NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 5-a Problèmes scalaires instationnaires d’ordre 1 en temps Domaines d’application Notions de schémas explicite, implicite Critère de stabilité

NF04 - Automne - UTC2 Version 09/2006 (E.L.) Domaines d’applications (1/2) Exemple 1 : échauffement instationnaire d’un disque de frein Source : Source : fr.wikipedia.org Source : univ. Lyon Simulation champ de température T(x,t) Temps (s) 20°C 500°C Phase transitoire Phase stabilisée = stationnaire 1 ère partie du cours de NF04 ! Relevé signal d’une sonde Condition Initiale = ZOOM Modèle physique Modèle numérique

NF04 - Automne - UTC3 Version 09/2006 (E.L.) Domaines d’applications (2/2) Exemple 2 : transport d’une concentration (polluant …) dans un lac temps Lignes d’iso-concentration

NF04 - Automne - UTC4 Version 09/2006 (E.L.) Modèles mathématiques Thermique : Transport d’un polluant : Capacité calorifique Vitesse d’écoulement

NF04 - Automne - UTC5 Version 09/2006 (E.L.) Modèle simplifié : pas de variable d’espace Evolution de la concentration dans un réservoir Condition initiale : eau+polluant, C(t=0)=Co Le processus consiste à purger le réservoir avec de l’eau pure (C=0) On a : V : volume du réservoir [litres] C(t) : concentration homogène (mélangeur) [gr/litre] q : débit [litres/sec.] Mélangeur (utile pour avoir une concentration homogène) Volume V Concentration C(t) q q Litre/sec. Entrée Sortie

NF04 - Automne - UTC6 Version 09/2006 (E.L.) Modèle mathématique (purge du réservoir) Bilan de matière entre deux instants : Soit la relation : En prenant la limite pour : Condition initiale : C(t=0)=Co

NF04 - Automne - UTC7 Version 09/2006 (E.L.) Discrétisation de la dérivée en temps Utilisation d’une formule de discrétisation décentrée à l’ordre 1 : Notations : Instant inconnu où la pente approximée est confondue avec la pente exacte !

NF04 - Automne - UTC8 Version 09/2006 (E.L.) Schémas de discrétisation en temps On injecte la discrétisation en temps : Remarque : cette discrétisation est exacte si est connu ! impossibilité de déterminer ! Il est alors nécessaire de faire un choix. Principaux choix : 1. (instant n) 2. (instant n+1/2) 3. (instant n+1) MAIS

NF04 - Automne - UTC9 Version 09/2006 (E.L.) Principaux schémas utilisés Instant n : Instant n+1/2 : Instant n+1 : Schéma EXPLICITE Schéma SEMI-IMPLICITE ou de Cranck-Nicholson Schéma IMPLICITE

NF04 - Automne - UTC10 Version 09/2006 (E.L.) Ecriture générale Il est possible de regrouper tous les schémas en une seule expression fonction d’un paramètre  variable. On écrit : pour aboutir à : avec :   =0 : schéma explicite   =1/2 : schéma de Cranck-Nicholson   =1 : schéma implicite Question : une fois retenu le choix du schéma, quelle valeur donner à  t ?

NF04 - Automne - UTC11 Version 09/2006 (E.L.) Choix du  t conditionné par la stabilité du schéma Ecriture générale de la forme récurrente : Coefficient d’amplification =0 dans le cas présent Important ! Un schéma est dit : Stable sans oscillation si : Stable avec oscillation si : Instable si : En déduire une valeur maximale pour  t afin d’assurer la stabilité numérique du schéma Idée !

NF04 - Automne - UTC12 Version 09/2006 (E.L.) Illustration de la stabilité Stable sans oscillation Stable avec oscillation Instable

NF04 - Automne - UTC13 Version 09/2006 (E.L.) Preuve du critère de stabilité La stabilité d’un schéma est évaluée par une méthode de perturbation de la solution. 1. Introduction d’une perturbation à l’instant n :  n 2. Calcul de l’évolution de la perturbation à l’instant n+1 :  n+1 Forme générale de la relation de récurrence : On considère les perturbations : qui insérées conduisent à : Le « reste » n’influence pas la stabilité La perturbation est régie par la même relation de récurrence A retenir ! Preuve Stable si  n+1 ≤  n

NF04 - Automne - UTC14 Version 09/2006 (E.L.) Application au schéma explicite L ’évolution est régie par la relation : Une stabilité sans oscillation requiert : Soit : Une stabilité avec oscillation requiert : Soit : Conditions de stabilité

NF04 - Automne - UTC15 Version 09/2006 (E.L.) Application au schéma implicite L ’évolution est régie par la relation : Pour ce schéma, le critère de stabilité sans oscillation est toujours vérifié. Le schéma est dit inconditionnellement stable ! Remarque : de manière générale, pour une équation linéaire, un schéma implicite sera toujours inconditionnellement stable !

NF04 - Automne - UTC16 Version 09/2006 (E.L.) Illustration des solutions explicite et implicite

NF04 - Automne - UTC17 Version 09/2006 (E.L.) Choix du type de schéma à utiliser (+)(-) Utilisation préconisée EXPLICITE Facile à programmer (pas de matrice à inverser) Très précis Stable sous condition Pas de temps minimum pouvant être pénalisant transitoires rapides (chocs …) IMPLICITE Inconditionnellement stable Plus « lourd » à programmer (matrice à inverser) Souvent moins précis transitoires lents