Réalisé par : Sébastien Lachance MATHS 3 E SECONDAIRE FONCTIONS polynomiales

 DEGRÉ 1 MATHS 3 E SECONDAIRE - FONCTIONS polynomiales - f(x) = ax + b A) Forme générale a : Taux de variation (ou pente) b : Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale)

f(x) = ax + b a : Taux de variation (ou pente) b : Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale) Exemples f(x) = 4x + 10 f(x) = -3x – 50 f(x) = x f(x) = 22 f(x) = 1x + 0 f(x) = 0x + 22

C’est la mesure de la variation de la fonction. B) Taux de variation (a) a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 =  y  x x

Exemple #1 Temps (heures) Salaire ($) Salaire d’une secrétaire médicale  Choisir 2 points ( 2, 40 ) ( 4, 80 ) (x 1, y 1 ) = (2, 40) (x 2, y 2 ) = (4, 80)  Remplacer dans la formule a = x 2 – x 1 =  x x y 2 – y 1  y a = 4 – 2 80 – 40 = 2 40 = 20

Exemple #2 xy  Choisir 2 points (x 1, y 1 ) = (1, 9) (x 2, y 2 ) = (4, 21)  Remplacer dans la formule a = x 2 – x 1 =  x x y 2 – y 1  y a = 4 – 1 21 – 9 = 3 12 = 4

Exemple #3  Choisir 2 points (x 1, y 1 ) = (2, 40) (x 2, y 2 ) = (6, 20)  Remplacer dans la formule a = x 2 – x 1 =  x x y 2 – y 1  y a = 6 – 2 20 – 40 = = -5 y x 0

C’est l’endroit où la courbe croise l’axe des y (ordonnée). C) Ordonnée à l’origine (b) Donc c’est la valeur de f(0), c’est-à-dire la valeur de f(x) quand x vaut

Dans un GRAPHIQUE b : ordonnée à l’origine = x y Remplissage d’une piscine Litres Minutes b : ordonnée à l’origine = L C’est la première donnée, donc la valeur initiale.

Dans une TABLE DE VALEURS C’est la valeur de f(0). … x f(x) … … … b : ordonnée à l’origine = 2 … x f(x) … … … b : ordonnée à l’origine = 0

Dans une SITUATION Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20 $ plus 0,50 $ par fenêtre lavée. C’est la valeur initiale, au départ de la situation. b : ordonnée à l’origine = 20 $

D) Règle : f(x) = ax + b  Trouver a (taux de variation)  Trouver b (ordonnée à l’origine) a = x 2 – x 1 =  x x y 2 – y 1  y Remplacer un point (x, y) ainsi le paramètre a dans la règle. Isoler le paramètre b dans la règle.  Écrire la règle (en remplaçant a et b)

Exemple # 1 x f(x)  x x  y y a = 37 – 27 5 – 3 a = 5  Trouver a a = 10 2  Trouver b f(x) = a x + b f(x) = 5 x + b 27 = 5(3) + b 27 = 15 + b 12 = b  Règle f(x) = 5 x – 15 = 15 – 15 + b

Exemple # 2 0 y x ( 2, 30 ) ( 6, 40 )  x x  y y a = 40 – 30 6 – 2 a = 2,5  Trouver a a = 10 4  Trouver b f(x) = a x + b f(x) = 2,5 x + b 30 = 2,5(2) + b 30 = 5 + b 25 = b  Règle f(x) = 2,5 x – 5 = 30 – 5 + b

E) Variations directes et partielles Dans une fonction de variation DIRECTE, la droite passe par l’origine (0, 0) du plan cartésien Exemple

E) Variations directes et partielles Donc l’ordonnée à l’origine (b) est nulle. b = 0 La règle devient : f(x) = ax + 0 f(x) = ax Dans une fonction de variation DIRECTE, la droite passe par l’origine (0, 0) du plan cartésien.

E) Variations directes et partielles Dans une fonction de variation PARTIELLE, la droite ne passe pas par l’origine (0, 0) du plan cartésien. Exemple 0 y x

E) Variations directes et partielles Donc l’ordonnée à l’origine (b) a une valeur. b  0 La règle reste : f(x) = ax + b Dans une fonction de variation PARTIELLE, la droite ne passe pas par l’origine (0, 0) du plan cartésien.

 DEGRÉ 0 (fonction constante) MATHS 3 E SECONDAIRE - FONCTIONS polynomiales - Dans une fonction CONSTANTE, le taux de variation est nul (a = 0) Donc : f(x) = ax + b f(x) = 0x + b f(x) = b Règle générale : f(x) = b

Exemple Le tarif d’entrée au cinéma, pour un adulte, est de 8,00 $. Voici le graphique représentant cette situation. Peu importe l’âge, le tarif est toujours de 8,00 $. La courbe est une ligne droite horizontale parallèle à l’axe des abscisses. La règle est : f(x) = 8 On s’intéresse à la relation entre le coût ($) et l’âge. Tarif d’entrée au cinéma Âge Tarif ($)

Exemple Tarif d’entrée au cinéma Âge Tarif ($) La table de valeurs est : Âge Coût ($) … 8 Le taux de variation est nul : 0  x x  y y a = 8 – 8 50 – 30 a = 0 a = 0 20 Donc la règle est : f(x) = ax + b f(x) = 0x + 8 f(x) = 8

Exercice Dans la fonction suivante, détermine : x y 1 1 l’ordonnée à l’origine :-3 le taux de variation : 0 la règle :f(x) = -3 Comment appelle-t-on cette fonction ? Fonction constante ou Fonction de variation nulle.

 Fonction INVERSEMENT PROPORTIONNELLE MATHS 3 E SECONDAIRE - FONCTIONS polynomiales - f(x) = x a Règle générale :

Exemple f(x) = x x f(x) Table de valeurs : Graphique :

Situation x : le nombre d’ouvriers f(x) : le temps (h) Un entrepreneur veut construire une maison. Il désire évaluer le temps que prendrait la tâche en fonction du nombre d’ouvriers. Il considère que la construction à effectuer demande heures de travail. Cette situation correspond-elle à une fonction inversement proportionnelle ? x. f(x) = a 2 X 500 = X 200 = X 100 = X 40 = C’est bien une fonction inversement proportionnelle. f(x) = x a Dans une table de valeurs, on obtient toujours une constante (a) lorsqu’on multiplie les x avec y.

 NUAGE de points MATHS 3 E SECONDAIRE - FONCTIONS polynomiales - Sert à modéliser une situation. Développement dans le monde 0 Mortalité infantile (%) Espérance de vie (années)

Certains nuages de points ne révèlent rien de particulier. D’autres, au contraire, sont très significatifs.

Parfois, les modèles ressemblent à des fonctions connues. Modélisable par une fonction linéaire. Modélisable par une fonction inversement proportionnelle. Modélisable par une fonction constante. y x y x y x

Construire un nuage de points ÂgeTaille (cm) Âge Taille (cm) 2 2 Ici, le nuage de points est assez dispersé; le lien entre les variables est donc faible et non significatif.