de deux équations linéaires Systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com Définition : Un système nom du système (facultatif ) 3x + 2y = 31 7x – 4y = 3 1ère équation ( S ) 2ème équation 1ère inconnue 2ème inconnue Cette accolade signifie « et ». Elle indique que les équations doivent être vérifiées simultanément Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, cela revient à trouver deux valeurs qui vérifient les deux équations simultanément. Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com 3x + 2y = 31 7x – 4y = 3 ( S ) Cherchons la solution de ce système. 1er cas, si x = 7 et y = 5 alors dans la 1ère équation : 3x + 2y = 3 x 7 + 2 x 5 = 31 dans la 2ème équation : 7x – 4y = 7 x 7 – 4 x 5 = 29 Conclusion : Si x = 7 et y = 5 alors les deux équations ne sont pas vérifiées simultanément. On dit que ( 7 ; 5 ) n’est pas une solution de ce système. Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com 3x + 2y = 31 7x – 4y = 3 ( S ) 2ème cas, si x = 5 et y = 8 alors dans la 1ère équation : 3x + 2y = 3 x 5 + 2 x 8 = 31 dans la 2ème équation : 7x – 4y = 7 x 5 – 4 x 8 = 3 Conclusion : Si x = 5 et y = 8 alors les deux équations sont vérifiées simultanément. On dit que ( 5 ; 8 ) est une solution de ce système. On note S = { ( 5 ; 8 ) } Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com Deux méthodes pour résoudre un système : La méthode par substitution : Substituer c’est remplacer. Le but est d’isoler une inconnue dans une des deux équations et de la remplacer dans l’autre pour obtenir une équation avec une seule inconnue. Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com Exemple : 8x + y = 86 3x – 7y = 47 ( S ) On isole y y = 86 – 8x 3x – 7y = 47 On remplace y par 86 – 8x y = 86 – 8x 3x – 7 ( 86 – 8x ) ? = 47 On résout l’équation. y = 86 – 8x 3x – 602 + 56x = 47 Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com y = 86 – 8x 59x = 47 + 602 y = 86 – 8x 59x = 649 y = 86 – 8x x = y = 86 – 8x 3x – 602 + 56x = 47 649 59 Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com y = 86 – 8x x = 11 Maintenant je remplace x par 11 dans la 1ère équation. y = 86 – 8 x 11 x = 11 y = 86 – 8x x = 649 59 y = – 2 x = 11 Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com Ainsi x = 11 et y = – 2. La solution de ce système est le couple ( 11 ; – 2 ) S = { ( 11 ; – 2 ) } 8x + y = 86 3x – 7y = 47 Vérifions : ( S ) 8 x 11+ ( – 2 ) = 86 3 x 11 – 7 x ( – 2 ) = 47 Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com La méthode par combinaisons linéaires : Résoudre un système par combinaisons linéaires, c’est additionner ou soustraire des multiples des deux équations afin de faire disparaître une des deux inconnues. Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com Exemple : 2x + 9y = 25 3x – 7y = – 24 ( 1 ) ( D ) ( 2 ) 6x + 27y = 75 ( 1 ) x 3 – 6x + 14y = 48 ( 2 ) x ( – 2 ) + + 41y = 123 123 Ainsi y = 41 y = 3 Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com Maintenant je remplace y par 3 dans l’équation ( 1 ) : 2x + 9y = 25 ( 1 ) 2x + 9 x 3 = 25 2x + 27 = 25 2x = 25 – 27 2x = – 2 – 2 x = y = 3 x = – 1 2 Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com Ainsi x = – 1 et y = 3 La solution de ce système est le couple ( – 1 ; 3 ) S = { ( − 1 ; 3 ) } Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com Un système particulier : y = 15 – 2x y = x + 4 ( 1 ) ( E ) ( 2 ) Ici on résout : 15 – 2x = x + 4 11 On obtient x = 3 11 Puis on remplace x par dans une équation. 3 23 On obtient y = 3 Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com Résoudre un problème avec un système : Quand un problème comporte plusieurs inconnues il est parfois possible de le résoudre avec un système. Pour le traiter il faut respecter 4 étapes ( comme pour une équation ) Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d’entrée est de 16 DT pour les adultes. Les enfants paient demi-tarif. Sachant que la recette est de 6960 DT, on demande de trouver le nombre d’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. 1ère étape : On choisit les inconnues J’appelle x le nombre d’adultes et y le nombre d’enfants qui ont assisté au spectacle. Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com 2ème étape : On mettre le problème en deux équations 550 personnes ont assisté à un spectacle x + y =550 Les enfants paient demi-tarif : donc 8 DT par enfant, L’ensemble des y enfants a payé 8y ? 16x + 8y = 6960 L’ensemble des x adultes a payé 16x ? Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d’entrée est de 16 DT pour les adultes. Les enfants paient demi-tarif. Sachant que la recette est de 6960 DT, on demande de trouver le nombre d’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. 2ème étape : je trouve les deux équations qui correspondent au problème Donc x + y =550 ( S ) 16x + 8y = 6960 Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com 3ème étape : On résoudre le système x + y = 550 ( 1 ) 16x + 8y = 6960 ( 2 ) −16x − 16y = − 8800 ( 1 ) x ( – 16 ) 16x + 8y = 6960 ( 2 ) – 1840 donc y = = 230 0 – 8y = – 1840 – 8 Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com Maintenant je remplace y par 230 dans l’équation ( 1 ) : x + y = 550 x + 230 = 550 x = 550 – 230 x = 320 Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

On vérifie le résultat obtenu 4ème étape : Conclusion 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle. On vérifie le résultat obtenu Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

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