LMD - Sciences et Technologie 1 ère Année Semestre 1 Unité Fondamentale 1 Module: Physique 1 Mécanique du Point 2004/2005

PROGRAMME ET CALENDRIER 2004/2005 Notions de Base ( 26 Septembre ) 4 c Rappels Mathématiques ( 10 Octobre ) 8 c Cinématique du Point ( 7 Novembre ) 6 c Dynamique du Point ( 28 Novembre ) 6 c Travail et Énergie ( 2 Janvier ) 6 c (Arrêt de cours le 16 décembre, Reprise le 2 Janvier)

Notions de base Les unités Notation scientifique Chiffres significatifs Graphes Trigonométrie

1. Les unités Le système métrique de mesure est le Standard International Les Unités Fondamentales de mesure sont: La seconde (s) pour la mesure du temps Le mètre (m) pour la mesure des distances Le kilogramme (kg) pour la mesure des masses

Il faut savoir convertir d’une unité à l’autre ! Exemples: 1 heure (h) = 60 minutes (mn) = 3600 secondes (s) 100 centimètres (cm) = 1 mètre (m) 1000 grammes (g) = 1 kilogramme (kg)

Autres exemples: 1 jour = 24 h = 86400 s 1 km = 1000 m = 100000 cm = 1000000 mm 1 tonne = 1000 kg = 1000000 g

2. Notation scientifique En essayant d’exprimer des nombres très grand comme celui de la masse de la terre, ou un nombre très petit comme la masse d’un électron, les scientifiques utilisent ce qu’on appelle la notation scientifique. La forme de base de la notation scientifique est M  10n où : M est un nombre réel entre 1 et 10 n un entier

100 = 1 101 = 10 102 = 10  10 = 100 103 = 10  10  10 = 1000 10-1 = 1 / 10 = 0.1 10-2 = 1 / 10 / 10 = 0.01 10-3 = 1 / 10 / 10 / 10 = 0.001

Par exemple, la masse de la Terre est d’environ 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg Exprimée en notation scientifique: 6.0 1024 kg Aussi, la masse d’un électron est de: 0.000000000000000000000000000000911 kg et exprimée en notation scientifique: 9.11 10-31 kg

3. Chiffres significatifs Les chiffres significatifs d’un nombre représentent les chiffres valides d’un nombre. Règles: Les chiffres non nuls sont toujours significatifs. Tous les zéros finaux après la virgule sont significatifs. Les zéros entre deux chiffres significatifs sont significatifs. Les zéros utilisés seulement pour déplacer la virgule ne sont pas significatifs.

Chiffres Significatifs Exemples: Nombre Chiffres Significatifs 3.14159 = 3.14159 100 6 0.34000 = 3.4000 10-1 5 0.1034 = 1.034 10-1 4 0.001034 = 1.034 10-3 7.000 = 7.000 100 0.000034 = 3.4 10-5 2

4. Graphes Il y a trois types de relation mathématique les plus communes en physique: 1) Relation linéaire: y = a x + b y = 3x+5

2) Relation quadratique: y = a x2 + b x + c y = 0.5 x2+x+1

3) Relation inverse: y = k / x y = 6/x

5. Trigonométrie sin q = opposé / hypoténuse cos q = adjacent / hypoténuse Triangle tan q = opposé / adjacent q opposé hypoténuse adjacent VECTEURS

Rappels mathématiques Les vecteurs Produit scalaire Produit vectoriel Vecteur position Changements de base Bases locales

1. Les Vecteurs Le temps La distance Grandeurs Physique La masse Scalaires Physique Température Charge électrique Etc. Déplacement Vitesse Accélération Force Grandeurs Vectorielles

Attention ! AB et BA ne sont pas les mêmes Déplacement A B On part de A puis on arrive à B en ligne droite A B Vecteur déplacement (ou simplement vecteur) Attention ! AB et BA ne sont pas les mêmes

Propriétés du Vecteur Déplacement Distance = = 7 m 5 m 3 m Déplacement = = 5 m 4 m B C (se déplacer de A à B) puis (se déplacer de B à C) égale à (se déplacer de A à C)

Propriétés du Vecteur Déplacement (se déplacer de A à B) (se déplacer de A à C) C (se déplacer de B à C) B puis égale à AB + BC = AC Relation de Chasles

Propriétés des Vecteurs Commutativité: a + b = b + a Associativité: a + (b + c) = (a +b) + c Élément neutre: a + 0 = 0 + a = a Opposé de a est noté –a Etc. MECANIQUE I David Sénéchal NOTES DE COURS (PHQ-110) Lire le Chapitre 1 Pages 1 à 7

Un Vecteur V possède une grandeur (module, norme ou longueur) une direction (porté par une droite) et un sens. Module: V , V , ou V Deux vecteurs sont égaux s’ils possèdent la même direction, le même sens, et le même module.

On dit que a et b sont linéairement indépendants Même direction, même sens et un module deux fois plus grand - 0.5 a Même direction, sens opposé et un module deux fois plus petit. l a N’importe quel vecteur de même direction que a Et celui la ? b NON ! On dit que a et b sont linéairement indépendants

a b a b a + b a -b a - b 0.5 b 2a b 2 a + 0.5 b a N’importe quel vecteur du plan l a + m b

a + b + c a c c a b b Peut on écrire c = l a + m b ? NON ! On dit que a, b et c sont linéairement indépendants

Les trois exemples précédents Représentent des espaces vectoriels de: Une dimension (1D) : v = l a Deux dimensions (2D): v = l a + m b Trois dimensions (3D): v = l a + m b + b c Mais on peut généraliser à N dimensions

On dit que a b c forment une base. S’ils sont perpendiculaires deux à deux ils forment une base orthogonale Et si en plus, ils sont de norme unité: ils forment une base orthonormée Généralement notés: i j k v = x i + y j + z k x, y et z sont les coordonnées de v

2. Le produit scalaire q a b a . b = a b cos q a . a = a a cos 0 = a2 i . i = 1 Vecteur normé i . j = 0 Vecteurs orthogonaux

3. Le produit vectoriel a  b = c c = a b sin q c a b q Main droite a  b = c c c = a b sin q q a b c q c représente l’aire du Parallélogramme

Quelques propriétés du produit vectoriel j k a  b = - b  a a  a = 0 i  i = 0 i j k i  j = k

x’ x y’ y o Repère (o, i, j) i j Exemples a = i – 2 j a

a = ? Exemples a = i – 2 j a . i = || a || || i || cosa y’ y o i j Exemples a = i – 2 j a a = ? a a . i = || a || || i || cosa a . i = 12+22 cosa a . i = ( i – 2 j ) . i = i . i – 2 j . i = 1 cosa = 1/ 5  0.447 a  63°

Remarque ay a = ax i + ay j a q a = ax + ay ax ax = a cosq ay = a sinq 2 ax = a cosq ay = a sinq tgq = ay /ax

Autre remarque i j k + i  j = k j  k = i k  i = j j  i = - k k  j = - i i  k = - j

Exercice c = a  b Calculer dans le cas général où: a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k x y z c = cx i + cy j + cz k Et montrer que: cx = ay bz – az by cy = az bx – ax bz cz = ax by – ay bx

cx = ay bz – ay bz cy = az bx – az bx cz = ax by – ax by c = a  b y x

4. Le vecteur position p Choisir une origine r r ' o o' ro op = Vecteur position de p par rapport à o r Noté par o'p = Vecteur position de p par rapport à o' Noté par r ' oo' = Vecteur position de o' par rapport à o Noté par ro

p Relation entre l'ancien et le nouveau vecteur position: r ro r ' = + r r ' o o' s ro s ' = + q s s' ro Si on fait la différence s - r = s ' - r ' La différence entre deux vecteurs positions ne dépend pas du choix de l'origine: (vitesse, accélération,force,etc.)

5. Changements de base o OM = x i + y j x’ y’ x y M O’M = x’ i’ + y’ j’ o’ O’M = O’O + OM i j i’ j’

Le passage de : OM = x i + y j à : O’M = x’ i’ + y’ j’ est appelé changement de base. En physique, il est utile de savoir passer d’une base à une autre. Certains problèmes sont plus faciles à résoudre si la bonne base est choisie.

changement de la base (i, j) à la base (u,v) Exemple: changement de la base (i, j) à la base (u,v) OM = x i + y j OM = a u +b v o Montrer que: x = a cosq - b sinq y = a sinq + b cosq M u v i j q

i . u = cosq i . v = cos(q +p/2) = - sinq j . u = cos(q - p/2) = sinq j . v = cosq et y = OM . j x = OM . i OM . i = a u . i + b v . i = a cosq - b sinq OM . j = a u . j + b v . j = a sinq + b cosq

Coordonnées Cartésiennes: j M o x y

Une base qui varie d’un point à un autre. Coordonnées Polaires: 6. Bases locales Une base qui varie d’un point à un autre. Coordonnées Polaires: i j M o uq ur q

Une base qui varie d’un point à un autre. Coordonnées Polaires: ur uq 6. Bases locales Une base qui varie d’un point à un autre. Coordonnées Polaires: ur uq M i j q o

Une base qui varie d’un point à un autre. Coordonnées Polaires: 6. Bases locales Une base qui varie d’un point à un autre. Coordonnées Polaires: i j M o On montre que: x = r cosq y = r sinq uq ur r Exprimer (ur , uq) en fonction de (i, j) q

Dans le système de coordonnées polaires, tout point du plan est repéré par ses deux coordonnées (r , θ) OM = x i + y j OM = r ur Les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques sont des extensions des coordonnées polaires à l’espace à 3 dimensions.

Coordonnées cartésiennes en 3D j k M z (x, y, z) x M’ O y OM = x i + y j + z k

Coordonnées Cylindriques j k M z (ρ, θ, z) ρ M’ q OM = ρ uρ + z k

Coordonnées Cylindriques (Base) M k (uρ, uθ, k) k j uθ ρ uρ q i OM = ρ uρ + z k

Coordonnées Cylindriques (Relations) OM = ρ uρ + z k = x i + y j + z k ρ uρ = x i + y j Remarque: uρ = uρ (θ) uθ = uρ (θ+π/2) x = ρ cosθ y = ρ sinθ Donc: ρ2 = x2+y2 uρ = cosθ i + sinθ j uθ = - sinθ i + cosθ j

Coordonnées Sphériques j k M r q (r, θ, φ) M’ 

Coordonnées Sphériques (Base) j k ur r q uθ (ur, uθ, uφ) uφ 

Coordonnées Sphériques (Relations) OM = r ur = x i + y j + z k x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ Donc: r2 = x2 +y2 +z2 On montre facilement ur = sinθ cosφ i + sinθ sinφ j + cosθ k uθ = cosθ cosφ i + cosθ sinφ j - sinθ k uφ= -sinφ i + cosφ j

(x, y, z) (i, j, k) (ρ, θ, z) (uρ , uθ, k) (r, θ, φ) (ur, uθ, uφ) Cartésiennes Cylindriques Sphériques (x, y, z) (i, j, k) (ρ, θ, z) (uρ , uθ, k) (r, θ, φ) (ur, uθ, uφ) OM=x i + y j + z k OM = ρ uρ + z k OM = r ur OM’=x i + y j ρ = ||OM’|| θ = angle(i, OM’) r = ||OM|| θ = angle(k, OM) φ = angle(i, OM’) u = OM’/||OM’|| uρ = OM’/ρ = u uθ = uρ(θ+ π/2) ur = OM/r uθ = ur(θ+ π/2) uφ = u(φ + π/2)

III. Cinématique du Point Dimanche 07/11/2004 III. Cinématique du Point Position dépendant du temps et notion de Référentiel Dérivée d’un vecteur: vitesse et accélération Vitesse et accélération dans différentes bases Le mouvement relatif.

M 1. Position dépendant du temps et Notion de Référentiel Pour décrire la position d’un point nous avons besoin d’un repère: repère = origine + base M Vecteur OM O

Mais (i, j, k) dépendent ils du temps ? Si le point M est en mouvement : le Vecteur OM dépend du temps O OM(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k Mais (i, j, k) dépendent ils du temps ? Dans certains cas oui.

« Un corps est en mouvement, donc sa position dépend du temps. » Cette phrase, est elle juste ? Cette phrase n’est ni juste ni fausse, cela dépend de qui observe ce corps. D’où la nécessité d’introduire en physique la notion d’observateur. L’observateur est en quelque sorte le témoin du temps. Donc, pour décrire le mouvement d’un corps nous avons besoin d’ un repère + un observateur un repère + un observateur = un référentiel

Le repère est lié à l’observateur un repère + un observateur = un référentiel O Le repère est lié à l’observateur Les vecteurs de base et l’origine sont fixes par rapport à l’observateur

Nous discutons ici la dérivée par rapport au temps Dérivée d’un vecteur: vitesse et accélération Nous discutons ici la dérivée par rapport au temps On choisit un référentiel ( R ) d’origine O. Un mobile M se déplace. t1 t2 M1 M2 t M O

Nous discutons ici la dérivée par rapport au temps Dérivée d’un vecteur: vitesse et accélération Nous discutons ici la dérivée par rapport au temps On choisit un référentiel ( R ) d’origine O. Un mobile M se déplace. t1 t2 OM1 = OM(t1 ) M1 M2 t M OM2 = OM(t2 ) O

La vitesse moyenne du mobile est donnée par: Définition: La vitesse moyenne du mobile est donnée par: Vm = t2 - t1 OM(t2 ) - OM(t1 ) O M1 M2 Vm // M1M2

A la limite où t1 et t2 sont des instants très rapprochés, on définit la vitesse instantanée: V(t1 ) = lim t2 - t1 OM(t2 ) - OM(t1 ) t2  t1 Comparer avec: f’(x1 ) = lim x2 - x1 f(x2 ) - f(x1 ) x2  x1

La vitesse instantanée est tangente à la trajectoire M1 M2 O M1 M2 La vitesse instantanée est tangente à la trajectoire

dx df(x) f’(x ) = Souvent on note: Et la vitesse instantanée peut s’écrire aussi: V(t ) = dt dOM(t ) En pratique, dériver un vecteur revient à dériver ses composantes: Exemple: OM(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

d [ x(t) i + y(t) j + z(t) k ] = V(t ) = dt dOM(t ) dt d [ x(t) i + y(t) j + z(t) k ] = V(t ) = = dt d [ x(t) i] + d [ y(t) j] d [ z(t) k] V(t ) = dt d x(t) i + d y(t) j + d z(t) k O dt d i d j d k = = 0

En conclusion, dans un référentiel (R) lié à une base (i, j, k) : V = dt dOM R V = dt d x i + d y j + d z k et dt d i d j d k = = 0 Le « R » exprime le fait que

L’accélération moyenne est donnée par: Mardi 09/11/2004 Définition: L’accélération moyenne est donnée par: gm = t2 - t1 V(t2 ) - V(t1 ) L’accélération instantanée est donnée par: g = lim t2 - t1 V(t2 ) - V(t1 ) t2  t1

Et donc: dans un référentiel (R) lié à une base (i, j, k), c-à-d: dt d i d j d k = = 0 g = dt dV R En général: V = Vx i + Vy j + Vz k g = dt d Vx i + d Vy j + d Vz k Et donc:

Exemple 1: OM = 3 t i + 2 t j V = 3 i + 2 j g = 0 t = 0 ; x = 0 ; y = 0 t = 4 ; x = 12 ; y = 8 i j t = 1 ; x = 3 ; y = 2 t = 3 ; x = 9 ; y = 6 t = 2 ; x = 6 ; y = 4 La trajectoire est une droite: Le mouvement est rectiligne

Exemple 1: OM = 3 t i + 2 t j V = 3 i + 2 j g = 0 t = 4 ; Vx = 3 ; Vy = 2 t = 0 ; Vx = 3 ; Vy = 2 i j t = 3 ; Vx = 3 ; Vy = 2 t = 1 ; Vx = 3 ; Vy = 2 t = 2 ; Vx = 3 ; Vy = 2 Le vecteur vitesse est constant: Le mouvement est rectiligne uniforme

Exemple 2: OM = 0.75 (- t2+8 t) i + 0.5 (-t2+8 t) j V = 1.5 ( -t + 4) i + (- t + 4) j g = -1.5 i - j t = 0 ; x = 0 ; y = 0 t = 4 ; x = 12 ; y = 8 i j t = 3 ; x = 11.25; y = 7.5 t = 1 ; x = 5.25 ; y = 3.5 t = 2 ; x = 9 ; y = 6 La trajectoire est une droite: Le mouvement est rectiligne

Exemple 2: OM = 0.75 (- t2+8 t) i + 0.5 (-t2+8 t) j V = 1.5 ( -t + 4) i + (- t + 4) j g = -1.5 i - j t = 0 ; Vx = 6 ; Vy = 4 t = 3 ; Vx = 1.5 ; Vy = 1 t = 4 ; Vx = 0 ; Vy = 0 i j t = 2 ; Vx = 3 ; Vy = 2 t = 1 ; Vx = 4.5 ; Vy = 3 Le vecteur accélération est constant: Le mouvement est rectiligne uniformément varié

Exemple 3: OM = 5 cos t i + 5 sin t j V = - 5 sin t i + 5 cos t j g = - 5 cos t i – 5 sin t j Vx = - 3 ; Vy = 4 M x = 4 ; y = 3 t = 0.6435 i j gx = - 4 ; gy = - 3 Vérifier que pour tout t : OM . V = 0 V . g = 0 OM g = -

Exemple 3: OM = 5 cos t i + 5 sin t j V = - 5 sin t i + 5 cos t j g = - 5 cos t i – 5 sin t j Vx = - 3 ; Vy = 4 M x = 4 ; y = 3 t = 0.6435 i j gx = - 4 ; gy = - 3 Vérifier que pour tout t : OM . V = 0 V . g = 0 OM g = -

OM = r ur ur 3. Vitesse et accélération dans différentes bases Coordonnées Polaires: OM = r ur ur = cosθ i + sinθ j uθ = - sinθ i + cosθ j Dans le référentiel (R) lié à la base (i, j, k) : = dt d (r ur) = dt dr ur + r dur V = dt dOM R

uq dt dur d (cosθ i + sinθ j) = dt = d cosθ dt d sinθ i + j mais, et d sinθ dt = cosθ dθ dt dur = dθ ( - sinθ i + cosθ j ) donc dt dur = dθ uq c-à-d

Devoir à rendre le Mardi 16/10/2004 En coordonnées polaires: V = dt dr ur + r dθ uq dt dr = r . dt dq = q . Notation: et V = r ur + r q uq . Exercice Montrer que: Devoir à rendre le Mardi 16/10/2004 g = ( r – r q2 ) ur + (2 r q + r q) uq .. .

OM = r ur + z k ur ur uq + k Coordonnées Cylindriques: Mardi 16/11/2004 OM = r ur + z k ur = cosθ i + sinθ j uθ = - sinθ i + cosθ j Dans le référentiel (R) lié à la base (i, j, k) : V = dt dOM R = dr ur + r dur + k dz En coordonnés cylindriques la vitesse est: V = dt dr ur + r dθ uq + k dz

. Et l’accélération: . .. = r uρ + r q uq + z k V g = ( r – r q2 ) ur + (2 r q + r q) uq + z k .. .

Remarques à propos de la dérivée des vecteurs unitaires dans les coordonnées cylindriques: Sachant que: uρ= uθ  k , on a: dt duθ = θ k  uq . dt duρ = θ k  uρ . et Si on a un vecteur quelconque A : A = Aρ uρ + Aθ uθ + Az k

le terme θ k  A qui tient compte du fait que la base est locale. On calcul la dérivée de A en dérivant d’abord ses composantes comme d’habitude puis on ajoute le terme θ k  A qui tient compte du fait que la base est locale. . Aρ uρ + Aθ uθ + Az k + θ k  A dA dt = . Par exemple, on retrouve facilement l’accélération: . ρ uρ + (ρ θ + ρ θ ) uθ + z k + θ k  (ρ uρ + ρ θ uθ + z k ) dV dt =

OM = r ur ur Coordonnés Sphériques: . V = dt dOM R = d (r ur) dr + r dur Avec: ur = sinθ cosφ i + sinθ sinφ j + cosθ k . dt dur = cosθ θ cosφ i - sinθ sinφ φ i + cosθ θ sinφ j + sinθ cosφ φ j - sinθ θ k

. . . dur = cosθ θ cosφ i + cosθ θ sinφ j - sinθ θ k dt - sinθ sinφ φ i + sinθ cosφ φ j . Rappel: uθ = cosθ cosφ i + cosθ sinφ j - sinθ k uφ= -sinφ i + cosφ j dur . dt = θ uθ + sinθ φ uφ Donc: V = r ur + r θ uθ + r sinθ φ uφ . Et:

. . . Pour calculer l’accélération, on a besoin de: duθ dt duθ = - sinθ θ cosφ i - sinθ θ sinφ j - cosθ θ k - cosθ sinφ φ i + cosθ cosφ φ j . dt duθ = - θ ur + cosθ φ uφ . c-à-d: dt duφ = - cosφ φ i – sinφ φ j = - φ (cosφ i + sinφ j) = - φ (sinθ ur + cosθ uθ) . À vérifier et:

. . . r ur + r θ uθ + r sinθ φ uφ ) g = dt dV R = d ( = r ur + r (θ uθ + sinθ φ uφ) + (r θ + r θ) uθ + r θ (- θ ur + cosθ φ uφ ) + (r sinθ φ + r cosθ θ φ + r sinθ φ ) uφ - r sinθ φ2 (sinθ ur + cosθ uθ) Et donc: = ( r + r θ2 – r sin2θ φ2 ) ur + (r θ +2 r θ - r sinθ cosθ φ2 ) uθ + (r sinθ φ + r cosθ θ φ + 2 r sinθ φ ) uφ .

Remarques à propos de la dérivée des vecteurs unitaires dans les coordonnées sphériques: On sait que: ur= uθ  uφ , donc: dur . dt = ( θ uφ - sinθ φ uθ )  ur dt duθ = ( θ uφ + cosθ φ ur )  uθ . (- sinθ φ uθ + cosθ φ ur)  uφ duφ dt = .

. . . (cosθ φ ur - sinθ φ uθ + θ uφ )  u du dt = Ω  u du dt = Donc, pour ces trois vecteurs on a: Ω = (cosθ φ ur - sinθ φ uθ + θ uφ . Avec: Ω2 = φ2 + θ2 . Notons que: En général si on a un vecteur quelconque A : A = Ar ur + Aθ uθ + Aφ uφ

le terme Ω  A qui tient compte du fait que la base est locale. On calcul la dérivée de A en dérivant d’abord ses composantes comme d’habitude puis on ajoute le terme Ω  A qui tient compte du fait que la base est locale. Ar ur + Aθ uθ + Aφ uφ + Ω  A dA dt = . En particulier, pour Ω on a: Ωr ur + Ωθ uθ + Ωφ uφ + Ω  Ω dΩ dt = .

Remarque: Dimanche 21/11/2004 On peut définir un repère particulier en utilisant le vecteur vitesse v et le vecteur accélération g . Si on construit le unitaire vecteur: t = V où v est le module du vecteur v. Nous avons déjà vu que le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire. g L'accélération égale, par définition, à dt dv peut toujours être décomposée en deux vecteurs, l'un parallèle à v, et l'autre perpendiculaire à v.

Accélération tangentielle notée gt ? d t dt dv g = d ( v t ) + t v d t = dt dv + t v .t g Calculons: .t d t = dt dv + v .t = d( t dt .t ) d 1 = 0 d t dt .t 2 Mais:

gn gt g gt gn On écrit: = t + n = dt dv Avec: Et: d t dt v n = Par définition: gn = v2/R, où R est le rayon de courbure d t dt R n = v Et donc: On construit ainsi le vecteur unitaire: b = t  n On a: d b dt v n = T et: v d n dt t = R b T + où T est le rayon de torsion La base ( t, n, b ) est appelé la base de Serret Frénet

La base de Serret Frénet

EXEMPLES DE MOUVEMENTS PARTICULIERS Devoir N°2: Exercice 10, fiche 2 Calculer la vitesse et l’accélération en coordonnées cylindriques Calculer les rayons de courbure et de torsion

4. Le mouvement relatif Mardi 23/11/2004 En mécanique, Il y a différentes raisons qui nous poussent à changer de référentiel. Un cas simple est celui de deux observateurs qui observent le même mobile. Pour comprendre et se mettre d’accord sur ce qu’ils observent, il doivent savoir traduire l’information d’un référentiel à un autre. Observateur 2 Observateur 1 Observateur 1 fixe Observateur 2, en mouvement

Des mouvements compliqués peuvent prendre une forme plus simple si le référentiel est bien choisit. Par exemple, le mouvement de mars vue par un observateur lié à la terre est compliqué alors qu’il est simple par rapport à un observateur lié au soleil. S T M Observateur lié au soleil

S T M Observateur lié à la terre

M Comment voir ceci en équations? Soit deux référentiels Ra et Rr et un mobile M en mouvement. Pour simplifier, supposons que les deux référentiels ont la même base (i, j, k) et que Or soit en mouvement uniforme par rapport à Oa. Dans ce cas on parle de référentiel Galiléen (Chapitre IV) ou: a) Référentiel en translation uniforme oa or M Ra Rr

M OaM = OaOr + OrM On prend OrOa = V t, avec V un vecteur constant. On a choisit qu’à t=0, Oa et Or coïncident. Si les deux observateurs comparent la position de M à chaque instant t, il trouveront: OaM = OaOr + OrM oa or M Ra Rr

Va= dt dOaM Ra Vr= dt dOrM Rr Maintenant, si les deux observateurs comparent la vitesse de M à chaque instant t: L’observateur a, dérive OaM dans son référentiel: Va= dt dOaM Ra L’observateur r, fait de même pour OrM dans le référentiel r: Vr= dt dOrM Rr

Va = dt d ( OaOr + OrM ) Ra Va = dt dOaOr Ra dOrM + Ra dt dOr M Rr = Puisque les deux référentiels ont la même base, on a dans ce cas: Ra dt dOr M Rr = = Vr Ra dt dOaOr = Ve Et par définition, on note

Va= Ve + Vr Donc Vitesse relative Vitesse absolue Vitesse d’entraînement Vitesse absolue = Vitesse d’entraînement + Vitesse relative Bien sur, la dénomination absolue et relative n’est qu’un choix arbitraire

M ka Rr Ra wt ja ia b) Référentiel en rotation uniforme: Mêmes Origines Bases différentes ia ja ka O Ra M wt Rr

OM est le même dans les deux référentiels Va= dt dOM Ra Observateur a Vr= dt dOM Rr Observateur r

. Va= dt dOM Ra dt du = θ k  u Va= Vr + w k  OM On part de: En exprimant OM dans la base du référentiel r: OM = xr ir + yr jr + zr kr Et en utilisant le résultat démontré pour les coordonnées cylindriques sur la dérivé d’un vecteur unitaire: dt du = θ k  u . Va= Vr + w k  OM On trouve:

Devoir N°3 1) Démontrer, dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme par rapport à k d'une vitesse de rotation w uniforme, ce qui suit: Va= Vr + w k  OM 2) Trouver la relation entre les accélérations absolues et relatives.

IV. Dynamique du Point Les lois du mouvement Première loi Deuxième loi Dimanche 05/12/2004 IV. Dynamique du Point Les lois du mouvement Première loi Deuxième loi Troisième loi Centre de masse Applications: le projectile, le pendule

Naturel, violent, volontaire Galilée 1564/1642 1. Les lois du mouvement Aristote -384/-322 Naturel, violent, volontaire Galilée 1564/1642 Expériences, Observations Newton 1642/1727 Les trois lois

2. Première loi Appelé aussi Principe d'inertie (Énoncé par Galilée): Un corps isolé persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme dans lequel il se trouve Définition d'un référentiel Galiléen: On appelle référentiel galiléen un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié

a) Notion de force 3. Deuxième loi Ou bien "principe fondamentale de la dynamique" a) Notion de force Forces à distance Interaction gravitationnelle Interaction électromagnétique Forces de contact Frottements Forces fictives

b) Notion de quantité de mouvement Définition d’une force: On appelle force la grandeur vectorielle décrivant une interaction capable de produire un mouvement ou encore de créer une déformation. b) Notion de quantité de mouvement Soit un point matériel de masse m, de vitesse v dans un référentiel galiléen. Sa quantité de mouvement est un vecteur défini par: p = m v Cette grandeur prend en compte la vitesse mais aussi l’inertie du corps (sa masse).

m g F = dp dt = m dv Énoncé du principe fondamentale de la dynamique: La dérivée temporelle de la quantité de mouvement d’un point matériel est égale à la somme vectorielle des forces qui lui sont appliquées. m g F = dp dt = m dv Remarque: le principe d'inertie est un cas particulier du principe fondamental de la dynamique.

Ou bien Principe de l’action et de la réaction 4. Troisième loi Ou bien Principe de l’action et de la réaction L’action est toujours égale et opposée à la réaction; c’est-`a-dire, que les actions de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales, et dans des directions contraires. 1 2 F12 F21 F12 = - F21

5. Centre de masse Les trois lois de Newton s’appliquent à des points matériels seulement, mais les objets de la vie courante ne sont pas des points. Il est important de comprendre comment les lois de Newton peuvent être formulées pour s’appliquer à des objets macroscopiques.

Prenons un cas simple de deux corps indépendants: F1 = m1 g1 F2 = m2 g2 1 2 F1 F2 Si on suppose qu'il ne forment qu'un seul corps, on a: F1 + F2= M g F1 F2 Il est évident que M = m1 + m2

m1g1 + m2g2 = (m1 + m2) g m1v1 + m2v2 = (m1 + m2) v dv g = dt dOM v = Et donc: m1g1 + m2g2 = (m1 + m2) g g = dt dv Mais: Donc, on doit avoir en général: m1v1 + m2v2 = (m1 + m2) v Aussi: v = dt dOM

m1OM1 + m2OM2 = (m1 + m2) OMc.m. Ainsi: Et ceci est la définition du centre de masse (c.m.). En conclusion, les lois de Newton peuvent s’appliquer à un objet constitué de deux points matériel à condition de les formuler pour le centre de masse. "On peut facilement généraliser à plusieurs corps même s'ils sont en interactions en s'aidant de la troisième loi de Newton" En conclusion, les lois de Newton peuvent s’appliquer à des objets macroscopiques à condition de les formuler pour le centre de masse.

6. Applications: le projectile, le pendule Le principe fondamental de la dynamique: p = m g = m g Donc: g = g = vecteur constant m g p Verticale Surface de la Terre (gravitation uniforme) Horizontale

y o x gx = 0 gy = - g vx = v0x = constante vy = - g t + v0y Un peu de mathématiques: gx = 0 gy = - g x y o vx = v0x = constante vy = - g t + v0y g x = v0x t + x0 y = - 1/2 g t2 + v0y t + y0

y o x gx = 0 gy = - g vx = v0 cosq vy = - g t + v0 sinq v0 Si à t=0, on suppose x = y = 0 et vx = v0 cosq , vy = v0 sinq , gx = 0 gy = - g x y o vx = v0 cosq vy = - g t + v0 sinq g v0 x = v0 cosq t y = - 1/2 g t2 + v0 sinq t q

De la forme: y = a x2 + b x , qui est l'équation d'une On peut facilement montrer que la trajectoire est une parabole. t = x / (v0 cosq ) y = - ½ g x2 / (v0 cosq )2 + v0 sinq x / (v0 cosq ) y = - ½ g /(v0 cosq )2 x2 + tgq x De la forme: y = a x2 + b x , qui est l'équation d'une Parabole:

y = [- ½ g /(vo cosq )2 x + tgq ] x y s’annule pour deux valeurs de x ; x = 0 et x = 2 tgq (vo cosq )2 /g = 2 sinq cosq vo2 /g = sin(2q)vo2 /g = OP La distance OP est la portée. Devoir N°4 Monter que la hauteur maximale du projectile (DH) est: DH = sin2q vo2 /2g Puis montrer que: 2 DH= DQ O x y q P D Q H

OP = sin(2q)vo2 /g , donc q et (p/2 – q) donnent la même portée.

Le mouvement selon x est uniforme de vitesse vx = 60 m/s y g P O x Le mouvement selon x est uniforme de vitesse vx = 60 m/s Le mouvement selon y est uniformément varié d’accélération g. OP = 12  60 = 720 m

Combien de temps pour atteindre P ? t = OP/vx = 2 sinq cosq vo2 /g /(vo cosq) t = 2 sinq vo/g Que peut on dire la vitesse d'impact en P ? vx = vo cosq vy = - g t + vo sinq = - g (2 sinq vo/g) + vo sinq = – vo sinq O x q

Devoir N°5 Lire 3.1 à 3.6 pages 26 à 35 Lire 4.1 et 4.2 pages 39 à 42 Lire 5.1 et 5.2 pages 49 à 55

Le pendule simple de masse m et de longueur l p + T = m g m g cosq – T = – m gn q – m g sinq = m gt T Donc: – g sinq = dv dt p = m g Avec: v = l dq dt = l q . Et donc: q + g/l sinq = 0 .. q

q = qmax cos (w t ) avec w2 = g/l q + g/l sinq = 0 .. Où w = 2 p /T sin(1,00 rad) = sin( 57,3°) = 0,8415 La période sin(0,50 rad) = sin( 28,65°) = 0,4794 sin(0,25 rad) = sin( 14,32°) = 0,2473 T = 2 p l g sinq  q pour q < 10° Pour l = 1 m et sachant que g = 9,8 ms-2 q + g/l q = 0 .. T = 2,00 s Une équation connue dont la solution est Périodique de pulsation w: Un pendule de 25 cm de long oscille avec une Période de 1,00 s. q = qmax cos (w t ) avec w2 = g/l

V. Travail et Énergie Travail et puissance d'une force Dimanche 02/01/2005 V. Travail et Énergie Travail et puissance d'une force Le théorème de l'énergie cinétique L'énergie potentiel Conservation de l'énergie mécanique Exemples

W = F (AB) W = F (AB) cosq 1. Travail et puissance d'une force Définition du Travail d'une force Cas d'une force constante parallèle à un déplacement en ligne droite A B F W = F (AB) Cas d'une force constante non parallèle au déplacement q F A B W = F (AB) cosq Unité de travail = Newton  metre = Joule

W = F (AB) cosq = F.AB (Produit Scalaire) Le travail peut être négatif ou positif Positif q=0 Négatif q=180° A B W = + F (AB) W = - F (AB)

Et si F n'est pas constante ? Et si le déplacement est quelconque ? A B q F dl dW = F dr cosq = F . dl Le travail total de A à B est: W = somme des dW de A à B W =  F dl A B AB Noté par:

Définition de la puissance d'une force La puissance P est le travail d'une force par unité de temps. dW dt dl F . = P = = F . v Unité de puissance = Joule/seconde = Watt

 F.v dt  m v.dv  m v.dv =  ½ m d(v2) W =  F dl = dv F = m g = m 2. Théorème de l'énergie cinétique W =  F dl A B AB =  F.v dt A B F = m g dt dv = m En utilisant: AB W =  m v.dv A B On a: AB W =  m v.dv =  ½ m d(v2) A B = W AB ½ m vB2 - ½ m vA2

= W AB ½ m vB2 - ½ m vA2 La quantité K= ½ m v2 est par définition l'énergie cinétique La variation de l' énergie cinétique d' un point matériel lorsqu' il parcourt sa trajectoire d' un point A à un point B est égale au travail de la résultante des forces appliquées au point matériel de A à B le long de la trajectoire. = W AB KB - KA Remarque: l'énergie cinétique est souvent notée par Ec

3. L'énergie potentielle On considère une particule située en M(x,y,z) et soumise à une force F. Le travail élémentaire dWx de cette force se déplaçant d'une distance élémentaire dx dans la direction x est: dWx = Fx dx De même pour les directions dy et dz : dWy = Fy dy dWz = Fz dz Le travail total est: dW = dWx + dWy + dWz = Fx dx + Fy dy + Fz dz = F.dl Rappel: F = Fx i + Fy j + Fz k dl = dx i + dy j + dz k

On ne considère pour l'instant que la direction x: (une dimension) dW= F dx dU dx Dans le cas où l'on peut écrire: F = On dit que F dérive d'une énergie potentielle U. Par exemple, la force de rappel d'un ressort: dU dx F = - k x = On a, U = ½ k x2 Et donc, l'énergie potentielle d'un ressort est: U = ½ k x2 Un autre exemple, lors d'un déplacement verticale d'un objet de masse M, le poids est (axe des z orienté vers le haut): dU dz On a, U = M g z p = - M g =

F = dU dx Si: La variation de l'énergie potentielle est donc par définition: dU = - F dx = - dW C'est à dire que: La variation de l'énergie potentiel au cours d' un déplacement élémentaire dx est égale et de signe opposé au travail de la force. Remarque: l'énergie potentielle est souvent notée par Ep

Si l'on considère maintenant le cas général à plusieurs dimensions, la force F dépend en général de x, y et z. Et l'énergie potentielle U doit aussi dépendre de x, y et z. Dans ce cas, F dérive d'une énergie potentielle U si: U x Fx = U y Fy = U z Fz = U x étant la dérivée de U par rapport à x, en supposant y et z constantes U y étant la dérivée de U par rapport à y, en supposant x et z constantes U z étant la dérivée de U par rapport à z, en supposant x et y constantes

U x Fx = U y Fy = U z Fz = Ces trois expressions sont rassemblées en une seule en utilisant la notation suivante: F = -  U Il existe une autre notation, à savoir : F = - grad U Pour une fonction à plusieurs variables, on a : dU = U x dx + y dy + z dz = - F dl = - dW

W =  F dl =  dU = – ( UB – UA ) W = UA – UB A B La variation de l'énergie potentiel au cours d' un déplacement élémentaire dl est égale et de signe opposé au travail de la force. Que peut on dire dans le cas d'un déplacement sur un chemin quelconque? A B W =  F dl A B AB =  dU A B = – ( UB – UA ) Et donc, W = UA – UB AB

Une force qui dérive d'une énergie potentielle est appelée W = UA – UB AB Si une force F dérive d'une énergie potentielle U, le travail de cette force lors d'un déplacement AB quelconque ne dépend que du point de départ A et du point d'arrivée B. Remarque: W = UA – UA = 0 AA Si une force F dérive d'une énergie potentielle U, le travail de cette force est nul sur un contour fermé. Une force qui dérive d'une énergie potentielle est appelée force conservative

Réciproquement: Si le travail d'une force lors d'un déplacement quelconque ne dépend que du point de départ et du point d'arrivée, on dit que cette force est conservative et dérive d'une énergie potentielle. Remarque: En mécanique, la plupart des forces étudiées sont conservatives, cependant, certaines forces ne le sont pas comme par exemple les forces de frottement. Pour les forces non conservatives (dissipatives), on a: W  0 AA

W = KB - KA W = UA – UB UA – UB = KB - KA KA + UA = KB + UB 4. Conservation de l'énergie mécanique Nous avons montré précédemment qu'on a toujours: = W AB KB - KA Et que dans le cas de forces conservatives, on a: W = UA – UB AB UA – UB = KB - KA Donc: C'est à dire: KA + UA = KB + UB

E = K + U La somme de l'énergie cinétique et l'énergie potentielle est constante pour une particule soumise à des forces conservatives Cette somme est appelée l'énergie mécanique. E = K + U L'énergie mécanique d'une particule soumise à des forces conservatives est constante. Si parmi ces forces, il y a des forces dissipatives, l'énergie mécanique diminue.

5. Exemples A. Ressort horizontal m m U = ½ k x2 x U = 0 x U = ½ k x2 m U = 0 L'énergie potentielle U = ½ k x2 L'énergie cinétique K = ½ m v2 L'énergie mécanique E = ½ m v2 + ½ k x2

m E = ½ m v2 + ½ k x2 État initial A a E = ½ k a2 A a E = ½ k a2 L'énergie mécanique est conservée, donc: ½ m v2 + ½ k x2 = ½ k a2 vmax= ? Equation du mouvement ?

* Satellite de masse m autour de la terre (de masse M) B. Gravitation * Satellite de masse m autour de la terre (de masse M) E = ½ m v2 - G m M/r M m r R Avec r  R z o * Objet proche de la surface de la terre E = ½ m v2 + m g z Surface de la Terre U=0

* Objet proche de la surface de la terre+ z h * Objet proche de la surface de la terre+ Surface de la Table U=0 E = ½ m v2 + m g (z – h) * Objet proche de la surface de la terre++ z h Surface de la Table U=0 E = ½ m v2 - m g z

* Pendule .. q + g/l sinq = 0 a E = ½ m v2 - m g (z – a ) q a a Position la plus basse U=0 a q E = ½ m v2 - m g (z – a ) E = ½ m (a q)2 + m g a (1 – cos q) . E = ½ m (a q)2 - m g a cosq + m g a . q + g/l sinq = 0 .. dE dt = 0

Position d'equilibre du ressort: Uressort=0 et Ugravitation = 0 C. Ressort et Gravitation m z l : longueur du ressort l0: longueur à vide leq: longueur à l'équilibre k (leq - l0) = m g E = ½ m v2 - m g z + ½ k ( l - l0)2 + Cte E = ½ m v2 - m g z + ½ k ( l - leq + leq - l0)2 + Cte Position d'equilibre du ressort: Uressort=0 et Ugravitation = 0 E = ½ m v2 - m g z + ½ k ( z + leq - l0)2 - ½ k (leq - l0)2

Annexe: Les forces de frottements Un objet poussé résiste. f : force de poussée F: force de résistance (frottement) p: poids de l'objet N: réaction normale du support f F p N L'objet ne bouge que si l'on exerce une force f au delà d'un certain seuil Plus l'objet est lourd, plus f est grande (de même pour F). Dés que l'objet commence à se déplacer, la force f pour le maintenir en mouvement est généralement moindre.

Les forces de frottements sont des forces dissipatives. Lois de coulomb: Fs  ms N force de frottement statique ( v = 0 ) Fd = md N force de frottement dynamique ( v  0 ) En général: md < ms Dans l'exemple précédent, la force de frottement F (Fs) est égale et opposée à la poussée f tant que celle ci reste  ms N avec N = p = mg Les forces de frottements sont des forces dissipatives.