Influence de la morphologie des phases sur le comportement mécanique des matériaux hétérogènes Travail de thèse présenté par : Dalila BEICHA Et réalisé sous la direction de : Pr. Youcef KHELFAOUI & Dr. Toufik KANIT Spécialité : Matériaux pour l’Ingénierie Mécanique 02 Mars 2017

Contexte Utilisation grandissante des matériaux composites UD (aéronautique, automobile, …) Importance des matériaux composites à fibres : fibres longues, fibres courtes, … Avantages : aptitude à être conçus à la carte, masses volumiques très faibles matrice renfort Objectif : Etude comparative des deux microstructures hexagonal périodique et aléatoire dans le cas d'un composite biphasé élastique unidirectionnel, constitués d'une matrice renforcée ou assouplie par des fibres cylindriques, isotrope dans le plan transverse. Comparaison directe entre les deux microstructures et d'approches analytiques Problématique : Impossible de déterminer les propriétés d’un matériau hétérogène aléatoire Fort enchevêtrement des hétérogénéités description incomplète et complexe de la microstructure. Exploitation de la périodicité de la structure

Plan de la présentation Introduction Analyse morphologique Résultats de simulation Conclusions et perspectives

Plan de la présentation Introduction Analyse morphologique Résultats de simulation Conclusions et perspectives Introduction

Opération d’homogénéisation Homogénéisation Matériaux Homogène Équivalent (MHE) ? Matériau hétérogène Réel Opération d’homogénéisation MHE Virtuel VER (Volume Élémentaire Représentatif) ? d << l << L Propriétés Effectives l MHE VER L Échelle microscopique Léné (1984), Benhamida (1989) : VER milieu périodique  une cellule élémentaire de l’arrangement périodique Échelle macroscopique Introduction

Types de conditions aux limites (Besson et al. (2001), Bornert et al Types de conditions aux limites (Besson et al. (2001), Bornert et al. (2001), Kanit et al. (2003) ) : Conditions aux limites périodiques (PBC) Conditions homogène au contour (KUBC) Expression mathématique Kanit et al. (2003) Pour les conditions KUBC et PBC Estimations des propriétés homogénéisées établies avec PBC sont moins sensibles à la taille du volume statistique que leurs contreparties issues des KUBC. & KUBC surestiment le comportement équivalent utilisation des volumes significatifs PBC convergence rapide du comportement équivalent Introduction

Loi de la morphologie mathématique Matheron (1971) et Lantuejoul (1991) : Coefficient de compressibilité : Coefficient de cisaillement : D2(V) : Variance calculée par les réalisations A : Portée intégrale V : Volume du matériau hétérogène A dépend de la taille des grains dans une microstructure de mosaïque de Voronoi A  est un paramètre morphologique égale au volume d’une inclusion dans le VER déterministe : A est un paramètre morphologique ne dépend pas de V Kanit et al. (2003) El Moumen et al. (2013) Jeulin (2012) Introduction

Plan de la présentation Introduction Analyse morphologique Résultats de simulation Conclusions Analyse Morphologique

Exemple de Maillage en 2D : Description microstructurale des matériaux étudiés Microstructure hexagonale périodique Choix d’une cellule de base : périodicité + taille minimale Définit le milieu par translation le long de trois vecteurs Michel et al. (2001) Propriétés effectives indépendantes de son choix (non unicité de son choix) Forme hexagonale induit une propriété d'isotropie transverse Léné (1984) L Pmax= 0,9068 Rf Rf =h 2h 2h 3 3’ 1 1’ 2 2’ x3 Exemple de Maillage en 2D : méthode de triangulation de Delaunay x2 CN de périodicité Analyse Morphologique

Description microstructurale des matériaux étudiés Microstructure aléatoire Traitement des milieux aléatoires ≠ des milieux périodiques Bornert et al. (2001) Conditions PBC appliquées sous réserve de définir une cellule de base au moins égale à VESR Forest et al. (2006) : avec PBC sur cellules de taille croissante  convergence plus rapide des propriétés qu’avec KUBC Détermination du VER selon méthodologie de Kanit et al. (2003) Calculs suivants : c = 100 ; P = 51% Réalisations du VE pour différents N : sans interconnexion ni contact Zoom Taille N Réalisations 50 100 40 200 20 300 15 400 9 500 3 N = 50 N = 100 N = 200 Exemple de Maillage en 2D : méthode des éléments Multi- Phasés Lipmmanen et al. (1997) Analyse Morphologique N = 300 N = 400 N = 500

Description microstructurale des matériaux étudiés Microstructure aléatoire L’expression Ath proposée par Kanit et al. (2003) : NVER Ath Afit k 50 µ 0,010 2 0.001 100 0,005 1 0.00055 200 0,002 55 0.0005 0.00046 300 0,001 7 0.016 0.018 400 0,001 275 0.019 0.020 500 0,001 02 0,001 014 0,001 01 Analyse Morphologique

Description microstructurale des matériaux étudiés Convergence globale des propriétés transverses : densité de maillage Différentes résolutions de maillages (9 configurations) Microstructure contenant 500 fibres Calculs suivants : CN périodique ; c = 100 ; P = 70% Maillage utilisé : 19 000 ddl Maillage utilisé : 400 000 ddl Maillages plus fins conduisent à des précisions meilleurs que 0,1% pour k* et 0,5% pour µ* Calculs réalisés avec des paramètres de maillage correspondant à une précision de moins de 0,1% Analyse Morphologique

Plan de la présentation Introduction Analyse morphologique Résultats de simulation Conclusions et perspectives Résultats de Simulation

Estimation des propriétés effectives Cas n°1 – Composite à fibres longues à matrice renforcée (Ef = 200 000 MPa) Paramètres des phases Hypothèses Chargement transversal sur les deux VERs Fibres : cylindres circulaires de même taille Composite homogène dans le sens macroscopique Matériaux constitutifs sont homogènes et isotropes microscopique Liaison parfaite entre la fibre et la matrice Soumis aux Conditions PBC Champ uniforme de déformation : & Résultats de Simulation

Résultats de Simulation Cas n°1 – Composite à fibres longues à matrice renforcée (Ef = 200 000 MPa) c = 10 c = 100 c = 200 000 Partie de l’énergie de déformation due aux inclusions qui intersectent le bord de la cellule carrée devient très élevée dans le cas où PBC sont directement appliquées aux fibres rigides propriétés effectives des RAND surestiment l’influence des CN limites sur le comportement effectif Dans l’état actuel : modèles ne prétendent nullement prévoir efficacement l’orientation des fibres Évolution du module de compressibilité effectif en fonction de la fraction volumique P Résultats de Simulation

Résultats de Simulation Cas n°1 – Composite à fibres longues à matrice renforcée (Ef = 200 000 MPa) c = 10 c = 100 c = 200 000 Évolution du module de cisaillement effectif en fonction de la fraction volumique P Des conclusions identiques s’imposent pour le module effectif de cisaillement transverses Résultats de Simulation

Résultats de Simulation Cas n°1 – Composite à fibres longues à matrice renforcée (Ef = 200 000 MPa) P = 10 % P = 50 % P = 80 % P ≤ 50% : matériau limite de l'arrangement hexagonal se comporte comme la plus grande des bornes de HSZ Pour P > 50% : écart relatif atteint 32% avec HSZ et 46% avec GSC P = 85 % Dès P = 10% : microstructure aléatoire diverge rapidement, écart relatif 5% Différence entre HEXA et RAND sensible au contraste entre phases Propriétés largement influencées par P Évolution du module de cisaillement effectif normalisé en fonction du contraste Résultats de Simulation

Estimation des propriétés effectives Cas n°2 – Composite à fibres longues à matrice rigide (Em = 200 000 MPa) Paramètres des phases Résultats de Simulation

Résultats de Simulation Cas n°2 – Composite à fibres longues à matrice rigide (Em = 200 000 MPa) c = 10-1 c = 10-2 c = 5.10-6 Hervé-Zaoui plus appropriée pour obtenir k* pour HEX et RAND même dans les situations de forte P et de fort contraste (écart relatif moyen moins de 4%) Évolution du module de compressibilité effectif en fonction de la fraction volumique P Résultats de Simulation

Résultats de Simulation Cas n°2 – Composite à fibres longues à matrice rigide (Em = 200 000 MPa) c = 10-2 c = 10-1 Meilleur encadrement pour hex est fournie par HS+ Estimation de gsc est une bonne candidate pour la configuration aléatoire (écart relatif ≤ 1,5%) Ecart sur le cas de µ difficile à justifier c = 5.10-6 Évolution du module de cisaillement effectif en fonction de la fraction volumique P Résultats de Simulation

Résultats de Simulation Cas n°3 – Matériaux composite poreux (Ef ≈ 0 ) Paramètres des phases Mêmes tendances que celles observées dans le cas des composites assouplis Évolution du module de cisaillement effectif en fonction de la fraction volumique P Évolution du module de compressibilité effectif en fonction de la fraction volumique P Résultats de Simulation

Les matériaux étudiés ne sont pas Etude locale des champs de contraintes Soumis aux Conditions PBC Paramètres des phases & P = 50% Au sein HEXA : contraintes max sont projetées sur l’axe, dans le sens des fibres voisins bonne prise en compte des hétérogénéités locales HEXA Au sein RAND : forts écarts sur les contraintes projetées sur 4 directions Forts écarts dus à l’imbrication des phases qui induit des sollicitations locales complexes RAND225 σ11 σ22 Les matériaux étudiés ne sont pas Les mêmes en principe Cartes Comparatives de la répartition du champ de contraintes locales σ11 et σ22 Résultats de Simulation

Résultats de Simulation Etude locale des champs de contraintes Vérification sur un cas test RAND225 HEXA19/RAND206 HEXA91/RAND134 224 inclusions aléatoire autour de l’inclusion centrale 18 fibres centrées autour de l’inclusion central suivant un arrangement HEX dans la cellule de 206 fibres aléatoires 90 fibres centrées autour de l’inclusion central suivant un arrangement HEX dans la cellule de 134 fibres aléatoires Résultats de Simulation

Résultats de Simulation Etude locale des champs de contraintes Cartes Comparatives de la répartition du champ de contraintes locales σ11 et σ22 HEXA19/RAND206 Fibres régulières réparties aléatoirement sont plus hétérogènes que celui du milieu périodique Irrégularités de distribution entre phases induisent des sollicitations locales complexes et variable HEXA91/RAND134 σ11 σ22 Modèle périodique, loin du caractère aléatoire véritable, n’est toutefois pas réaliste pour représenter véritablement un milieu unidirectionnel renforcé par des fibres Résultats de Simulation

Plan de la présentation Introduction Analyse morphologique Résultats de simulation Conclusions et perspectives Conclusions et Perspectives

Conclusions et Perspectives En homogénéisation à fort contraste parfait : À plus fort contraste, les estimations diffèrent notablement lorsque le contraste entre les phases augmente Modèles ne font jamais appel qu'à une seule cellule élémentaire et ignore ainsi les variations potentielles de la forme et de l'orientation des renforts, mais aussi de la concentration ou de la connectivité locales, d'un domaine de phase à l'autre. La microstructure hexagonale n'est guère représentative de microstructures réelles, très loin du caractère aléatoire véritable La prédictibilité des modèles analytiques est faible notamment pour les forts taux de fibres et dans le cas critique d'un contraste infini entre les phases Composites à matrice rigide et pour les milieux poreux isotrope transverse : Les estimations sont en bon accord avec les simulations numériques des deux configurations étudiées pour toute les valeurs de P Deux poursuites de ce travail sont possibles : Etude de l'influence de la forme de chaque matériau dans les deux configurations Etude de propriétés effectives de comportements plus complexes Conclusions et Perspectives

Merci de votre attention !! D. BEICHA 02 Mars 2017

Influence de la morphologie des phases sur le comportement mécanique des matériaux hétérogènes Travail de thèse présenté par : Dalila BEICHA Et réalisé sous la direction de : Pr. Youcef KHELFAOUI & Dr. Toufik KANIT Spécialité : Matériaux pour l’Ingénierie Mécanique 02 Mars 2017

Principe de St Venant « Les contraintes (et déformations) dans une section droite éloignée des points d’application d’un système de forces ne dépendent que de la résultante et du moment résultant (au centre de gravité de la section) associés à ce système de forces » Conséquence : Les résultats de la RDM sont valables loin des points d’application des forces. Quel que soit la nature d’un système de force, seul le torseur résultant au centre de gravité de la section détermine l’état de celle-ci. En pratique : On considère qu’au-delà de 2-3 fois de la plus grande dimension transverse, résultats valables.

Contrairement aux matériaux métalliques par exemple, la défaillance des MC est en général très progressive, et le contrôle des structures peut alors se faire par des inspections espacées, entraînant une réduction des coûts de maintenance.

Disposition des renforts Les fibres longues peuvent être disposées suivant une seule direction de manière libre dans le matériau ou dans un plan ; dans ce cas, elles sont généralement tissées suivant une armure toile avec une trame légère, on obtient un composite unidirectionnel. Lorsqu’elles sont courtes, elles sont en général orientées de manière aléatoire. Des travaux BOUSTINGORRY (2002) rapportent que cette dernière disposition induit une perte d’efficacité en terme d’effet du renforcement du composite.

Vous allez aussi trouver des renforts appelé Unidirectionnels (UD) Vous allez aussi trouver des renforts appelé Unidirectionnels (UD). Ceux-ci peuvent aussi également être tissés (mais aussi cousu ou tricoté), mais seule une direction (la chaine) est en fibre de renfort. La trame (le fil à 90° dans la largeur) n’a pour fonction que de maintenir les fils de renforts en place, et n’ont pas pour vocation à renforcer la structure. Ces renforts sont très utiles, et permettent d’exploiter au mieux les propriétés des composites en tenant compte la non isotropie possible du composite.

Image TEM d'une réplique carbonée de SBA-15 synthétisée à partir de sucrose et montrant l'arrangement hexagonal de pores cylindriques (largeur de l'image 100nm)