Statistiques descriptives Statistique I Statistiques descriptives Niveau: L1 Enseignant: Iharantsoa Zoëla RAMANGASON tsuzuela@yahoo.com

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Programme Partie introductive La statistique Terminologies I. Distributions statistiques unidimensionnelles I.1. Distributions à caractère qualitatif I.1.1. Tableau statistique I.1.2. Représentations graphiques I.2. Distributions à caractère quantitatif Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Programme (suite) I.2.1. Variables statistiques discrètes I.2.1.1. Tableau statistique I.2.1.2. Représentations graphiques I.2.2. Variables statistiques continues I.2.2.1. Tableau statistique I.2.2.2. Représentations graphiques Contrôle continu Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Programme (suite) I.3. Les caractéristiques de position I.3.1. Le Mode I.3.2. Les quantiles I.3.2.1. Détermination d’un quantile I.3.2.2. La Médiane I.3.2.3. Les quartiles I.3.2.4. Les déciles I.3.3. La moyenne arithmétique pondérée Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Programme (suite) I.4. Les caractéristiques de dispersion I.4.1. L’écart moyen absolu I.4.2. La variance et l’écart-type I.4.3. Le coefficient de variation I.4.4. Les moments centrés I.5. Les caractéristiques de forme I.5.1. Le coefficient d’asymétrie de Fisher Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Programme (suite) I.5.2. Le coefficient d’aplatissement de Pearson I.6. Les caractéristiques de concentration I.6.1. La courbe de concentration I.6.2. L’indice de Gini Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Programme (suite) II. Distributions statistiques bidimensionnelles II.1. Distributions marginales II.1.1. Tableau à double entrée II.1.2. Effectifs II.1.3. Fréquences II.2. Représentation graphique: nuage de points pondérés Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Programme (suite) II.3. Les caractéristiques globales II.3.1. Les moyennes II.3.2. Les variances et les écart-types II.4. Le moment centré d’ordre 1.1 II.5. Le coefficient de corrélation II.6. La droite des moindres carrés Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Partie introductive La statistique Etymologie: sciences de l’état La statistique est une branche des mathématiques appliquées qui a pour objet l’étude des phénomènes mettant en jeu un grand nombre d’éléments Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Partie introductive La statistique La statistique est également l’ensemble de données numériques concernant l’état ou l’évolution d’un phénomène qu’on étudie au moyen de la statistique La statistique descriptive est la statistique utilisée en démographie Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Partie introductive La statistique Les statistiques couvrent les domaines d’application telles que la gestion, l’économétrie, la recherche démographique, l’agronomie, la médecine, la biologie … Utilités: pour étudier objectivement un phénomène; pour aider à prendre une décision rationnelle Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Partie introductive Terminologies Phénomène: tout fait extérieur qui se manifeste à la conscience par l’intermédiaire des sens; toute expérience intérieure qui se manifeste à la conscience Données: codes, compréhensibles ou non, que nous voyons, entendons, ou percevons, mais qui n’ont aucune utilité si nous ne possédons pas les clés pour les décrypter Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Partie introductive Terminologies Information: données traitées (sélectionnées, transformées et diffusées aux personnes qui en ont besoin) Population statistique: l’ensemble homogène des personnes, des animaux ou des objets étudiés Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Partie introductive Terminologies Unité ou individu statistique: l’élément représentatif composant la population statistique Effectif total: nombre d’individus observés, noté « n » Caractère: aspect particulier de l’individu auquel on s’intéresse. Il peut être qualitatif ou quantitatif Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON Partie introductive Exercices 1. Prenez une décision quelconque que vous devriez prendre. De quels éléments avez-vous besoin pour que vous puissiez prendre la bonne décision? 2. Observez l’évolution d’un phénomène quelconque. Prenez note de cette évolution Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I. Distributions statistiques unidimensionnelles I.1. Distributions à caractère qualitatif Un caractère est qualitatif s’il est lié à une observation ne faisant pas l’objet d’une mesure Modalités « Ci »: ce sont les différentes rubriques associées à un caractère qualitatif Ex: Le caractère « sexe » comporte deux modalités: « masculin » et « féminin » Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.1. Distributions à caractère qualitatif Propriétés: Les modalités d’un caractère doivent être exhaustives et disjointes. A chaque individu, on doit pouvoir associer une modalité et une seule. Lorsque les modalités ne permettent pas l’exhaustivité, on peut ajouter une modalité « divers » ou « autres », regroupant les individus impossibles à classer Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.1. Distributions à caractère qualitatif Effectif « ni »: nombre de fois où la modalité numéro « i » a été observée Fréquence « fi »: quotient de l’effectif « ni » par l’effectif total « n » telle que Démontrez que: Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.1. Distributions à caractère qualitatif I.1.1. Tableau statistique Modalités Ci Effectifs ni Fréquences fi % C1 n1 f1 C2 n2 f2 … Ck nk fk Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.1. Distributions à caractère qualitatif I.1.2. Représentations graphiques Diagramme à barres Axe des abscisses: ni ou fi Axe des ordonnées: Ci Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.1. Distributions à caractère qualitatif I.1.2. Représentations graphiques Diagramme en colonnes/en tuyaux d’orgue Axe des abscisses: Ci Axe des ordonnées: ni ou fi Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.1. Distributions à caractère qualitatif I.1.2. Représentations graphiques Diagramme à secteurs 360° correspond à 100% de fi Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.1. Distributions à caractère qualitatif I.1.2. Représentations graphiques Diagramme figuratif Colérique Sanguin Flegmatique Mélancolique Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.1. Distributions à caractère qualitatif Applications numériques Etude des tempéraments des élèves de la classe Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I. Distributions statistiques unidimensionnelles I.2. Distribution à caractère quantitatif Un caractère est quantitatif s’il est mesurable par un nombre Les variables statistiques comprennent les grandeurs liées à l’espace, au temps, à la masse ou aux combinaisons de ces diverses grandeurs Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD) Les variables statistiques discrètes (VSD) sont des variables dont les seules valeurs possibles sont distinctes et isolées Valeurs observées: « xi » au lieu de « Ci » Effectifs: « ni » Fréquences: Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD) Fréquences cumulées croissantes: cumul des fréquences associées aux valeurs du caractère strictement inférieures à x. On les note « Fi » Fi = Fi-1 + fi I.2.1.1. Tableau statistique Sur le tableau statistique, mettez xi, ni et fi entre les lignes et Fi sur les lignes Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD) I.2.1.1. Tableau statistique Variable xi Effectif ni Fréquence relative fi % Fréquence cumulée Fi % F0 = 0 % x1 n1 f1 F1 x2 n2 f2 F2 … xk nk fk Fk = 100 % Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD) I.2.1.2. Représentations graphiques Diagramme différentiel / en bâton Axe des abscisses: xi Axe des ordonnées: ni ou fi Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD) I.2.1.2. Représentations graphiques Diagramme intégral / cumulatif Axe des abscisses: xi Axe des ordonnées: Fi Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD) Applications numériques Etude des âges des élèves de la classe Etude des années de naissance des élèves de la classe Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) Dans un intervalle de valeurs, les valeurs possibles des variables statistiques continues (VSC) sont en nombre infini Extrémité de classe: « ei » Amplitude: ai = ei – ei-1 Centre de classe: ei xi ai ei-1 Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) Effectifs: « ni » Fréquences: Fréquences cumulées croissantes: cumul des fréquences associées aux valeurs du caractère strictement inférieures à x. On les note « Fi » Fi = Fi-1 + fi Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) I.2.2.1. Tableau statistique Sur le tableau statistique, mettez ai, xi, ni et fi entre les lignes et ei et Fi sur les lignes ei ai xi ni fi Fi e0 F0 = 0% a1 x1 n1 f1 e1 F1 a2 x2 n2 f2 e2 F2 … ak xk nk fk ek Fk = 100% Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) I.2.2.2. Représentations graphiques Histogramme Axe des abscisses: xi Axe des ordonnées: ni ou fi Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) I.2.2.2. Représentations graphiques Polygone des fréquences Axe des abscisses: xi Axe des ordonnées: fi Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) I.2.2.2. Représentations graphiques Dans le cas où les amplitudes sont différentes - On utilise la densité pour tracer l’histogramme des effectifs - On utilise la fréquence rectifiée pour tracer l’histogramme ou le polygone des fréquences, et où a est le PGCD des amplitudes Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.2. Variables statistiques continues (VSC) I.2.2.2. Représentations graphiques Courbe des fréquences cumulées croissantes Axe des abscisses: xi Axe des ordonnées: Fi Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.2. Distributions à caractère quantitatif I.2.1. Variables statistiques continues (VSC) Applications numériques Etude des âges des élèves de la classe Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.3. Caractéristiques de position I.3.1. Le Mode Noté « Mo ». C’est la (les) valeur(s) observée(s) d’effectif maximum. Cas d’une VSC: on ne peut parler que d’« intervalle modal ». Une série possédant plusieurs modes est dite « plurimodale ». Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.3. Caractéristiques de position I.3.2. Les quantiles On appelle quantile d’ordre α%, noté Qα, la valeur xi du caractère telle que α% des valeurs observées soient strictement inférieures à xi. I.3.2.1. Détermination d’un quantile d’ordre α% (0< α<100) Cas d’une VSD: La courbe cumulative est constituée de paliers horizontaux. Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.3. Caractéristiques de position Deux cas doivent être distingués: 1° Aucun palier horizontal n’a pour ordonnée la valeur α%. On convient alors de considérer comme Qα la valeur observée xi telle que l’on ait: F(xi)<α%<F(xi+1). On a: Qα=xi. 2° Un palier horizontal a pour ordonnée la valeur α%. On n’a pas de Qα mais un intervalle [xi;xi+1[. Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.3. Caractéristiques de position Cas 1° F(xi+1) α% F(xi) Xi-1 Xi Xi+1 Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.3. Caractéristiques de position Cas 2° α% F(xi) Xi-1 Xi Xi+1 Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.3. Caractéristiques de position Cas d’une VSC: Pour calculer le Qα, il faut déterminer la classe dans laquelle les Fi atteignent α%. Le Qα est, dans Fi, la valeur qui vérifie F(Qα)=α % Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.3. Caractéristiques de position I.3.2.2. La Médiane La médiane, notée Me, est le Q50. Elle partage la série des valeurs observées en deux séries de même taille. La médiane est, dans la fréquence cumulée, la valeur qui vérifie F(Me) = 50%. Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.3. Caractéristiques de position I.3.2.3. Les quartiles Les trois quartiles partagent la série en 4 séries de même taille: Q25, Q50 et Q75. I.3.2.4. Les déciles Les 9 déciles partagent la série en 10 séries de même taille: Q10, Q20, Q30, Q40, Q50, Q60, Q70, Q80, et Q90 Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.3. Caractéristiques de position I.3.3. La moyenne arithmétique pondérée C’est le paramètre de position le plus utilisé. En effet, la moyenne arithmétique est définie de façon objective. En plus, elle possède une signification concrète. Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.4 Les caractéristiques de dispersion I.4.1. L’écart moyen absolu 1° Ecart moyen absolu par rapport à la moyenne 2° Ecart moyen absolu par rapport à la médiane Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.4 Les caractéristiques de dispersion I.4.2. La variance et l’écart-type La variance: L’écart-type: Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.4 Les caractéristiques de dispersion I.4.3. Le coefficient de variation (en pourcentage) I.4.4. Les moments centrés d’ordre r Egalités remarquables: Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.5. Les caractéristiques de forme I.5.1. Le coefficient d’asymétrie de Fisher Si γ<0, la distribution est étalée vers la gauche (biais négatif) Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.5. Les caractéristiques de forme Si γ>0, la distribution est étalée vers la droite (biais positif) Si γ=0, la distribution est symétrique Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.5. Les caractéristiques de forme I.5.2. Le coefficient d’aplatissement de Pearson Si β=3, la distribution est « normale » (courbe « en cloche » de Gauss) Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.5. Les caractéristiques de forme Si β<3, la distribution est plus aplatie que la normale (hyponormale ou platykurtique) Si β>3, la distribution est moins aplatie que la normale (hypernormale ou leptokyrtique) Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.6. Les caractéristiques de concentration I.6.1. La courbe de concentration Axe des abscisses: Fi Axe des ordonnées: Qi Qi sont les valeurs globales relatives cumulées croissantes: Qi=Qi-1+qi, avec: Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.6. Les caractéristiques de concentration Faible concentration Forte concentration Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

I.6. Les caractéristiques de concentration I.6.2. L’indice de Gini Méthode des triangles: g est toujours compris entre 0 et 1. Plus la valeur de g est grande, plus la concentration est forte. Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

II. Distributions statistiques bidimensionnelles II.1. Distributions marginales II.1.1. Tableau à double entrée xi yj y1 y2 y3 ni. x1 n11 n12 n13 n1. x2 n21 n22 n23 n2. n.j n.1 n.2 n.3 n.. Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

II. Distributions statistiques bidimensionnelles II.1. Distributions marginales II.1.2. Effectifs Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

II. Distributions statistiques bidimensionnelles II.1. Distributions marginales II.1.3. Fréquences Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

II. Distributions statistiques bidimensionnelles II.2. Représentation graphique: nuage de points pondérés Abscisses: xi Ordonnées: yj (Mettez les effectifs entre parenthèses, à côté des points) Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

II. Distributions statistiques bidimensionnelles II.3. Les caractéristiques globales II.3.1. Les moyennes Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

II. Distributions statistiques bidimensionnelles II.3. Les caractéristiques globales II.3.2. Les variances et les écart-types Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

II. Distributions statistiques bidimensionnelles II.4. Le moment centré d’ordre 1.1 C’est la covariance du couple (x,y) Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

II. Distributions statistiques bidimensionnelles II.5. Le coefficient de corrélation On a: Le nuage de points est une droite si et seulement si, r=-1 (droite descendante) ou r=1 (droite ascendante) Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

II. Distributions statistiques bidimensionnelles II.6. La droite des moindres carrés Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

II. Distributions statistiques bidimensionnelles Applications numériques Etude de la variation des tailles en fonction des âges des élèves de la classe Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON