En mécanique, …………………………………………………………… ……………………………………………………………………………. Dans un système mécanique, les différentes pièces sont liées entre elles de différentes manières (voir cours sur les liaisons élémentaires). Cela signifie que chaque constituant du mécanisme est en équilibre sous l’action des forces qu’il reçoit des autres constituants du système (forces extérieures). Le but de la statique sera d’isoler la pièce à étudier, de faire l’inventaire des contacts que la pièce a avec le milieu extérieur (avec les autres constituants du système mécanique). A chaque contact sera associée une action (force). Le poids de la pièce pourra, dans la majeure partie des cas, être négligé car faible par rapport à l’intensité des forces qui s’exercent sur elle.

Appliquons cela à un exemple précis Soit l’échelle de pompier ci dessous : Nous voulons étudier l’équilibre du vérin (4+5)

Le vérin 4+5 sera donc soumis à 2 actions (forces extérieures) Il suffit d’isoler le vérin 4+5 et de faire l’inventaire des contacts avec le milieu extérieur (poids négligé) Le vérin 4+5 est en relation avec le milieu extérieur au niveau des points : ………………………………………… ……………………………………….. Le vérin 4+5 sera donc soumis à 2 actions (forces extérieures) Seulement, pour représenter ces forces, nous avons besoin d’un outil :

Rappels sur les vecteurs ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Un vecteur se représente de la manière suivante

Les caractéristiques d’un vecteur Un vecteur se caractérise par : *…………………………………………………. * …………………………………………………………………………….. * …………………………………………. * …………………………………………………………………………….

Nous distinguons deux types de vecteurs : * vecteur glissant ou glisseur est un vecteur dont le point d’application peut se situer à différents endroits sur la droite d’action. Ces vecteurs seront utilisés en statique * vecteur lié ou pointeur est un vecteur ayant un point d’application précis. Ces vecteurs seront utilisés en cinématique. Les vecteurs sont des « êtres mathématiques » qui obéissent à certaines règles. Addition Pour additionner A et B, je dois translater B à l’extrémité de A en respectant sa direction et son intensité. A B A …………………………………………..

Lorsque les vecteurs sont parallèles : A + B = R A B Bien sûr, la technique d’addition est valable pour un nombre de vecteurs > à 2 R Soustraction Pour soustraire 2 vecteurs (ou plus), nous additionnons le premier avec l’opposé du deuxième. B A A

L’addition des vecteurs est commutative Commutativité L’addition des vecteurs est commutative Soient 2 vecteurs A et B A B Faisons la sommes B + A Faisons la sommes A + B B R A A R B

L’addition des vecteurs est associative Associativité L’addition des vecteurs est associative Soient 3 vecteurs A, B et C A B C B B A A C = C ………………………………. ………………………… B A C = …………………………….

Coordonnées cartésiennes d’un vecteur

Forces et vecteurs forces En mécanique, les forces sont utilisées pour schématiser des actions. Ces forces seront représentées par des vecteurs. Exemple : L’action exercée par le câble 2 sur le support 1 sera schématisée par le vecteur force A2/1 Point d’application : point A Direction : celle du câble Sens : A vers I (le câble tire sur le support) Intensité : 1000 daN

L’action du câble sur le support peut être décomposée en deux forces * une suivant l’axe x * une suivant l’axe y

Moments et couples Les effets d’une force sur un solide dépendent de la position de cette force par rapport au corps. Pour cela on utilise la notion de moments. Soit le solide 1 Soit un point A appartenant au solide 1 Soit une force F s’exerçant sur le solide 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. F 1 Remarques : La distance d est toujours la distance la plus petite entre le point et la direction de la force (d perpendiculaire à la direction de F). A 

Convention de signe Si F fait tourner le solide 1 autour du point A dans le sens trigonométrique (sens anti-horaire), le moment est ………… Si F fait tourner le solide 1 autour du point A dans le sens inverse (sens horaire), le moment est …………. 1 A  F 1 A  F

Théorème de Varignon.

Statique plane Principe fondamental Un solide indéformable en équilibre sous l’action de forces extérieures reste en équilibre si : * La somme vectorielle de toutes ces forces extérieures est nulle (résultante nulle) F2 F1 F3 F3 F1 F2

* La somme des moments des forces extérieures en n’importe quel point du solide est nulle ………………………………………………. En statique plane, la notion de moment scalaire ou algébrique est suffisante pour résoudre les problèmes (forces coplanaires).

Principe des actions mutuelles Soit la bille 1 en repos sur le plan 0 1  A La bille 1 est en contact avec le sol 0 au point A J’isole la bille 1, je fais le bilan des contacts que la bille a avec le milieu extérieur. La bille 1 est en contact avec le sol au point A. Il y a donc, à ce point, une action du sol sur la bille. Je le note A0/1. Cette action aura les caractéristiques suivantes : Point d’application :……………………………………………….. ……………………………………………………………………. 1 Direction : ………………………………………………………… Sens : …………………………………………………………  A

J’isole le sol 0 je fais le bilan des contacts que le sol a avec le milieu extérieur.  A La sol 0 est en contact avec la bille au point A. Il y a donc, à ce point, une action de la bille sur le sol. Je le note A1/0. Cette action aura les caractéristiques suivantes : Point d’application : point A (mais peu d’importance car nous sommes en présence de glisseurs) Direction : perpendiculaire au plan de contact Sens : …………………………………………………………. Intensité : ……………………………………………………..  A

Les différents types d’actions mécaniques Définition : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Les différents types d’actions mécaniques Action mécanique à distance: le poids P (en N) Point d’application : le centre de gravité Direction : la verticale passant par le centre de gravité Sens : vers le bas Intensité : mg (avec m, la masse en kilogrammes et g l’accélération de la pesanteur en m/s2) En général, g = 9,81m/s2 Actions mécaniques de contact. Effort de contact concentré en 1 point (théorique). C’est l’exemple de la bille sur un plan A 1 Lorsqu’on isole 1, l’effort de contact est schématisé par le vecteur A0/1, perpendiculaire au plan et passant par le centre de gravité de la bille  A0/1 A

Effort de contact réparti sur une ligne Cylindre reposant sur une surface plane R A B L’action de contact de la surface plane sur le cylindre peut se représenter par une infinité de petites forces élémentaires p uniformément réparties s’exerçant sur la ligne de contact AB. Par simplification, ces efforts peuvent être remplacés par une résultante R au milieu de AB

R Effort de contact réparti sur une surface Cube reposant sur une surface plane L’action de contact de la surface plane sur le cube peut se représenter par une infinité de petites forces élémentaires p uniformément réparties s’exerçant sur la surface de contact. Par simplification, ces efforts peuvent être remplacés par une résultante R située au centre.

Cas d’un solide soumis à l’action de 2 forces extérieures Nous venons de voir que, dans le cas de contacts précis (ponctuel, linéaire, surfacique), nous sommes en mesure de déterminer la direction des actions d’un solide sur un autre solide. Par contre, en présence d’autres types de contacts (articulations), nous ne pouvons définir correctement la direction de l’action. On dit qu’il y a indétermination. Dans les exercices que nous aurons à traiter, nous serons en présence de solides soumis à 2 ou 3 forces extérieures. Cas d’un solide soumis à l’action de 2 forces extérieures …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Exemple. La pièce 1 dessinée ci dessous fait partie d’un système mécanique. Après l’avoir isolée et avoir fait le bilan des contacts que cette pièce a avec le milieu extérieur , nous constatons que cette dernière est en relation avec d’autres pièces aux points A et B. La pièce 1 sera donc soumise à deux actions extérieures (poids négligé). Ces deux forces (Aext/1 et Bext/1) auront même direction, même intensité mais des sens opposés. Dans notre exemple, le sens est choisi arbitrairement. A B 1 …………………………

La somme des forces extérieures est nulle. Cas d’un solide soumis à l’action de 3 forces extérieures 1er cas ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… F2 F1 A F3 F1 F3 F2 I Le concours des forces au même point permet que la somme des moments des forces/à n’importe quel point du solide (par exemple A), soit nulle. MAFext/1 = 0 La somme des forces extérieures est nulle. (Résultante nulle) Fext/1 = 0

2ème cas ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… F1 F2 F3 A F1 F2 F3 Il s’agit ici d’un cas particulier dans lequel les efforts F1 et F2 sont de même intensité et donc à égale distance de part et d’autre de la direction de F3 (exemple de la balançoire).

Techniques pour résoudre un problème de statique plane En règle générale, les exercices proposés et les sujets d’examen sont détaillés et vous proposent une démarche. De ce fait, vous n’avez pas besoin de chercher quel élément isoler en premier, et vous ne risquez pas de tomber dans une impasse (impossibilité de résoudre). Lorsque vous avez à traiter un problème dans lequel vous retrouvez des solides soumis à 2 forces ou 3 forces parallèles, il n’y a pas trop de problèmes. Par contre, avec trois forces concourantes, vous devez (la méthode étant graphique) apporter le plus grand soin dans la réalisation de la somme des forces (dynamique). Voici quelques conseils.

Point de la direction de F3 Supposons un solide soumis à l’action de trois forces dont deux ont des directions concourantes. Nous connaissons totalement F1 en direction, en sens et en intensité. Par contre, nous ne connaissons que la direction de F2 et nous ignorons totalement les caractéristiques de F3 sauf un point de sa direction (point de contact avec un solide extérieur). F1 Direction de F2 Point de la direction de F3 En appliquant le théorème des forces concourantes, je peux placer la direction de F3 Maintenant, en utilisant une règle et une équerre, je peux construire ma somme de forces. Je place mon équerre sur la direction de F1 et je place ma règle.

F1 Je translate mon équerre le long de la règle et je trace une parallèle à la direction de F1 

 F1 F1 Je trace le vecteur force F1 en respectant son intensité Je place mon équerre sur la direction de F2 et je la translate le long de ma règle jusqu’à l’extrémité du vecteur F1 F1 Je trace une direction parallèle à la direction de F2

Je procède de la même manière avec la direction de F3 pour fermer mon dynamique (résultante nulle) Fext = 0 F1 F1 

La somme des forces n’est pas nulle Avec cette méthode, je trouve automatiquement le sens des efforts F2 et F3. F1 Si je veux que mon dynamique soit fermé, il n’y a pas d’ambiguïté par rapport au sens des efforts. Une seule solution est possible. F2 F3 F3 F1 F2 Dans ce cas, j’ai choisi un sens pour F2 qui ne me permet pas de fermer le dynamique. La somme des forces n’est pas nulle

Avec cette méthode , et en choisissant une échelle, je trouve automatiquement l’intensité des efforts F2 et F3. F1 F2 F3 F1 = 20daN (cette intensité est représentée par 7,5cm) F2 à une longueur de 5cm. F2 = ………………. F3 à une longueur de 8cm. F3 = ……………….

Bien sûr, nous pouvons, à l’extrémité de F1, tracer la direction de F3 et fermer le dynamique avec F2. . Dans ce cas, les résultats sont identiques en ce qui concerne les caractéristiques des 3 vecteurs. Nous avons l’autre partie du parallélogramme. F1 F3 F2 F2 F3