Réalisé par R. MARRAKHA. KHAYAR Khayar-marrakh Université Hassan-II Faculté des sciences Aïn chock Casablanca Professeurs assistants - département de physique sphériques

Les coordonnées cartésiennes employées habituellement pour représenter un point dans l'espace à trois dimensions ne sont pas toujours les plus appropriées. On retiendra deux autres types de coordonnées pour repérer un point ou décrire un champ ( scalaire ou vectoriel ) : les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques.

Khayar-marrakh Pré requis : Objectifs : Au terme de ce travail le participant doit être capable de :  Système de coordonnées cartésiennes et cylindriques  Grandeurs scalaires et vectorielles  Calcul vectoriel : produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte…  Repérer un point de l’espace en utilisant le système des coordonnées sphériques  Passer des coordonnées cylindriques et sphériques aux coordonnées cartésiennes  Utiliser ces systèmes de coordonnées dans la résolution des problèmes présentant une symétrie sphérique

Coordonnées sphériques Khayar-marrakh

y x z O y x z O Peut on repérer le point M dans le demi plan   constante par de nouvelles coordonnées ?  On trace les axes du repère et on exprime M en coordonnées cylindriques. Coordonnées Domaine de variation Oui, le point M est parfaitement repéré dans le plan méridien, si on connait la distance OM = r Khayar-marrakh  y x z O    z (,, ) z Voici un point M dans l’espace. r = OM ] 0, +  [  = ( Ox +, Om) [ 0, 2  [  Ox + le demi-axe positif (origine des phases) m r   = ( Oz +, OM) [ 0,  ]  Oz + le demi-axe positif (origine des phases) r  Ainsi le point M est repéré par les nouvelles coordonnées r,  et . Ces coordonnées sont appelées coordonnées sphériques. et l’angle . Comment le repérer ? Origine : le point O Question : Réponse : M

Considérons le triangle rectangle Om′m. Khayar-marrakh exprimons x et y en fonction de  et  h ( r,  ) P  P  y x z  M m  Dans ce triangle on a : Soient r,  et  les coordonnées du point M. exprimons  et z en fonction de r  et  Considérons le triangle rectangle OO′M. r  Dans le demi-plan P z O O z O O′O′ M  r  Dans ce triangle on a : Dans le plan P ( Oxy ) m′m′ x y y m m′m′ x  O  Expressions de r,  et  en fonction de x, y et z. Objectif : On cherche à exprimer x, y et z en fonction de r,  et  f ( r,  ) g ( r,  )

Surfaces de Coordonnées Deuxième surface de coordonnée  0 ( r  et  varient respectivement de 0 à +  et de 0 à 2  ) Troisième surface de coordonnée  0 ( r et  varient respectivement de 0 à +  et de 0 à  ) Première surface de coordonnée r =  r 0 (  et  varient respectivement de 0 à  et de 0 à 2  ) Définition : Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante. Khayar-marrakh

Le point M décrit un cercle de centre O' et de rayon r o sin  .  Pour  =  2,   = ,    -   et    -   :: Pour θ quelconque : On obtient un ensemble de cercles d’axe Oz et de rayon r o sin  i ( i = 2, 3…) 11 Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier  et  ? Khayar-marrakh L’ensemble des cercles forme une sphère de centre O et de rayon r o. [ 0, 2  [ Lorsque on fait varier θ de façon continue … Question : r r 0 m Réponse : O z y x  Si on fixe r  ( r rr    Soit M un point de coordonnées r ,  et .  [ 0,  ] Pour  =   : Dans une rotation  = 2  … Première surface de coordonnée r = r o r 0 sin θ 1 O'O' M r 0 sin θ 2  22 r0r0 Conclusion :  C’es la raison pour laquelle ce système est appelé système de coordonnées sphériques  La première surface de coordonnée décrite par le point M est une sphère de centre O et de rayon r o.

Le point M décrit un cercle d’axe Oz et de rayon r 1 sin  .  Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier  et r ? Lorsque on fait varier r de façon continue … Soit M un point de coordonnées r ,  et .  Réponse : Khayar-marrakh z L’ensemble de cercles d’axe Oz et de rayons r sin θ o forme un cône d’axe Oz et de demi angle au sommet  . On obtient un ensemble de cercles d’axe Oz et de rayons r i sin  o ( i = 2, 3… ).    Si on fixe  (   Pour r quelconque : M M M [ 0, 2  [ Question : r m O y x  Pour r = r  : Dans une rotation  = 2  … Pour r rr , r = r 3 et r = r 4 … r1r1 M r2r2 r3r3 r4r4  z ] 0,  [ Deuxième surface de coordonnée  =  o Conclusion : La deuxième surface de coordonnée décrite par le point M est un cône d’axe Oz et de demi angle au sommet  o.

Pour r rr , r = r 3 et r = r 4 … Dans une rotation  =  … Khayar-marrakh   r2r2 r4r4 r r1r1 m M r1r1 r2r2 z M r3r3 M r4r4 M r3r3 O Réponse : Si on fixe  (    Pour r quelconque : [ 0,  ] Question : ] 0,  [ Pour r = r  : x y  Conclusion : La troisième surface de coordonnée décrite par le point M est un demi-plan ( le méridien ) ayant l’axe Oz pour frontière et faisant un angle  0 avec l ’ axe Ox +. Troisième surface de coordonnée  =  0 Le point M décrit un demi-cercle de centre O et de rayon r 1.  L’ensemble des demi-cercles forme un demi- disque de rayon infini demi-plan. On obtient des demi-cercles de centre O et de rayons r i ( i = 2, 3, 4 … ). Soit M un point de coordonnées r ,  et . Lorsque on fait varier r de façon continue … Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier  et r ?

Khayar-marrakh Axes de Coordonnées Axe des  r = r  o et  =  o Axe des  r = r  o et  =  o Axe des r  =  o et  =  o Définition : Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième.

Khayar-marrakh x y z o  Leur intersection donne l’axe (orienté) des r  =    =  o et Axe des r On trace les deux surfaces de coordonnées: r   Conclusion : L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du cône, de sommet O, et du demi-plan  o ; forme une demi-droite d’origine O. Cette demi-droite est appelée axe des r.

Khayar-marrakh O z y x Leur intersection donne l’axe (orienté) des  Axe des  On trace les deux surfaces de coordonnées: r = r o  =  o et   x O z Conclusion : L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon r o, et du demi-plan  o ; forme un demi-cercle de centre O et dont le diamètre est porté par l’axe Oz. Ce demi-cercle est appelé axe des .

Khayar-marrakh y x z o Axe des  r = r o  =  o et Leur intersection donne l’axe (orienté) des  Conclusion : L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon r o, et du cône, de demi-angle au sommet  o ; forme une circonférence d’axe Oz. Ce cercle est appelé axe des .  On trace les deux surfaces de coordonnées:

, et changent de direction et de sens, suivant la position du point M dans l’espace. est le même vecteur unitaire dans les deux systèmes cylindrique et sphérique. Khayar-marrakh  ee  O′ Vecteurs unitaires  ee Traçons à partir du point M les trois axes de coordonnées. A partir de M on trace les vecteurs unitaires tangents et dans le sens croissant de ces trois axes. ee Axes des vecteurs unitaires Pour un autre point M′ ee  r r erer M erer M ′ Conclusion : sont respectivement les vecteurs unitaires associés aux axes des r, des  et des  dirigés dans le sens croissant des variables r,  et . z O y x ayant le même sens que O r. tangent à l’axe des  et dans le sens de la rotation  tangent à l’axe des  et dans le sens de la rotation  r 

Khayar-marrakh  Etape 1 : passage du système sphérique au système cylindrique.  Etape 2 : passage au système cartésien. Expressions de, et dans le système cartésien  z M ezez ee erer ee   y ee ee z ezez P y  O'O' ee M  erer ee ee z x O x O z r erer  erer r Dans le demi-plan P ee  Procédure : dans le système sphérique ee on a la configuration suivante : et dans le système cylindrique ee sont identiques ee ezez ee erer ee ee Remplaçant, maintenant, et par leurs expressions dans le système cartésien. Objectif :On cherche à exprimer, et dans le système cartésien  erer ee ee Etape 2 Etape 1 Les des deux étapes donnent: résultat établi au diapositive 16 (coordonnées cylindriques)

O z y x MM ' = M 2 M ' + M 1 M 2 + MM 1 Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire dans ce système de coordonnées ? d l = MM' r  r dd r MM ' = MM 1 + M 1 M 2 + M 2 M ' M 2 M ' = Deuxième déplacement suivant l’axe des  Le déplacement élémentaire est le résultat de trois déplacements : de M à M ' Khayar-marrakh MM 1 = M 1 M 2 = M 2 M' = r sin  d  r d  dr Troisième déplacement suivant l’axe des r dd   M Déplacement élémentaire Soient M et M ' deux points de l’espace.  Premier déplacement suivant l’axe des de M vers M 1 MM 1 = r d  dr r sin  d  Question : Réponse : de M 1 vers M 2 de M 2 vers M ' N.B. : M’ est infiniment voisin de M.  M 1 M 2 = M'M' M1M1 M2M2 r sin  d  ou encore M  r  M'M' r  d  r  d   + d  MM1M1  r   d  r  M1M1 M2M2  r  d  r  d  M2M2 M'M'  r   d  r + dr  d  O'O'

Khayar-marrakh Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des  y x z O suivi d’un autre suivant l’axe des , Surfaces élémentaires r  = constante Un déplacement élémentaire MM’, sur la sphère r = constante définit un élément de surface. On se trouve sur la sphère derayon r. dS = Λ r d  dS r 2 sin  d  d  = r sin  d  A retenir : dS = r 2 sin  d  d  N.B. : M’ est infiniment voisin de M. on obtient un élément de surface dd r dd r sin  dS M M’

Khayar-marrakh Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des  suivi d’un autre suivant l’axe des r ,  = constante Un déplacement élémentaire MM', sur la surface  = constante, définit un élément de surface. On se trouve sur la surface latérale du cône. dS = Λ r sin  dr  d  = M'M' M r sin  d  dr A retenir : dS = r sin  dr  d  N.B. : M’ est infiniment voisin de M. dS on obtient un élément de surface z O x y

Khayar-marrakh Un déplacement élémentaire M M ', sur la surface  = constante, définit un élément de surface. r dr  d  = Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des  suivi d’un autre suivant l’axe des r ,  = constante On se trouve sur le demi-plan . dS = Λ r d  dS dr A retenir : dS = r dr  d   M M'M' dS z O x y N.B. : M' est infiniment voisin de M. on obtient un élément de surface

et effectuons des déplacements élémentaires le long de ces axes.  On obtient le volume élémentaire d   Khayar-marrakh r d  r dd = r 2 sin  dr  d  d  Volume élémentaire Soient M et M' deux points de l’espace. N.B. : M' est infiniment voisin de M. Un déplacement élémentaire MM' définit un élément de volume d  Λ dd = ( ) Traçons d’abord les axes de coordonnées Surface de la base A retenir : d  = r 2 sin   dr  d  d  M'M' M dr r sin  d  z y x O drdr

Nous désirons exprimer nos remerciements à tous les collègues qui, par leur aide et leur encouragement, nous ont permis d’achever ce travail. Septembre 2009