Autres LOIS de PROBABILITES Professeur Pascale FRIANT-MICHEL > Faculté de Pharmacie Pascale.Friant@univ-lorraine.fr

I - INTRODUCTION > II - LOI du x2 (1) Les autres LOIS de PROBABILITES I - INTRODUCTION > II - LOI du x2 (1) Grand nombre de lois de probabilités - Etude de trois lois très utilisées dans les tests statistiques de formulation connue mais complexe => seules leurs principales caractéristiques seront données II – LOI du c2 (lettre grecque : khi, on dit : loi du khi deux) Permet, en particulier, de comparer des distributions 1. Définition Soient X1, X2, . . . Xn, n lois normales centrées réduites N (0, 1) indépendantes Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

b) distribution de c2 continue II - LOI du c2 (2) Définition (2) La loi de c2 à n degrés de liberté est la loi de la variable aléatoire somme : c2 n = + + . . . + Remarque : c2 à 1 degré de liberté est le carré d’une variable normale centrée réduite 2. Propriétés a) c2   0, + ∞  b) distribution de c2 continue c) représentation graphique de la loi de c2 . courbe en cloche unimodale asymétrique avec étalement vers la droite (pour les faibles valeurs de n) . famille de courbes de c2 suivant le nombre n de degrés de liberté Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

. La loi de c2 tend vers la loi normale centrée réduite quand n ∞ II - LOI du c2 (3) 2. Propriétés (2) c2 n = 15 P (c2) 10 20 30 n = 1 0,05 0,15 0,10 n = 4 . La loi de c2 tend vers la loi normale centrée réduite quand n ∞ Les deux lois deviennent quasiment identiques quand n > 30 d) En pratique : tables de la distribution de c2 tables établies par PEARSON Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

3. Table du c2 (la plus utilisée) II - LOI du c2 (4) 3. Table du c2 (la plus utilisée) . donne, en fonction du nombre de degrés de liberté, les valeurs limites c2a du c2 correspondant au coefficient de risque a c2 P (c2) c2a a . table à double entrée (du fait de la dépendance en n) La valeur de a est lue en ligne, celle de n en colonne, la valeur recherchée c2a se situant à l’intersection Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

Exemple : pour n = 8 et a = 0,05 a 0,99 . . . 0,05 0,010 n 1 3,841 . 8 II - LOI du c2 (5) 3. Table du c2 (2) Exemple : pour n = 8 et a = 0,05 a 0,99 . . . 0,05 0,010 n 1 3,841 . 8 ? 30 Dans les tests statistiques, on utilise souvent comme seuil de risque : a = 5 % soit pour n = 8 c25% = 15,51 a = 1 % " c21% = 20,09 Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

II - LOI du c2 (6) > III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (1) 3. Table du c2 (3) Remarques : - pour toute la 1ère ligne, les valeurs sont celles du carré de la variable normale centrée réduite t - la table s’arrête pour n = 30, au-delà on prend l’approximation de la loi normale et on utilise la table de t III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER Permet, en particulier, de comparer les moyennes d’échantillons 1. Définition La loi de STUDENT notée ts à n degrés de liberté est le quotient d’une loi normale centrée réduite N (0, 1) par la racine carrée d’une loi du khi2 à n degrés de liberté divisée par n ; les deux lois étant indépendantes t s = Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (2) 2. Propriétés a) t s   - ∞, + ∞ [ b) représentation graphique de la loi de STUDENT . courbe en cloche symétrique, plus aplatie que la courbe de Gauss (courbe hyper-normale) t courbe normale courbe hyper-normale P (t) . d’autant plus aplatie que n est plus petit Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (3) 2. Propriétés (2) . famille de distributions de t s suivant le nombre n de degrés de liberté t s n = 40 n = 3 n = 10 P (t s) . La loi de STUDENT tend vers la loi normale centrée réduite quand n ∞ Les deux lois deviennent quasiment identiques quand n > 30 Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (4) 2. Propriétés (3) c) En pratique : tables de la variable t s 3. Table de la variable de STUDENT-FISHER (la plus utilisée) . similaire à celle de l’écart-réduit (loi normale) - t s t s a / 2 . table à double entrée (du fait de la dépendance en n) La valeur de a est lue en ligne, celle de n en colonne, la valeur recherchée t s se situant à l’intersection Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (5) 3. Table de la variable de STUDENT-FISHER (2) Exemple : pour n = 10 et a = 0,05 a 0,90 . . . 0,05 0,001 n 1 . 10 ? 120 ∞ 0,126 1,960 3,291 Dans les tests statistiques, on utilise souvent comme seuil de risque : a = 5 % soit t s = 2,228 (t = 1,96 pour loi normale) a = 1 % t s = 3,169 (t = 2,58 " ) Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (1) Permet, en particulier, de comparer les variances d’échantillons 1. Définition Soient c2 n1 et c2 n2 deux lois indépendantes du c2 à n1 et n2 degrés de liberté respectivement La loi de SNEDECOR à n1 et n2 degrés de liberté notée Fn1,n2 (en hommage à Fisher) est définie comme le quotient : Fn1,n2 = 2. Propriétés a) F   0, + ∞  b) attention : Fn1,n2 ≠ Fn2,n1 Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (2) 2. Propriétés (2) Remarque : quand on échange les degrés de liberté, on démontre que l’on transforme le calcul de la probabilité par le calcul de son complémentaire c) représentation graphique de la loi de SNEDECOR . dépendance avec les deux degrés de liberté n1 et n2 => famille de courbes de SNEDECOR . courbes en cloche unimodale asymétrique avec étalement vers la droite F P (F) (n1, n2) = (2, 5) (n1, n2) = (10, 10) (n1, n2) = (5, 2) Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (3) 2. Propriétés (3) d) En pratique : tables de la distribution de F 3. Table de SNEDECOR . similaire à celle de c2 F P (F) Fa a . table à triple entrée (du fait de la double dépendance en degrés de liberté) => une table par valeur de a . pour chaque a, table à double entrée (n1 et n2) La valeur de n1 est lue en ligne, celle de n2 en colonne, la valeur recherchée Fa se situant à l’intersection Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (4) 3. Table de SNEDECOR (2) Exemple : pour a = 0,05, n1 = 20 et n2 = 10 Reportons-nous à la table a = 5% n1 1 . . . 20 ∞ n2 . 10 ? 100 3,84 1,57 1,00 Soit F20,10 = 2,77 Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL

IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (5) 3. Table de SNEDECOR (3) Quand les valeurs ne sont pas dans les tables, on procède par interpolation Chapitre - Autres Lois de Probabilités P. FRIANT-MICHEL