Produit de Matrices Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Nous présentons l’opération de multiplication de deux matrices en utilisant la mise en situation qui nous a servi pour définir les matrices. Nous verrons à quelle condition les matrices sont compatibles pour la multiplication et nous présenterons quelques pro-priétés de cette opération.

Mise en situation Deux marchands ambulants vendent des jus de fruits dans les parcs de la municipalité durant les fins de semaine. Les tableaux suivants donnent les ventes, les prix et les coûts. 27 36 39 43 68 55 33 58 49 PARC BEAUSÉJOUR Jours Vendredi Samedi Dimanche Orange Raisin Pomme Jus 38 46 42 63 72 43 65 58 PARC DE LA MAIRIE Jours Vendredi Samedi Dimanche Orange Raisin Pomme Jus 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 Jus Orange Raisin Pomme Prix Coût

Matrices de l’information L’information contenue dans ces tableaux est plus simplement véhiculée par les matrices suivantes : 27 36 39 43 68 55 33 58 49 3x3 B = Ventes au parc Beauséjour : 38 46 42 63 72 43 65 58 3x3 M = Ventes au parc de la Mairie : 3x2 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 P = Prix de vente et coût des jus :

Multiplication de matrices Supposons que le propriétaire de l’entreprise demande de calculer les revenus et le coût d’acquisition des jus pour chaque jour de cette fin de semaine au parc Beauséjour. On peut obtenir cette information par une opération sur les matrices B et P. Voici comment : 27 x 0,40 + 43 x 0,60 + 33 x 0,50 = 53,10 36 x 0,40 + 68 x 0,60 + 58 x 0,50 = 84,20 36 x 1,00 + 68 x 1,40 + 58 x 1,20 = 200,80 39 x 0,40 + 55 x 0,60 + 49 x 0,50 = 73,10 39 x 1,00 + 55 x 1,40 + 49 x 1,20 = 174,80 27 x 1,00 + 43 x 1,40 + 33 x 1,20 = 126,80 Revenus Coûts 33 58 49 43 68 55 3x3 27 36 39 Vendredi Samedi Dimanche 126,80 3x2 200,80 174,80 53,10 84,20 73,10 3x2 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 3x2 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 126,80 53,10 • = B•P = 200,80 84,20 174,80 73,10 3x2 Cet exemple nous indique comment définir le produit de deux matrices

Multiplication de matrices DÉFINITION Soit A = (aik)mxp et B = (bkj)pxn, deux matrices. Le produit de ces matrices, noté A • B (ou AB), est une matrice C = (cij)mxn dont les éléments cij sont définis par : cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ... + aipbpj, pour tout i et pour tout j. a21b12+ a22b22 + a23b32 = c22 a11b12+ a12b22 + a13b32 = c12 a11b11+ a12b21 + a13b31 = c11 a21b11+ a22b21 + a23b31 = c21 b11 b21 b31 b12 b22 b32 3x2 a11 a21 a12 a22 a13 a23 2x3 c11 c12 A • B = • = c21 c22 2x2

Compatibilité pour la multiplication La multiplication des matrices est définie seulement si le nombre de colonnes de la matrice à gauche du symbole d’opération est égal au nombre de lignes de la matrice à droite du symbole d’opération. On dit alors que les matrices sont compatibles pour la multiplication. Le nombre de lignes de la matrice produit est le même que celui de la matrice à gauche du symbole d’opération. Le nombre de colonnes de la matrice produit est le même que celle de la matrice à droite du symbole d’opération. Amxp•Bpxn = Cmxn Amxp•Bpxn

Remarque L’élément cij est obtenu en faisant la somme des produits des éléments de la ligne i de la matrice A et des éléments de la colonne j de la matrice B. Ainsi, l’élément de la première ligne et de la deuxième colonne, soit c12, est obtenu en effectuant le produit de la première ligne de la matrice à gauche du symbole d’opération et de la deuxième colonne de la matrice à droite du symbole d’opération. De la même façon, l’élément c31 est obtenu en effectuant le produit de la troisième ligne de la matrice à gauche du symbole d’opération et de la première colonne de la matrice à droite du symbole d’opération.

Exercices B = A = C = = = = 4 2 –1 –2 5 3 6 7 2 –3 –1 4 5 3 2 –1 4 Effectuer les multiplications demandées lorsqu’elles sont définies. (cliquer pour les réponses) 1 –7 6 35 –5 4 = 2. B•A n’est pas définie 1. A•B 34 27 –13 = 3. C•B 2 3 –3 = 4. B•C t

Transposition et produit Considérons à nouveau la matrice donnant les ventes au parc Beauséjour et celle des prix et des coûts. On a obtenu le revenu et les coûts par jour par un produit des matrices. Comparons les résultats : Revenus Coûts B  P  B•P  3x3 27 36 39 43 68 55 33 58 49 Vendredi Samedi Dimanche 3x2 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 126,80 3x2 200,80 174,80 53,10 84,20 73,10 126,80 200,80 174,80 3x2 53,10 84,20 73,10 • = En transposant ces matrices, on véhicule la même information en la structurant différemment et il faut modifier l’ordre des matrices transposées dans le produit. Vendredi Samedi Dimanche P t Revenus Coûts 126,80 53,10 200,80 84,20 174,80 73,10 2x3 B t P t•B t 3x3 27 43 33 36 68 58 39 55 49 2x3 1,00 0,40 1,40 0,60 1,20 0,50 126,80 53,10 200,80 84,20 174,80 73,10 2x3 • = On obtient la même information mais la matrice est transposée.

Matrices carrées Les matrices carrées d’un même ordre sont toujours compatibles pour la multiplication des matrices, et la matrice obtenue est toujours du même ordre que les matrices multipliées. L’ensemble des matrices carrées d’un même ordre est donc fermé pour la multiplication. On notera A2 pour A•A et A3 pour A•A•A, ainsi de suite. 2x2 2 –3 –1 5 A = 2x2 4 –3 –2 5 , B = et I = 2x2 1 Soit : 2x2 2 –3 –1 5 2x2 4 –3 –2 5 Calculer A•I = I•B = 2x2 11 –27 –9 31 2x2 7 –21 –7 28 Calculer A•B = A2 = La matrice I est neutre pour la multiplication. Cliquer pour la suite.

Exercice Dans le diagramme suivant, les liaisons aériennes journalières entre les villes de deux pays ont été représentées par des flèches et le nombre de ces liaisons est indiqué sur chacune des flèches. Représenter cette information par une matrice. Utiliser la multiplication des matrices pour déterminer le nombre de liaisons aériennes journalières des villes A et B vers les villes F, G et H. Combien y a-t-il de liaisons journalières de A vers H et de B vers H? Cliquer pour la réponse. Représenter par une matrice les liaisons aériennes journalières des villes C, D et E vers les villes F, G et H. Cliquer pour la réponse. 2x3 14 11 12 6 3 F G H A B 3x3 3 2 1 3x3 3 2 1 C D E F G H 2x3 2 3 1 2x3 2 3 1 A B C D E 2x3 14 11 12 6 3 Il y a trois liaisons journalières de A vers H et aucune de B vers H. • =

Conclusion La multiplication des matrices permet de dégager de nouvelles informations à partir de celles véhiculées par les matrices. Il est important de bien saisir le sens des propriétés du produit et de la transposition des matrices. Elles permettent souvent de simplifier des équations matricielles et d’éviter les écueils car ce ne sont pas les mêmes que celles des opérations sur les nombres. Ces propriétés sont données en page 13 du volume.

Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 10.3, p. 306 à 311. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 10.2, p. 312 et 313.