  0.86. L’ajustement affine entre X et Y est justifié.

Y a-t-il ajustement affine du couple (X , Y)? Equation de la droite de régression de Y en X par la méthode des moindres carrés. Soit D : y = ax + b la droite de régression de Y en X

a- Un étudiant n’a que 3 mille dinars a- Un étudiant n’a que 3 mille dinars. Peut-il acheter une telle voiture? et de quel âge? b- A quel prix estime-t-on la vente d’une voiture neuve de cette catégorie ? Avec 3 mille dinars, l’étudiant peut se permettre une voiture dont l’âge est entre 12 et 13 ans On estime à 22.020 mille dinars le prix d’une voiture neuve de cette catégorie.

Ajustement affine et non affine

Un laboratoire développe un nouvel antibiotique A. Une personne a reçu le produit actif par voie intraveineuse. Les concentrations du produit dans le sang (mg/l) ont été mesurées à différents temps (en minutes ) après l’injection du produit : Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240 Concentration x (mg/l) 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45

Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240 Concentration x (mg/l) 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45 G(60.75, 3.34)

écarts types (t) et (x)? Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240 Concentration x (mg/l) 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45

Coefficient de corrélation du couple (t, x) Equation de la droite de régression de x en t? Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240 Concentration x (mg/l) 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45

Coefficient de corrélation du couple (t, x) Equation de la droite de régression de x en t? Soit D : x = at + b la droite de régression de x en t

Soit D’ : x = at + b la droite de régression de z en t 1 5 10 20 30 60 120 240 x 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45 z =ln(x) 1.609 1.558 1.508 1.408 1.308 1.007 0.405 -0.798 Soit D’ : x = at + b la droite de régression de z en t

Soit D’ : x = at + b la droite de régression de z en t 1 5 10 20 30 60 120 240 x 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45 z =ln(x) 1.609 1.558 1.508 1.408 1.308 1.007 0.405 -0.798 Soit D’ : x = at + b la droite de régression de z en t

t 1 5 10 20 30 60 120 240 x 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45 z =ln(x) 1.609 1.558 1.508 1.408 1.308 1.007 0.405 -0.798

La concentration du produit actif est donnée par la fonction :f(t) =

f(t) = Valeur moyenne de la fonction f sur [ 1 , 240]?

c- quelle devrait être la concentration du produit 3) f(t) = c- quelle devrait être la concentration du produit 8 heures après l’injection? Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240 Concentration x (mg/l) 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45

Méthode de Mayer

Le tableau suivant donne les valeurs moyennes mensuelles des précipitations (x) en mm de pluie sur Tunis en fonction de la température (t) en °C Mois J F M A S O N D temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 préc. x 69 46 44 40 23 9 1 36 54 56 67

Mois J F M A S O N D temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 préc. x 69 46 44 40 23 9 1 36 54 56 67

Ajustement affine par la méthode de Mayer du nuage des points de la série double (t , x). Mois J F M A S O N D temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 préc. x 69 46 44 40 23 9 1 36 54 56 67 Soit G1 le point moyen correspondant aux 6 premières entrées du tableau et soit G2 le point moyen correspondant aux 6 dernières entrées du tableau G1(15.83 , 38.5) G2(21 , 37.16)

Ajustement affine par la méthode de Mayer du nuage des points de la série double (t , x). Mois J F M A S O N D temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 préc. x 69 46 44 40 23 9 1 36 54 56 67

Mois J F M A S O N D temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 préc. x 69 46 44 40 23 9 1 36 54 56 67 G1(15.83 , 38.5) G2(21 , 37.16)

Mois J F M A S O N D temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 préc. x 69 46 44 40 23 9 1 36 54 56 67

G1(13.33, 53.66) G2(23.5, 22) M(t, x) (G1G2)  J F M A S O N D Mois J F M A S O N D temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 préc. x 69 46 44 40 23 9 1 36 54 56 67 G1(13.33, 53.66) G2(23.5, 22) M(t, x) (G1G2) 

G1(13.33, 53.66) G2(23.5, 22) M(x, y) (G1G2)  J F M A S O N D Mois J F M A S O N D temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 préc. x 69 46 44 40 23 9 1 36 54 56 67 G1(13.33, 53.66) G2(23.5, 22) M(x, y) (G1G2) 

Mois J F M A S O N D temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 préc. x 69 46 44 40 23 9 1 36 54 56 67