Correction des exercices Chapitre P6 Condensateur et dipôle RC

Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif 1. Le générateur impose la circulation du courant : du + vers le - à l’extérieur du générateur. L’armature du haut se charge positivement : i(t) uR(t) uC(t) E + – R 1 q

Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif Équation différentielle vérifiée par uC(t) lors de la charge : D’après la loi d'additivité des tensions: uC(t) + uR(t) = E (1) la loi d'Ohm donne: uR(t) = R.i(t) d'autre part i(t) = et q = C.uC(t) C étant constante, il vient i(t) = C donc uR(t) = R.C En reportant dans (1): uC(t) + R.C = E L'équation différentielle est bien de la forme uc(t) +  = E Par identification, on peut déduire l'expression de la constante  :  = R.C i(t) uR(t) uC(t) E + – R 1 q

Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif 2. On a: i(t) = C. d'où l'équation aux dimensions: [C] = De même: uR(t) = R i(t) donne [R] = Donc: [] = [R] [C] = = [T] La constante  est bien homogène à un temps.

Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif 3. En régime permanent, uc(t) est constante: uc(t) = Uc = Cte donc = 0 L'équation différentielle: uc(t) + . = E donne alors: uC (t) +  × 0 = E Donc UC = E = 8,0 V.

Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif 4. Montrer que l'expression uC(t) = A.(1 - ) est solution de l'équation différentielle à condition que … uC(t) = A.(1 – ) donc = L’expression proposée pour uC (t) est donc solution de l’équation différentielle Ssi : A.(1 – ) + . = E Donc Ssi A – A + A = E Donc Ssi A = E.

Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif 5. On remplace t = 5  dans l’expression de uC (t) proposée par l’énoncé : uC (t) = E (1 - ) Pour t = 5 on a: uC(5) = E (1 – e–5) = 0,99E  E Donc pour une durée égale à 5 on peut considérer que la charge du condensateur est totale.

Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif On évite l’utilisation de la tangente à l’origine (peu précise !) On utilise l’expression donnée pour uC (t) Pour t = , uC() = E.(1– e–1) = 0,63.E. La droite uc() = 0,63  8,0 = 5,0 V coupe la courbe uC(t) en un point d'abscisse t = . On détermine l'échelle du graphique 1 : 1,4 s  13,9 cm  s  2,2 cm donc  = 0,22s.  Autre méthode : Pour t =  ln 2 , uC(t) = E / 2  uC = 0,63E

Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif La durée minimale t durant laquelle l'opérateur doit maintenir l'interrupteur en position 1 afin de réaliser la charge du condensateur est t = 5. Soit t = 5  0,22 = 1,1 s.

Amérique du Nord 2006 Le piège photo II / Méthode d’Euler 1. A partir de cette équation différentielle … uC (t) +  = E Donc =

Amérique du Nord 2006 Le piège photo II / Méthode d’Euler 2. uC (t+t) = uC (t) + t (1) = (2) uC (t = 0,05s) = ???? (1)  uC (0,05s) = uC (0) + t AN : uC (0,05s) = 0 + 36 × 0,05 = 1,8 V

Amérique du Nord 2006 Le piège photo II / Méthode d’Euler 2. uC (t+t) = uC (t) + t (1) = (2) = ???? (2)  = AN : = = 28 V.s-1

Amérique du Nord 2006 Le piège photo II / Méthode d’Euler 2. uC (t+t) = uC (t) + t (1) = (2) uC (t = 0,10s) = ???? (1)  uC (0,10s) = uC (0,05s) + t AN : uC (0,10s) = 1,8 + 28 × 0,05 = 3,2 V

Amérique du Nord 2006 Le piège photo II / Méthode d’Euler 2. uC (t+t) = uC (t) + t (1) = (2) = ???? (2)  = AN : = = 22 V.s-1

Amérique du Nord 2006 Le piège photo II / Méthode d’Euler 3. On peut améliorer la précision en diminuant le pas de calcul t L’inconvénient est que les calculs seront plus nombreux pour couvrir la même durée d’étude

Amérique du Nord 2006 Le piège photo III / Déclenchement du piège L'énergie initialement emmagasinée par le condensateur doit être la plus importante possible. Or l'énergie électrique stockée par un condensateur de capacité C chargé par la tension E est : Estockée = ½.C.E² Pour que cette énergie soit la plus grande possible, il faut : - augmenter la valeur de la force électromotrice E du générateur idéal de tension, - et/ ou augmenter la valeur de la capacité C du condensateur. La valeur de la résistance R n'a aucun effet sur l'énergie stockée par le condensateur.  

Asie 2009 Détermination de la capacité d’un condensateur 1. u1 : tension aux bornes du générateur u1 est constante u2 : tension aux bornes du condensateur La durée de la charge est d’autant plus grande que la constante de temps  = RC du circuit est élevée. Comme C est constant, la charge est d’autant plus lente que R est élevée

Asie 2009 Détermination de la capacité d’un condensateur 400  800  1200  1600  Courbe représentant u1  Courbe représentant u2    

Asie 2009 Détermination de la capacité d’un condensateur 2. La tangente à la courbe u2 = uC = f(t), à la date t = 0 s, coupe l’asymptote horizontale u1 = E, à la date t = . Graphiquement, on lit  = 0,28 s.

Asie 2009 Détermination de la capacité d’un condensateur 3.  = RC Analyse dimensionnelle : voir exo précédent  est proportionnelle à R , le coefficient de proportionnalité est C

Asie 2009 Détermination de la capacité d’un condensateur 4. On modélise la courbe  = f(R) par une droite passant par l’origine. Le coefficient directeur de cette droite est égal à C.   Soit le point K : (RK =1000  ; K = 0,18 s) C = C = = = 1,810–4 F échelle : 1 carreau  0,02 s 1 carreau  100  R () (s) K

Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 1. Charge du condensateur a) La durée de la charge est environ égale à 5. Dans le circuit de charge  = r C C est faible puisque C = 470 nF soit 4,7010–7 F et la valeur de la résistance r est très faible, donc  est proche de 0 s. Le condensateur se charge presque instantanément. vers le circuit de déclenchement SCHÉMA 1 pile spéciale r E C B A i 1 K 2 u C u R R

Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 1. Charge du condensateur pile spéciale b) r E C 1 K 2 i A B vers YA u C R u R vers le circuit de déclenchement

Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 1. Charge du condensateur Charge du condensateur : uC augmente (très rapidement) Attention : ce phénomène n’est pas instantané !! c)

Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 1. Charge du condensateur Lorsque le condensateur est complètement chargé, uC est constante donc = 0 et i = 0 A il n'y a plus de courant qui circule. r E C B A i 1 K 2 u C u R R q

Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 2. Décharge du condensateur a) signe de l'intensité i du courant lors de la décharge : les électrons accumulés sur l’armature B la quittent pour aller vers A, le courant circule donc dans le sens contraire du sens positif : i < 0 D'après la loi d'Ohm: uR = – R.i (signe – car flèche i et flèche uR dans le même sens) q = C.uC i = uC = uR r E C B A i 2 u C u R R q i

Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 2. Décharge du condensateur b) uC = uR = – R.i Donc uC + R.i = 0 D’où uC + R C = 0 En divisant par RC : + uC = 0 En posant  = R.C, on obtient finalement + uC = 0

Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 2. Décharge du condensateur  est l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à l’origine et l’axe des abscisses =  = 0,8 s R = = = 1,7 M

Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 3 Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 3. Décharge et battements du coeur a) On lit : ulimite = 2,1 V Par le calcul : ulimite = E / e ulimite = 5,7 / e = 2,1 V Les deux valeurs sont cohérentes ulimite

Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 3 Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 3. Décharge et battements du coeur b ) à t1 : uC(t1 ) = ulimite Donc E = = E e – 1 Donc = - 1 D’où t1 =  c) t = t1 = 0,8 s d) Nombre de battements du cœur par minute: Toutes les  = 0,8 s  1 battement toutes les 60 s  N battements N = = 75 battements par minute

Nvelle Calédonie 2008 Orage 1. Modélisation de l’éclair nuage-sol 1. D ’après la loi d’additivité des tensions : uC(t) + ur(t) = 0 (1) D’après la loi d’Ohm : ur(t) = r i(t) D’autre part i(t) = avec q(t) = C uC(t) donc i(t) = C Donc : ur(t) = r i(t) = r C On reporte dans (1) en posant  = r C : uC(t) +  = 0 Finalement : K uC ur – q i C r + q Schéma électrique équivalent

Nvelle Calédonie 2008 Orage 1. Modélisation de l’éclair nuage-sol 3) L’expression uC(t) = U. est solution de (1) si elle vérifie l’équation (1) : Or : = = – U Calculons  + uC(t) : + uC (t) = - U + U = 0 à tout instant La solution proposée est bien solution de l’éq différentielle  

Nvelle Calédonie 2008 Orage 2. Foudre et sécurité 1. i(t) = C = – C U = – C U = – Cette expression est bien de la forme i(t) = – I à condition que : I = constante positive

Nvelle Calédonie 2008 Orage 2. Foudre et sécurité 2. On a : i(0) = – I e0 = – I i() = – I e- = 0 La seule courbe qui vérifie les deux conditions précédentes sur l’intensité est la courbe A.

Nvelle Calédonie 2008 Orage 2. Foudre et sécurité 3. Méthode pour déterminer  : - on calcule i() = – I.e–1 = – 0,37.I = – 0,3730 = –11 kA - on trace la droite horizontale qui coupe i(t) en un point d’abscisse égale à . I = – 30 kA i()=–0,37.I  = 30 µs

Nvelle Calédonie 2008 Orage 2. Foudre et sécurité 3. La durée approximative de la décharge est : t = 5. t = 5  30 = 150 µs. (réponse b).

Nvelle Calédonie 2008 Orage 2. Foudre et sécurité 4. Eél = ½.C.uC² : lorsque « le condensateur » est chargé : uC(t) = U donc Eél = ½.C.U2 alors C = avec U = 100106 V (texte encadré « 100 millions de volts ») U = 1,00108 V et Eél = 5,0107 J C = C = 1,0  10 –8 F = 1010 –9 = 10 nF.