3ème année Génie Informatique HIGH-TECH 3ème année Génie Informatique Théorie du Signal Prof. : N. SBITI Année 2009/2010

Plan du cours Introduction Chapitre 1 : Transformée de Laplace Chapitre 2 : Convolution Chapitre 3 : Transformée de Fourier Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu Chapitre 5 : Systèmes linéaires-Exemples de systèmes de base Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des SLI Théorie du signal

Introduction Signal : Bruit : Manifestation physique d’une grandeur mesurable : Extension : signaux bidimensionnels (image par ex) Bruit : Théorie du signal

Théorie du signal : Traitement du signal : Introduction

OU (classification énergétique) Introduction  Classifications : • Signaux déterministes continus et discrets (fonction certaine du temps) • Signaux aléatoires continus et discrets OU • Signaux continus (déterministes et aléatoires) • Signaux discrets (déterministes et aléatoires) OU (classification énergétique) • Signaux à énergie finie • Signaux à puissance moyenne finie (pour la modélisation de phénomènes permanents) Théorie du signal

Echantillonnage des signaux continus (discrétisation du temps) Introduction Echantillonnage des signaux continus (discrétisation du temps) t Amplitude discrète Signal quantifié Temps continu continue Signal analogique discret Signal échantillonné Signal numérique ou digital Théorie du signal

? e s  Notion de système : Système : Etat du système : Introduction NS  Notion de système : ? e s Relation entrée/sortie Schéma-bloc Système : Etat du système :  Observation : Théorie du signal

Exemple électrique : cellule RC Introduction NS Exemple électrique : cellule RC Tension d’entrée Tension de sortie R C u y Exemple mécanique : levier Entrée u l2 Force/ déplacement Force/ déplacement l1 Sortie y Exemple pneumatique / hydraulique: cascade réservoir p1 V p2 p f1 f2 Entrées : p1, p2 pressions fluide f1, f2 ouvertures vannes Sortie : p pression réservoir Théorie du signal

fenêtre rectangulaire Introduction NS  Modélisation signaux et systèmes : Modèle d’un signal : Exemples : Echelon unité (ou d ’Heaviside) Porte ou fenêtre rectangulaire Impulsion de Dirac Signal causal : Théorie du signal

Modèle d’un système : Exemples : Introduction R C u y l1 l2 Entrée u Sortie y Théorie du signal

 Classification des systèmes : Introduction NS  Classification des systèmes : • Systèmes linéaires, systèmes non linéaires : Un système linéaire obéit au principe de superposition Si Alors : u =  y = Exemples : dy(t) dt + a y(t) = b u(t) dy(t) dt + a y(t) = b(t) u(t) y(t) = u(t)² n m diy(t) dti diu(t) dti  ai(t) =  bi(t) i=0 i=0 Théorie du signal

• Systèmes stationnaires, systèmes non stationnaires: Introduction NS • Systèmes stationnaires, systèmes non stationnaires: Un système stationnaire (invariant dans le temps) satisfait au principe de permanence : Si Alors : u(t) y(t) t t u(t-t) y(t-t) t t t t Exemples : dy(t) dt + a y(t) = b u(t) dy(t) dt + a y(t) = b(t) u(t) y(t) = u(t)² Théorie du signal

 Systèmes linéaires et stationnaires (SLS) Introduction NS  Systèmes linéaires et stationnaires (SLS)  Modèle des SLS monovariables : Où n  m  n  m  réalisabilité physique du système  n : ordre du système SLS causal : Théorie du signal

(Micro-contrôleurs, Microprocesseurs) Introduction Progrès considérables de l’informatique, prouesses technologiques, baisses de prix : Algorithmes numériques "temps réel" (Micro-contrôleurs, Microprocesseurs) Avantages du numérique : Applications courantes : Théorie du signal

Chapitre 1 Transformée de Laplace bilatérale Chapitre 1 : TL2 Chapitre 1 Transformée de Laplace bilatérale Théorie du signal

Transformée de Laplace bilatérale Chapitre 1 : TL2 Transformée de Laplace bilatérale Soient : p =  + j variable complexe x(t) fonction réelle Condition suffisante d ’existence : convergence absolue X(p) = Théorie du signal

X(p) converge absolument dans Chapitre 1 : TL2 X(p) converge absolument dans D= { 1< Re(p) <2 } D : Im(p) 1 2 Re(p)  Définition : Transformée de Laplace bilatérale de x(t) : Théorie du signal

 Exemples: Représentation temporelle  Représentation fréquentielle Chapitre 1 : TL2 Représentation temporelle  Représentation fréquentielle  Exemples: x(t) X(p) (1, 2) - e-t si t < 0 0 si t  0 0 si t < 0 e-t si t  0 Théorie du signal

Cas particulier important: Transformée de Laplace monolatérale Chapitre 1 : TL2 Cas particulier important: Transformée de Laplace monolatérale  Inversion de la transformée de Laplace Calcul par la méthode des résidus En pratique : Tables de transformées et propriétés de la TL Théorie du signal

 Propriétés de la transformée de Laplace Transformée de Laplace Chapitre 1 : TL2  Propriétés de la transformée de Laplace Notations : x(t)  X(p) sur (s1, s2) et y(t)  Y(p) sur (s’1, s’2) TL TL Propriétés Transformée de Laplace Linéarité Changement d’échelle en t Translation en t Translation en p Dérivation par rapport à t Dérivation par rapport à p Théorie du signal

Soit x(t) de carré sommable (  |x(t)|² dt < +) - + Chapitre 1 : TL2  Théorème de Parseval Soit x(t) de carré sommable (  |x(t)|² dt < +) - +  Théorème de la valeur initiale  Théorème de la valeur finale Théorie du signal

Chapitre 2 Convolution Impulsion de Dirac Théorie du signal

Convolution  Cas continu Soient x(t) et y(t) Chapitre 2: Convolution- Impulsion de Dirac Convolution  Cas continu Soient x(t) et y(t) Produit de convolution (s’il existe): c(t) = x(t)  y(t) = Condition suffisante d’existence : Quelques propriétés :  Théorie du signal

Transformée de Laplace d’un produit de convolution Chapitre 2: Convolution- Impulsion de Dirac Transformée de Laplace d’un produit de convolution TL Soient: x(t) X(p) (1, 2) y(t) Y(p) (’1, ’2) TL(x(t)y(t)) = TL Théorie du signal

Unité de convolution  Cas continu : Chapitre 2: Convolution- Impulsion de Dirac Unité de convolution  Cas continu : ? y(t) tq : y(t)  x(t) = x(t)  y(t) = x(t) x(t) La solution n’est pas une fonction mais une distribution appelée distribution de Dirac et notée d(t). Elément neutre du produit de convolution. d(t) t Théorie du signal

Quelques propriétés : d  1 =  d(t) dt = = Chapitre 2: Convolution- Impulsion de Dirac Quelques propriétés : d  1 =  d(t) dt = d(t-a)  x(t) =  d(t-a) x(t-t) dt =  d() x(t--a) d = a(t)d(t) = a(0) d(t) car  t 0 d(t)=0 si t<0  d(t) dt = Distribution de Heaviside si t >0 notée H(t) ou u(t) (d(t)  x(t))’ = Plus généralement : + - + + - - t - Théorie du signal

Chapitre 3 Transformation de Fourier Théorie du signal

3-1 Transformée de Fourier continue des fonctions de carré sommable : Chapitre 3: Transformation de Fourier NS 3-1 Transformée de Fourier continue des fonctions de carré sommable :  Soit x(t) de carré sommable sur ℝ (  x(t)²dt existe) : Transformée de Fourier de x(t) : X(f)=TF (x(t)) X(f) =  Transformée de Fourier inverse de X(f) : x(t)=TF-1(X(f)) x(t) =  Dualité entre espace temps et espace fréquence Théorie du signal

Ces intégrales sont prises au sens quadratique : Chapitre 3: Transformation de Fourier NS Ces intégrales sont prises au sens quadratique : +a Xa(f)  x(t) e -2pjft dt -a  X(f) est définie par : lim  |Xa(f)-X(f)|² df = 0  a +a xa(t)  X(f) e +2pjft df -a + x(t) est définie par : lim  |xa(t)-x(t)|² dt = 0 - a Egalité de Parseval Théorie du signal

Chapitre 3: Transformation de Fourier Remarque : La transformée de Fourier est un cas particulier de la transformée de Laplace bilatérale prise pour p = Soit X(p) = TL(x(t)) sur (s1,s2). X(f) existe et peut être calculée en remplaçant p par dans X(p), à condition que (s = ) appartienne au domaine de convergence de X(p). Théorie du signal

3-2 Transformée de Fourier de distributions Chapitre 3: Transformation de Fourier NS 3-2 Transformée de Fourier de distributions On montre (théorie des distributions) que: TF( (t)) = TF(1) = TF(e2pjf0t) = TF(d(t-t0) ) = Application : TF(cos(2pf0t)), TF(sin(2pf0t)) Théorie du signal

3-3 Transformée de Fourier des fonctions périodiques Chapitre 3: Transformation de Fourier NS 3-3 Transformée de Fourier des fonctions périodiques Soit x(t) périodique de période T0. x(t) développable en série de Fourier: x(t) = avec cn = Or TF(e2pjnt/T0) = d(f- ) n T0 X(f) = La transformée de Fourier d’une fonction périodique est Exemple Théorie du signal

périodique de période T0. x(t) développable en série de Fourier: Chapitre 3: Transformation de Fourier NS Extension du développement en séries de Fourier à des distributions : Cas du peigne de Dirac Soit x(t)= périodique de période T0. x(t) développable en série de Fourier: x(t) = avec cn = X(f) = Formule sommatoire de Poisson La transformée de Fourier d’un peigne de Dirac est Théorie du signal

3-4 Quelques propriétés Parité :  x(t) réelle paire  X(f) Chapitre 3: Transformation de Fourier NS 3-4 Quelques propriétés Parité :  x(t) réelle paire  X(f)  x(t) réelle impaire  X(f)  Cas général : x(t) réelle  Antisymétrie : si TF(x(t)) = X(f) alors Théorie du signal

3-5 Autres propriétés: Convolution Linéarité Translation en t Chapitre 3: Transformation de Fourier NS 3-5 Autres propriétés: Convolution Linéarité Changement d’échelle en t Translation en t Translation en f Dérivation par rapport à t Intégration par rapport à t Dérivation par rapport à f Théorie du signal

Signaux déterministes Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu NS Chapitre 4 Signaux déterministes à temps continu Théorie du signal

4-1 Exemples de signaux usuels Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu NS 4-1 Exemples de signaux usuels  Impulsion / porte rectangulaire  Impulsion / porte triangulaire Théorie du signal

 Signal exponentiel décroissant Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu NS  Signal exponentiel décroissant  Signal oscillatoire exponentiel décroissant Théorie du signal

 Signe  Echelon unité  Impulsion de Dirac Théorie du signal Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu NS  Signe  Echelon unité  Impulsion de Dirac Théorie du signal

 Signaux périodiques 1 t 1 t x(t + t0) = x(t)  t  motif de x(t) Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu NS  Signaux périodiques x(t + t0) = x(t)  t  motif de x(t)  répétitions de y(t) y(t) = triT1(t) 1 Non causal Pair t -T0/2 -T1/2 +T1/2 +T0/2 x(t) 1 -T0 t -T0/2 -T1/2 +T1/2 +T0/2 T0 Théorie du signal

4-2 Représentation temporelle de signaux réels Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu NS 4-2 Représentation temporelle de signaux réels Signal certain continu : Support temporel de x(t) supp x(t) : 1ère classification : selon le support  Signaux à support borné (durée finie)  Signaux à support infini () Signaux à support borné à gauche (ou à droite) Théorie du signal

Les signaux à puissance infinie n’ont pas de réalité physique Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu NS 2ème classification : énergétique E =     <     Signaux à énergie finie Exemple : calcul de l’énergie de quelques signaux usuels  Signaux à puissance moyenne finie Exemple : Calcul de la puissance de x(t) = A sin 2pft 1 +T0 P = lim —  T0 2T0 -T0 Les signaux à puissance infinie n’ont pas de réalité physique Théorie du signal

4-3 Représentation spectrale Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu NS 4-3 Représentation spectrale x(t) réel à énergie ou puissance finie : représentation spectrale (ou spectre) de x(t) Rappels : X(f) = A(f) + j B(f) A(-f) = A(f) B(-f) = -B(f) |X(f)| pair Arg (X(f)) impair x(t) pair  X(f) réel, donc pair x(t) impair  X(f) imaginaire pur, donc impair f<0 : pas de signification physique Support spectral de X(f) supp X(f) : Théorie du signal

 Spectres discrets (spectre de raies) Signaux . Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu NS  Spectres continus Signaux et à énergie Ex: Fenêtre rectangulaire PT0(t) x(t) = PT0(t) 1 TF -T0 +T0  Spectres discrets (spectre de raies) Signaux . Ex: x(t) = a0 + a cos 2pf0t X(f) = x(t) a0 TF Théorie du signal

Signaux de durée ou parfois Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu NS  Spectres bornés Signaux de durée Ex : sinus cardinal 2pt F0 x(t) = 2F0 sin2pt F0 — 1 2F0 x(t) TF t  Spectres infinis Signaux de durée ou parfois Rq : un signal de durée finie a nécessairement un support spectral infini Ex : fonction porte (fenêtre) Peigne de Dirac TF TF Théorie du signal

4-4 Densité spectrale et fonction d’autocorrélation Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu NS 4-4 Densité spectrale et fonction d’autocorrélation  Signaux à énergie finie E =  x²(t) dt =  Parseval Exx(f) = |X(f)|² est une en fct de f Exx est positive ou nulle, paire, donc : E = On montre que TF-1(|X(f)|²) =  = exx(t) exx(t) : fonction d ’autocorrélation de x(t) Remarque : exx(0) = =          Exemple Théorie du signal

 Signaux à puissance finie Soit x(t) à puissance finie Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu NS  Signaux à puissance finie Soit x(t) à puissance finie Soit xT0(t), le signal x(t) tronqué sur [-T0,T0] xT0(t) = T0, on peut calculer XT0(f) et appliquer le th. de Parseval (xT0(t) est à énergie finie) P = 1 +T0 —  x²(t) dt = 2T0 -T0 : Densité spectrale de puissance sur [-T0,T0] + Fxx(f) = lim et est tq  Fxx(f) df = - T0 Fxx(f) : Théorie du signal

xx(t) : Fonction d’autocorrélation du signal x(t) Chapitre 4 : Signaux déterministes à temps continu NS xx(t) : Fonction d’autocorrélation du signal x(t) xx(t) = Théorème de Wiener Kintchine Remarque : xx(0) = Exemple Extension : Intercorrélation Densité spectrale mutuelle Exemple Théorie du signal

Chapitre 5 Systèmes linéaires Exemples de systèmes de base MH NS Chapitre 5 Systèmes linéaires Exemples de systèmes de base Signaux et systèmes

Exemples de systèmes de base Chapitre 5 : Systèmes linéaires : Exemples de systèmes de base MH NS Exemples de systèmes de base 5.1. Systèmes du 1er ordre  Modèle (forme normalisée) T : constante de temps K : gain statique  Exemple électrique : cellule RC T = RC ; K = 1 u y R C Signaux et systèmes

5.2. Systèmes du second ordre :  Modèle (forme normalisée) Chapitre 5 : Systèmes linéaires :Exemples de systèmes de base MH NS 5.2. Systèmes du second ordre :  Modèle (forme normalisée) w0 : pulsation propre x : coefficient d’amortissement K : gain statique  Exemple : cellule RLC L u y R C Signaux et systèmes

- Réservoir à écoulement forcé Chapitre 5 : Systèmes linéaires : Exemples de systèmes de base MH NS 5.3. Intégrateur :  Modèle :  Exemples : - Réservoir à écoulement forcé Q2 = const. (fixé par la pompe P) S dH = (Q1-Q2)dt y = H ; u = Q1-Q2 P Q1 Q2 H S Signaux et systèmes

- Ensemble distributeur-vérin hydraulique Chapitre 5 : Systèmes linéaires : Exemples de systèmes de base MH NS - Ensemble distributeur-vérin hydraulique u : déplacement du tiroir du distributeur, c’est l’entrée du système. y : déplacement du piston du vérin, c’est la sortie du système. Pz, Ps : pression d’alimentation et de retour, supposées constantes. A : surface du piston. b : largeur de la fenêtre du distributeur. v : vitesse d’écoulement à travers la fenêtre. Le comportement dynamique (autour d’un régime nominal) est décrit par : Signaux et systèmes

Dérivateur théorique : Chapitre 5 : Systèmes linéaires : Exemples de systèmes de base MH NS 5.4. Dérivateur :  Modèle : Dérivateur théorique : Dérivateur réel :  Exemple : Amortisseur hydraulique Équilibre des forces : r : raideur fv : frottement visqueux Signaux et systèmes

5.5. Retard pur (temps mort) :  Modèle : Chapitre 5 : Systèmes linéaires : Exemples de systèmes de base MH NS 5.5. Retard pur (temps mort) :  Modèle : y(t) = u(t-t) = const.  Exemple : Convoyeur à courroie l v y u y(t) = u(t-t) Signaux et systèmes

- Engrenage (Transmission rigide) : n1, n2 : nombres de dents Chapitre 5 : Systèmes linéaires : Exemples de systèmes de base MH NS 5.6. Gain proportionnel :  Modèle : y(t) = K u(t) K : gain constant  Exemples : - Potentiomètre : u=V1 , y=V2 - Engrenage (Transmission rigide) : n1, n2 : nombres de dents w1, w2 : vitesses de rotation u= w1 , y= w2 - Vérin pneumatique : Équi. Forces : r y = A P  u = P V1 R1 R2 V2 Signaux et systèmes

Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS Chapitre 6 Représentation par fonction de transfert des Systèmes Linéaires Invariants Signaux et systèmes

6.1. Représentation de base : Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS 6.1. Représentation de base : Système dynamique u(t) y(t) Système continu : entrée continue et sortie continue Système linéaire (principe de superposition) Système invariant dans le temps n  m  Système propre ( réalisable physiquement) 6.2. Fonction de transfert : En transformant les deux membres de l’équation différentielle : Y(p) = G(p) U(p) + I(p) G(p) : fonction de transfert I(p) : conditions initiales Signaux et systèmes

On obtient l’expression suivante : Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS On obtient l’expression suivante : z1, … , zm zéros du système p1, … , pn pôles du système T1, … , Tm constantes du temps du système K gain statique Signaux et systèmes

6.3. Propriétés immédiates : Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS 6.3. Propriétés immédiates :  Une fonction de transfert est définie pour un système linéaire et invariant.  La sortie d’un système est donnée par : y(t) = L-1 ( G(p) U(p) ) si les conditions initiales sont nulles.  La fonction de transfert est indépendante du signal appliqué à l’entrée, u(t). Elle ne dépend que du système.  La fonction de transfert est entièrement caractérisée par les pôles, les zéros et le gain bm. Signaux et systèmes

6.4. Extension aux systèmes multivariables : Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS 6.4. Extension aux systèmes multivariables : u1 uq y1 yp Yi(p) = Gi1(p) U1(p) + … Giq Uq(p) i = 1, … p Y(p) = G(p) U(p) Vecteur sortie Matrice de transfert entrée Signaux et systèmes

Fonction de trasfert G(p) Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS 6.5. Fonctions de transfert des éléments de base Type d’élément Fonction de trasfert G(p) 1er ordre 2e ordre Intégrateur simple Dérivateur réel Retard pur Signaux et systèmes

6.6. Fonctions de transfert de systèmes composés : Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS 6.6. Fonctions de transfert de systèmes composés : 6.6.1. Montage en série (en chaine, en csacade) : 6.6.2. Montage en parallèle : Signaux et systèmes

Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS 6.6.3. Montage à retour : Signaux et systèmes

6.7. Transformation des schémas blocs : Règles de base Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS 6.7. Transformation des schémas blocs : Règles de base Signaux et systèmes

6.7. Transformation des schémas blocs : Règles de base Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS 6.7. Transformation des schémas blocs : Règles de base Signaux et systèmes

Schéma-bloc (fonctionnel) Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS 6.8. Détermination de la réponse d’un système : G(p) u y Schéma-bloc (fonctionnel) u(t) = u1(t) un signal donné, mais quelconque.  y(t) = y1(t) la réponse du système à u1(t) où y1(t) = L-1 ( G(p) U1(p) ) i) Décomposer G(p) U1(p) en éléments simples ii) Utiliser la table des transformées Signaux et systèmes

- SLI causal  réponse impulsionnelle causale Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS 6.9. Réponse impulsionnelle d’un système LI :  C’est la réponse du système à l’impulsion de Dirac d(t) : u(t) = d(t)  y(t) : réponse impulsionnelle  u(t) = d(t)  U(p) = 1 y(t) = L-1 ( G(p) U(p) ) = L-1 ( G(p)) = g(t) - La réponse impulsionnelle d’un système est égale à la transformée inverse de sa fonction de transfert. - La réponse impulsionnelle d’un SLI caractérise entièrement ce système. - SLI causal  réponse impulsionnelle causale Signaux et systèmes

y(t) Im x Re t K -K Position des pôles Allure de la réponse Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS 6.10. Allures de la réponse impulsionnelle en fonction des pôles du système Position des pôles Allure de la réponse Im Re x y(t) t Pôle simple y(t)=K 1(t) K y(t)=K sinw0t -K 2p/w0 Signaux et systèmes

 Réponse ipulsionnelle g(t) = L-1 (G(p)) Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS 6.11. Réponse d’un système LI en fonction de sa réponse impulsionnelle :  Etant donné un SLI de FT G(p)  Réponse ipulsionnelle g(t) = L-1 (G(p))  u (t) un signal d’entrée quelconque. y(t) la réponse correspondante. y(t) = L-1 ( G(p) U(p) ) = L-1 ( G(p))  L-1 (G(p)) = g(t)  u(t) Soit : y(t) = g(t)  u(t) y(t) existe et est borné en amplitude si g(t) intégrable et u(t) borné en amplitude.  g(t), u(t) causaux : (système physiquement réalisable) y(t) =  g(t) u(t-t) dt =  g(t-t) u(t) dt   Signaux et systèmes

6.12. Stabilité des systèmes linéaires : Chapitre 6 : Représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants MH NS 6.12. Stabilité des systèmes linéaires :  Définition - condition générale de stabilité: - Définition : Un système linéaire est stable si son état ne diverge pas quand il est abandonné à lui-même (entrée = 0). - Stabilité et bornitude entrée/sortie : Un système linéaire est stable si et seulement si à tout signal borné en entrée, correspond un signal borné en sortie, c.à.d. : u borné  y borné - Stabilité et pôles d’un système linéaire : Un système linéaire est stable si et seulement si les pôles de sa fonction de transfert sont à partie réelle strictement négative. - Stabilité et réponse impulsionnelle : Un système linéaire est stable si sa réponse impulsionnelle est intégrable (absolument sommable). | g(t) | = | L-1 (G(p) | bornée Signaux et systèmes

Transformée en Z bilatérale Chapitre 7: Transformée en Z bilatérale Chapitre 7 Transformée en Z bilatérale Théorie du signal

Transformée en Z bilatérale Chapitre 7: Transformée en Z bilatérale Transformée en Z bilatérale Représentation temporelle  Représentation fréquentielle Soient : {xk}k ℤ une suite numérique z = r ej une variable complexe Condition suffisante d ’existence : convergence absolue Théorie du signal

X(z) converge absolument dans D= { r1< r <r2 } D : Chapitre 7: Transformée en Z bilatérale X(z) converge absolument dans D= { r1< r <r2 } D : r2 r1 Re(z) Im(z)  Définition : Transformée en Z bilatérale de xn : Théorie du signal

 Exemples: {xk} X(z) (r1, r2) ak si k  0 0 si k < 0 0 si k  0 Chapitre 7: Transformée en Z bilatérale  Exemples: {xk} X(z) (r1, r2) ak si k  0 0 si k < 0 0 si k  0 -ak si k < 0 ak  k ak si k  0 bk si k < 0 a < b Théorie du signal

 Inversion de la transformée en Z : Chapitre 7: Transformée en Z bilatérale  Inversion de la transformée en Z : TZ {xk} X(z) (r1, r2) TZ-1 X(z) (r1, r2) Calcul par la méthode des résidus Méthode pratique : X(z) fraction rationnelle pouvant s’écrire : X(z) =q0+q1z+…+ qlzl+ a0 + a1z + … + amzm b0 + b1z + … + bnzn avec m < n Décomposition en éléments simples et développement en série, en tenant compte de la couronne de convergence. Théorie du signal

 Propriétés de la transformée en Z Chapitre 7: Transformée en Z bilatérale  Propriétés de la transformée en Z Notations : xk  X(z) sur (r1, r2) et yk  Y(z) sur (r’1, r’2) TZ TZ Propriétés Transformée en Z Linéarité Translation Multiplication par k Echelle sur z Théorie du signal

{xk} : suite de carré sommable ( |xk|² < +) - Chapitre 7: Transformée en Z bilatérale  Théorème de Parseval + {xk} : suite de carré sommable ( |xk|² < +) - X(z) = TZ(x(t)) (r1, r2)  Théorème de la valeur initiale  Théorème de la valeur finale Théorie du signal

 Cas discret : Soient xk et yk suites numériques Chapitre 7: Transformée en Z bilatérale  Cas discret : Soient xk et yk suites numériques Produit de convolution (s’il existe) : {ck} = {xk}  {yk} Condition suffisante d ’existence : y sommable et x bornée Quelques propriétés :   Théorie du signal

d’un produit de convolution discret Chapitre 7: Transformée en Z bilatérale Transformée en Z d’un produit de convolution discret TZ Soient: {xk} X(z) (r1, r2) {yk} Y(z) (r’1, r’2) TZ({xk}{yk}) = TZ Théorie du signal

 Cas discret : ? {yk} tq : {yk}{xk}={xk}{yk}={xk}  {xk} Chapitre 8 : Convolution discrète- Impulsion de Dirac  Cas discret : ? {yk} tq : {yk}{xk}={xk}{yk}={xk}  {xk} On doit avoir : xk =  yl xk-l  xk Soit yl = 0  l  0 et y0 = 1 D’où la suite appelée : impulsion discrète de Dirac et notée : yk = d Plus généralement d = + l=- k k 0 si k i i 1 si k= i d i k 1 k i Théorie du signal

Quelques propriétés : { }  {xk} = {   xk-l } = Partie A : Rappels mathématiques Quelques propriétés : { }  {xk} = {   xk-l } = {xk  } = {xi  } =    = + k l i i l=- k k i i N k si N < i Echelon de Heaviside si N > i i k=- Théorie du signal

Transformation de Fourier numérique Partie A : Rappels mathématiques Transformation de Fourier numérique Soit {xk} une suite numérique Soit la série ……………………. où T est un paramètre arbitraire La convergence de cette série dépend du comportement asymptotique des xk  Cas des suites absolument sommables La série converge vers X(n) périodique de période … X(n) est appelée transformée de Fourier numérique de la suite {xk} TFn X(n) {xk} = TFn -1 {xk} X(n) = Théorie du signal

 Cas des suites de carré sommable Partie A : Rappels mathématiques  Cas des suites de carré sommable La série converge en moyenne quadratique vers X(n) périodique de période … La transformée de Fourier existe et est réciproque. Elle se calcule comme dans le cas des suites sommables. Pour que X(n) existe et soit réciproque, il suffit que … Egalité de Parseval: Remarque : La transformée de Fourier numérique est un cas particulier de la transformée en Z bilatérale prise pour z = Soit X(z) = TZ(xk) sur (r1, r2). X(n) existe et peut être calculée en remplaçant z par dans X(z), à condition que … Théorie du signal

Convergence au sens des distributions vers Partie A : Rappels mathématiques  Extension Convergence au sens des distributions vers X(n) périodique de période …  Propriétés Convolution {xk}{yk}  X(n) Y(n) Linéarité Translation Multiplication par k Autres :  xk réelle paire  X(n) et  xk réelle impaire  X(n) et  Cas général : xk réelle  Re(X(n)) Im(X(n)) Théorie du signal

Signaux certains discrets Partie B : Signaux certains Chapitre 2 Signaux certains discrets Théorie du signal

Représentation temporelle Partie B : Signaux certains Représentation temporelle de signaux réels Signal certain discret : Support du signal 1ère classification :  Signaux à support borné (durée …)  Signaux à support infini (………) Ex: Signaux à support borné à gauche (ex : ) Théorie du signal

2ème classification : énergétique Partie B : Signaux certains 2ème classification : énergétique E =  Signaux à énergie finie  Signaux à puissance finie P = Ce sont les signaux tels que P <  Théorie du signal

Représentation spectrale Partie B : Signaux certains Représentation spectrale Soit xn réel discret à énergie ou puissance finie ………………… : représentation spectrale (ou spectre) de xn Rappels : X () = A () + j B () A(- ) = … B(- ) = … |X()| … Remarque : X() = …………….périodique (…) Support spectral de X() est toujours …….. et …………… (1/T) 1/2T -1/2T 1/T -1/T |X(n)| n 3/2T Théorie du signal

 Spectres discrets (spectre de raies) Signaux ……….. (ou ……………….). Partie B : Signaux certains  Spectres continus Signaux à énergie …. Ex: …. xn 1 TF n -K K-1  Spectres discrets (spectre de raies) Signaux ……….. (ou ……………….). Ex: x(n) = cos 2pn/n0 n0 ℕ X(n) = x(n) TFn n n0/4 n0/2 n0 Théorie du signal

Densité spectrale et fonction d’autocorrélation Partie B : Signaux certains Densité spectrale et fonction d’autocorrélation  Signaux à énergie finie E = … Exx(n) = … : densité d’énergie en fonction de n Exx est positive ou nulle, paire, et périodique de période 1/T. On montre que TF-1(|X(n)|²) = … ............ : fonction d ’autocorrélation de xn (= convolution discrète de xi et x-i) Remarque : exx,0 = E = Théorie du signal

 Signaux à puissance finie Soit xn à puissance finie P = Partie B : Signaux certains  Signaux à puissance finie Soit xn à puissance finie P = Théorie du signal

……..: Fonction d’autocorrélation du signal xn Partie B : Signaux certains ……..: Fonction d’autocorrélation du signal xn Théorème de Wiener Kintchine Remarque : xx,0 = P Théorie du signal

Transmission dans un système dynamique linéaire discret Partie B : Signaux certains Transmission dans un système dynamique linéaire discret Système dynamique ai sn en Système discret :…. Système linéaire (principe de superposition) Système invariant dans le temps  Réponse impulsionnelle Système entièrement caractérisé par sa réponse à une Impulsion de Dirac discrète : ai Relation E/S : sn = an … en Théorie du signal

sn existe et est borné en amplitude si : Partie B : Signaux certains Donc: sn = sn existe et est borné en amplitude si : - ai ………………………. c ’est-à-dire …………………….. - en borné en amplitude Systèmes physiquement réalisables : ai = 0 pour i < 0 (rép. imp. causale) Alors: sn = Si de plus ei est causal : sn = Théorie du signal

 Transmittance S(n) = A(n) … E(n) Partie B : Signaux certains ……………………………..: CNS de stabilité du système  système stable Remarque : si ai causale, alors A(n) déphase  Transmittance S(n) = A(n) … E(n) A(n) = ………… : transmittance du système discret Relation E/S : simple ……………… dans le domaine spectral A(n) périodique (1/T) peut être obtenu par analyse harmonique discrète : les seules fonctions propres des systèmes linéaires sont les fonctions harmoniques Si en = A0 cos 2pn0nT et sn = A cos (2pn0nT + ) Alors on montre que: |A(n0)| = A/A0 et Arg(A(n0)) =  Théorie du signal

 Stabilité On peut aussi utiliser la transformée en Z : S(z) =… Partie B : Signaux certains On peut aussi utiliser la transformée en Z : S(z) =… avec A(z) =  ai z-i = N(z)/D(z) A(z) est stable … Si A(z) = N(z)/D(z), alors les pôles de A(z) sont les racines de D(z) : zi Les modules |zi| (t.q. |z1|<|z2|<...<|zn|) prennent n valeurs distinctes  (n+1) domaines de cv : - si |z| < |z1| : ak nul à …. - si |z| > |zn| : ak nul à ….. - sinon ak …… Un système causal est stable si …    Stabilité Théorie du signal

 Causalité Un système stable de transmittance A(z) est causal si : Partie B : Signaux certains  Causalité Un système stable de transmittance A(z) est causal si : • … Théorie du signal

Fonction d’autocorrélation Partie B : Signaux certains  Densité spectrale du signal de sortie Soit un système stable, avec en un signal d ’énergie finie S(n) = A(n) E(n) Densité d ’énergie Si en un signal de puissance finie Densité de puissance ss ,n = Fonction d’autocorrélation du signal de sortie Théorie du signal

Approximation de la réponse impulsionnelle finie d’un filtre : Partie B : Signaux certains Approximation de la réponse impulsionnelle finie d’un filtre : Soit à construire un filtre de fonction de transfert A(n) imposée. 1ère approche : ak = TFn-1 (A(n)) Mais ak généralement de durée infinie, et Arg(A(n)) t.q. ak non causale. On cherche une approximation finie causale: Décalage temporel et troncature (rectangulaire, Hanning,...) Théorie du signal