Interacadémiques lycées professionnels PARIS – 2 avril 2009 L’articulation statistique-probabilités dans les programmes de mathématiques de la voie professionnelle Interacadémiques lycées professionnels PARIS – 2 avril 2009 philippe.dutarte@ac-creteil.fr

Le parti pris des programmes de la voie professionnelle est celui d’une introduction progressive du formalisme du calcul des probabilités, fondée sur l’expérimentation statistique.

« De façon apparemment paradoxale, l'accumulation d'événements au hasard aboutit à une répartition parfaitement prévisible des résultats possibles. Le hasard n'est capricieux qu'au coup par coup. » M. SERRES et N. FAROUKI, « Le Trésor » - article loi des grands nombres.  

Seconde professionnelle Expérimenter la « loi des grands nombres », du point de vue des fluctuations (à taille d’échantillon fixée) et des probabilités (lorsque la taille de l’échantillon augmente).

Fluctuations d’une fréquence L’étude des fluctuations d’une fréquence développe l’esprit critique du citoyen et du professionnel face à des résultats statistiques. Échantillon de taille n = 10 Fréquence des rouges f = 0,7 Fréquence des rouges dans la population p = 0,6

Expérimenter, d’abord à l’aide de pièces, de dés ou d’urnes, puis à l’aide d’une simulation informatique, la prise d’échantillons aléatoires de taille n fixée, extraits d’une population où la fréquence p d’un caractère est connue.

Avec une pièce de monnaie Problème Suite aux élections de 2008, parmi les 20 mairies d’arrondissement à Paris, 5 maires sont des femmes et 15 des hommes. Peut-on considérer que cette répartition est uniquement due au hasard ? Avec une pièce de monnaie On peut observer si le hasard est une explication « raisonnable » en lançant 20 fois une pièce de monnaie. Avec le tableur On augmente le nombre d’expériences. 20 pile face.xls

Faire preuve d’esprit critique face à une situation aléatoire simple Faire preuve d’esprit critique face à une situation aléatoire simple. (Fluctuations)

Exercice (PISA) Pour déterminer la cote de popularité d’un candidat en vue d’une élection, trois journaux ont mené leur propre sondage dont voici les résultats : * journal 1 : 37,5 % (sondage effectué sur un échantillon de 500 citoyens ayant le droit de vote, tirés au hasard) ; * journal 2 : 41,5 % (sondage effectué sur un échantillon de 1 000 citoyens ayant le droit de vote, tirés au hasard) ; * journal 3 : 45 % (sondage effectué sur 1 000 lecteurs qui ont appelé la rédaction pour voter). À quel journal peut-on le plus se fier pour prévoir le taux d’opinions favorables à ce candidat, si l’élection avait lieu le jour du sondage ?

Problème (d’après G. Charpak et H Problème (d’après G. Charpak et H. Broch, « Devenez sorcier, devenez savant »). Un « sourcier » prétend posséder des pouvoirs lui permettant de détecter la présence d’eau à l’aide d’une baguette en bois. On met en place un dispositif permettant de tester les prétendus pouvoirs du sourcier. Cinq canalisations sont masquées dont une seule contient (aléatoirement) de l’eau. Le soucier doit désigner la canalisation contenant de l’eau. 1. Si le sourcier répond « au hasard », quelle probabilité p a-t-il de répondre correctement ?

Effectuer des simulations, puis répondre aux questions suivantes. 2. Comme le sourcier ne prétend pas être infaillible, on fera 30 fois l’expérience. Si le sourcier répond au hasard, nous serons en présence d’un échantillon aléatoire de réponses, de taille 30, extrait d’une population où la fréquence de bonnes réponses est 0,2. Effectuer des simulations, puis répondre aux questions suivantes. a. Est-il rare, en répondant au hasard, d’obtenir au moins 25 % de bonnes réponses ? b. Peut-on, en répondant au hasard, obtenir 40 % de bonnes réponses ? Si oui, est-ce rare ? 3. Le sourcier, sur les 30 expériences pratiquées, a obtenu 9 bonnes réponses. Doit-on penser qu’il possède un don ? Justifier. Essais sourcier.xls

Probabilités La compréhension de la notion mathématique de probabilité favorise une attitude rationnelle dans un environnement incertain (évaluation des risques, prise de décision). On augmente la taille n de l’échantillon (prélevé avec remise) Fréquence des rouges dans la population p inconnue p ? …

Obtenir la probabilité d’un événement dans le cas d’une situation aléatoire simple.

Exercice Annie aime les bonbons rouges. Le sachet A contient 14 bonbons rouges et 6 bonbons jaunes. Le sachet B contient 6 bonbons rouges et 2 bonbons jaunes. Les sachets sont opaques et Annie ne peut prendre qu’un bonbon au hasard. Dans quel sachet la probabilité de prendre un bonbon rouge est la plus grande ?

Évaluer la probabilité d’un événement à partir des fréquences (stabilisation relative des fréquences vers la probabilité de l’événement quand n augmente).

Problème Un professeur construit un Q.C.M. de 20 questions indépendantes, proposant 3 réponses possibles à chaque question, une seule réponse étant exacte. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 10 bonnes réponses, en répondant au hasard ? QCM 20 questions.xls

Faire preuve d’esprit critique face à une situation aléatoire simple Faire preuve d’esprit critique face à une situation aléatoire simple. (Probabilités)

Exercice (PISA) Au loto, des boules numérotées sont tirées au hasard chaque semaine. Un journal publie les numéros gagnants de la semaine précédente, ainsi qu’une liste des numéros qui ne sont pas sortis depuis longtemps. Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. A – Les informations publiées ne sont d’aucune utilité car toutes les combinaisons ont la même probabilité de sortie. B – Les numéros de la semaine précédente ont davantage de chances de sortir car ils sont « chauds ». C – Les numéros de la semaine précédente ont moins de chances de sortir car il est peu probable qu’un numéro sorte deux fois de suite. D – Les numéros qui ne sont plus sortis depuis longtemps ont davantage de chances de sortir.

Problème (D’après É. Janvresse et T Problème (D’après É. Janvresse et T. de la Rue, « La loi des séries, hasard ou fatalité ? ») En août 2005, on a dénombré cinq accidents aériens graves en l’espace de 22 jours (les 2, 6, 14, 16 et 23 août). On parle alors d’une « inquiétante série noire ». Un modèle aléatoire simple permet de relativiser le caractère prétendument exceptionnel de cette « série ». On possède la statistique suivante : de 1995 à 2004, on compte 376 accidents aériens d’importance. Montrer que cela correspond à une moyenne d’environ 0,1 accident par jour.

2. On considère une roulette dont le secteur rouge correspond à 10 % de la surface. Chacun des 365 jours d’une année, on fait tourner la roulette et on s’intéresse à la probabilité que celle-ci s’arrête au moins 5 fois sur le secteur rouge durant une période quelconque de 22 jours. Effectuer plusieurs simulations. D’après vos observations, cette probabilité :  est inférieure à 0,01 ;  est inférieure à 0,10 ;  est comprise entre 0,10 et 0,80 ;  est supérieure à 0,80. 3. Doit-on considérer la série des 5 accidents de 2005 comme « extraordinaire » ? Serie noire.xls

Première professionnelle Quantifier la « loi des grands nombres » en mesurant les fluctuations en termes de probabilités.

Calculer le pourcentage des échantillons de taille n simulés, pour lesquels la fréquence relative au caractère étudié appartient à l’intervalle donné [ p – 1/rac(n) ; p + 1/rac(n) ] et comparer à une probabilité de 0,95.

Problème Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type « grains ponctuels sur le capot ». Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20% de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 50 véhicules, on observe 25% de défauts. Faut-il s’inquiéter ? carte de controle.xls

Exercer un regard critique sur des données statistiques en s’appuyant sur la « variabilité naturelle » : la probabilité que la fréquence f d’un échantillon de taille n se situe dans l’intervalle [p – 1/rac(n) ; p + 1/rac(n)] est supérieure à 0,95.

Problème Une enquête a été menée dans la ville d’Ufa (Russie) auprès de personnes ayant été exposées à des pesticides contenant de la dioxine, dans une usine agrochimique, active de 1961 à 1988. 1. À Ufa, comme ailleurs, il naît habituellement 105 garçons pour 100 filles, « en moyenne ». Quelle est la fréquence p des garçons qui correspond à ces valeurs ? 2. Les personnes exposées ont donné naissance à 227 enfants. Simuler le prélèvement aléatoire d’échantillons de taille 227 dans une population d’enfants où la fréquence des garçons est 0,512. Observer la fréquence f des garçons sur les échantillons de taille 227. Pesticides Ufa.xls

3. a. Parmi les 227 enfants des personnes exposées aux pesticides à Ufa, 91 sont des garçons et 136 sont des filles. Quelle est, dans ce cas, la fréquence des garçons ? b. La fréquence obtenue à la question précédente est-elle inquiétante ? Justifier. Pesticides Ufa.xls

Terminale professionnelle Pratiquer, en situation, le formalisme du calcul des probabilités.

Passer du langage probabiliste au langage courant et réciproquement * Passer du langage probabiliste au langage courant et réciproquement. * Utiliser arbres, tableaux, diagrammes, pour organiser et dénombrer. * Utiliser les notations et les formules : ; .

Problème On considère un certain type de composant électronique dont la probabilité de défaillance durant la période de garantie est 0,125. On recherche la probabilité de défaillance, durant la période de garantie, d’un système composé de deux composants de ce type, montés, soit en série, soit en parallèle.

Une situation aléatoire connue : On lance deux dés octaédriques équilibrés, un rouge et un bleu. On note A l’événement « le dé rouge tombe sur la face 8 ». On note B l’événement « le dé bleu tombe sur la face 8 ». Déterminer puis . Estimation par simulation : Calcul : Univers formé de 64 cas équiprobables. = 1/64 = 0,015625 soit environ 1,6 %. = 1/8 + 1/8 – 1/64 = 15/64 = 0,234375 soit environ 23,4 %. Retour au problème initial des montages en série ou en parallèle. 1 2 3 4 5 6 7 8 . Serie-parallele.xls

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