les Lois de Képler

K1: loi des orbites K1: chaque planète décrit, dans le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre) une ellipse dont le Soleil occupe l’un des foyers

K2: loi des aires K2: les aires balayées par le rayon-vecteur planète-Soleil sont proportionnelles aux temps employés pour les décrire

K3: loi des périodes K3: le cube du demi-grand axe « a » de l’orbite d’une planète, divisé par le carré de la période de révolution sidérale « T » est une constante pour toutes les planètes du système solaire

Démarche de Képler ses « convictions » initiales: du Soleil émane la « force motrice » des planètes les mouvements planétaires ont une cause physique (et non animiste) essaye de faire coller les observations de Tycho avec un modèle d’orbite - en fait Képler n’est pas Copernicien au sens strict, car bien que Copernic ait défendu l’héliocentrisme, les orbites planétaires étaient il tient son « journal », son « blog » !! raconte ses hypothèses, ses doutes, ses erreurs  démarche de « scientifique » moderne

Démarche de Képler: K2 t Képler énonce d’abord la loi des aires 8 Kepler remarque que les vitesses à l’aphélie et au périhélie sont inversement proportionnelles à la distance au Soleil (faux ! vrai seulement en ces points) pour définir les vitesses le long de l’orbite, il faut prendre de très nombreux points et mesurer leur distance au Soleil Kepler fait alors la somme de distances ainsi mesurées entre A et B, et pense qu’il obtient une mesure de l’aire balayée pendant le temps t (faux! seul le calcul infinitésimal donne une solution exacte) S 8 A B C D t partant de ces deux erreurs, Kepler donne l’énoncé exact de la loi des aires: K2: les aires balayées en temps égaux sont égales ! aire (SAB) = aire (SCD) … sans préjuger en rien de la forme de l’orbite !!!

Démarche de Képler: K1 Képler revient au modèle d’orbite (1603) Kepler sait qu’il doit s’affranchir de la circularité; il choisit le modèle qui s’en rapproche le plus: l’ovale !! …. et pour cela, n’hésite pas à réintroduire des épicycles !! « jamais un scientifique n’a encore pondu un tel œuf ! » S il fait la somme de 180 distances Soleil-Mars !! M  nouvel échec

Démarche de Képler: K1 « les voies par lesquels l’homme parvient à la connaissance sont parfois aussi étonnantes que la connaissance elle-même » en étudiant les lunules qui distinguent la trajectoire de Mars du cercle circonscrit, Kepler remarque par hasard que l’épaisseur maximale de la lunule est de 0,00429, alors que 1/cosα = 1,00429 incroyable coïncidence !! 5 chiffres après la virgule !! d’autant que notre figure est loin d’être à l’échelle !

Démarche de Képler: K1 « les voies par lesquels l’homme parvient à la connaissance sont parfois aussi étonnantes que la connaissance elle-même » avec une échelle (un peu) plus proche de la réalité si le rayon du cercle est 1m, l’épaisseur max de la lunule est de 4mm !!!!! et la distance OS de 9cm !!!!

Démarche de Képler: K1 ellipse de la lunule à l’ellipse… …et de la puce à l’oreille !! Képler finit par comprendre (*) qu’il existe un rapport constant entre l’épaisseur de la lunule et la distance à l’axe de l’orbite circulaire circonscrite 𝑀𝑆 𝑀 ′ 𝑆 = 𝑀 1 ′ 𝑂 𝑀1𝑂 = 𝑀 2 ′ 𝐻 𝑀2′𝐻 ellipse il lui aura fallu six ans pour venir à bout de l’orbite de Mars !!  nouvel échec il publie alors ses résultats dans Astronomia Nova (1609) (*): les interprétations divergent sur le cheminement exact de Képler

Astre moyen / Anomalie moyenne P0’ P7’ P1’ B M7 O H F A P2’ P3’ P4’ P5’ cercle du moyen mouvement (rayon indifférent) « horloge »: 1 tour en 1 période M = anomalie moyenne P’ = astre moyen M = t. (T / 2π)

Astre moyen / Astre vrai / Anomalie vraie P0’ P7’ P1’ B P0 P1 P7 φ M7 O H F A P2’ P3’ P4’ P5’ P2 P3 cercle du moyen mouvement (rayon indifférent) « horloge »: 1 tour en 1 période P’ = astre moyen M = anomalie moyenne P = astre vrai ϕ = anomalie vraie

Anomalie moyenne / vraie / excentrique cercle directeur de l’orbite B P0 P1 ε7 P7 " P7 φ P7’ M7 O H F A P2 P3 cercle du moyen mouvement (rayon indifférent) M = anomalie moyenne ϕ = anomalie vraie ε = anomalie excentrique équation de Képler: ε = M + e.sin ε

ε φ M M φ ε P " P P’ M = anomalie moyenne ε = anomalie excentrique équation de Képler: ε = M + e.sin ε tg ϕ = (1-e2)1/2. sin ε / (cos ε – e) l’équation de Képler: une des deux causes du décalage soleil moyen / soleil vrai P " M P  P’  φ ε M = anomalie moyenne ε = anomalie excentrique ϕ = anomalie vraie

avec: OS = a.e et M’H = a.sin ε K1 et K2 Equation de Képler aire secteur SPM’ = secteur circ. OPM’ – triangle OSM’ aire secteur SPM’ = (a2/2) . ε – (a2/2).e. sin ε avec: OS = a.e et M’H = a.sin ε où ε est exprimé en radians aire cercle = πa2 secteur: (πa2).(ε/2 π)

K1 et K2 Equation de Képler aire secteur SPM = aire secteur SPM’ x (b/a) en vertu de la transformation affine aire secteur SPM = [(a2/2) . ε – (a2/2).e. sin ε] . (b/a) aire secteur SPM = (ab/2) . (ε –e. sin ε) or, au bout du temps T (révolution) l’aire balayée est celle de l’ellipse, donc: πab donc , au bout du temps t, le secteur balayé est: aire secteur SPM = (πab/T) . (t-t0) (2π/T) . (t-t0) = (ε –e. sin ε) M = ε – e. sin ε ε = M + e. sin ε cette équation décrit le décalage astre moyen /astre vrai

Démarche de Képler : K3 l’Harmonie du Monde l’objectif ultime de Képler est de démontrer « l’harmonie du monde » essaye d’établir un lien entre les intervalles des gammes musicales, la longueur des côtés des polygones réguliers, la surface des faces des polyèdres, etc… essaye de trouver des planètes supplémentaires pour combler le « vide » entre Mars et Jupiter puis tente d’expliquer les « rayons » des orbites par sa théorie des polygones emboîtés: Ok avec Saturne et Jupiter…

Démarche de Képler : K3 l’Harmonie du Monde T2/a3 = constante comme il ne réussit pas avec les polygones, il essaye les polyèdres emboîtés et leur sphères circonscrite et inscrite: nouvel échec à force d’essais, Kepler trouve que le carré de la période de rotation des planètes est inversement proportionnel au cube du demi grand axe de l’orbite T2/a3 = constante résultat empirique, qui prépare la voie à Newton la troisième Loi n’est qu’un banal paragraphe de l’Harmonie du Monde (1619)

Newton 1642 - 1727 - réussit la synthèse des théories de Kepler, Descartes et Galilée - Newton utilise en particulier K3 pour démontrer sa loi de gravitation universelle: F = G MM’ / D2 - en retour, les lois de Newton permettent de démontrer K1 et K2 - mais Newton va au-delà de Képler: - en démontre mathématiquement les implications (calcul différentiel et intégral) - découvre vraiment les phénomènes physiques que Képler recherchait - rectifie les « erreurs » de Képler (*): inversion gravité (en 1/D) / inertie - étudie la dynamique des projectiles, vitesse de libération, etc… (*): sauf celle liée au sens direct de parcours des orbites

Démonstration des lois de Képler - géométrique (aire de triangles) - à partir de Newton et calcul différentiel K2: - géométrique (Feynman) / hodographe - à partir de Newton et calcul différentiel - fait intervenir la notion de moment cinétique K3: - équations aux dimensions K3 permet de calculer l’orbite géostationnaire: T= 23h56mn4s si a = 42000km  h= 42000 – rayon terrestre ~ 36000km - à partir principe gravitation universelle: a3/T2 = GM / 4π2