Relations entre les nombres ordonnent et décomposent ÉNONCÉ 2 Relations entre les nombres Reconnaître des liens entre les nombres afin de mieux en saisir le sens. 16, 17 et 18 ont chacun 1 dizaine. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 7 + 5 = 10 + 2 Présenter le 2e énoncé de la Grande idée 1. Au cycle primaire, les élèves se servent d’une variété d’outils et de stratégies pour découvrir les relations entre les nombres; par exemple : trouver des caractéristiques communes à certains nombres à l’aide de la grille de 100; utiliser 5 et 10 comme points d’ancrage à l’aide du cadre à dix-case; utiliser la droite numérique pour situer et pour comparer des nombres. Au cycle primaire : les élèves comparent, ordonnent et décomposent les nombres. 1

Relations entre les nombres ÉNONCÉ 2 Relations entre les nombres Relation entre les valeurs de position Relation d’inégalité Relation d’égalité Relation de proportionnalité Relations multiplicatives et de divisibilité Au cycle moyen : les élèves doivent jouer avec les nombres. Les élèves au cycle moyen doivent manipuler, décomposer et regrouper des nombres pour découvrir les relations qui existent entre eux. Il n’est pas question de chercher à faire en sorte que les élèves reconnaissent toutes les relations entre les nombres dans une situation donnée, l’accent doit plutôt être mis sur l’habileté à repérer les relations les plus pertinentes qui leur permettront de traiter efficacement ces nombres en contexte. Par exemple, si on compare le salaire d’un enseignant à celui d’un joueur de hockey, on regarde la valeur de position et on peut constater qu’il manque quelques chiffres dans le tableau! Cet exemple illustre également une relation d’inégalité. 2

« TRUCS » ÉNONCÉ 2 C’est facile, quand on multiplie par 10, on doit tout simplement ajouter un 0! 49 x 10 = 490 Avec les élèves, il faut éviter de s’attarder aux « trucs », à la terminologie et aux définitions. Par exemple, au lieu de dire aux élèves que tous les nombres naturels ayant le chiffre 0, 2, 4, 6 ou 8 dans la position des unités sont des nombres pairs, donc sont divisibles par deux, on peut proposer des activités où les élèves vérifient eux-mêmes la divisibilité des nombres. Les élèves pourront tirer cette conclusion dans le contexte d’activités pertinentes. On ne peut pas tout simplement enseigner des « trucs ». On doit faire des activités qui favorisent la compréhension conceptuelle. Lorsque l’élève peut se représenter mentalement une quantité, il comprend plus facilement les relations entre les nombres. Si les élèves n’ont pas un bon sens du nombre, ils ne pourront pas comprendre les relations entre les chiffres. 3

Relations entre les nombres ÉNONCÉ 2 Relations entre les nombres La valeur de n’importe quelle position dans un nombre est toujours 10 fois plus grande que la valeur de la position immédiatement à droite. La valeur de n’importe quelle position dans un nombre est toujours 10 fois plus petite que la valeur de la position immédiatement à gauche. x 10 ÷ 10 Les relations de valeur de position jouent un rôle important lorsque vient le temps de faire des estimations, des arrondissements ou des décompositions. De plus, elles sont à la base de la multiplication et de la division par un multiple de 10. Dans le document sur les nombres naturels, il y a une section qui s’intitule « Établir des liens » où l’on trouve des activités qui permettent de créer des liens entre les différents concepts, entre les différents domaines et avec la vie quotidienne. L’activité « Et ensuite? » permet aux élèves de mieux comprendre les valeurs de position et les relations qui les lient. Nous allons jouer à un jeu qui permettra de consolider ces apprentissages. millions unités de million milliers centaines de mille dizaines de mille unités de mille unités centaines dizaines 4

Les uns gardent, les autres rejettent! Jouons! Les uns gardent, les autres rejettent! Les élèves au cycle moyen doivent manipuler, décomposer et regrouper des nombres pour découvrir les relations qui existent entre eux. Jeu: « Les uns gardent, les autres rejettent! » Pour les directives, voir: Les mathématiques… un peu, beaucoup, à la folie! 5e année, module 1, série 1, mini-leçon 4, p. 104 à 106. Montrer les cartes une à la fois. Les participants inscrivent les chiffres sur le plateau de jeu qui leur a été remis, au fur et à mesure que les cartes apparaissent. Le but du jeu est de former le plus grand nombre à 5 chiffres. Activité tirée du document « Les mathématiques…un peu, beaucoup, à la folie! » Numération et sens du nombre 5e année, module 1, p. 104 à 106. 5

Relations entre les nombres ÉNONCÉ 2 Relations entre les nombres Relation entre les valeurs de position Relation d’inégalité Relation d’égalité Relation de proportionnalité Relations multiplicatives et de divisibilité Il y a une relation de proportionnalité entre deux quantités lorsque ces quantités peuvent augmenter ou diminuer simultanément selon le même facteur. Le raisonnement proportionnel se développe tout au long de l’apprentissage des mathématiques. Au cycle primaire, les élèves utiliseront l’addition répétée. Plus tard, ils utiliseront la multiplication. Au cycle moyen, les relations de proportionnalité portent sur la reconnaissance et sur la description de la relation multiplicative dans diverses situations de résolution de problèmes et à l’aide de matériel concret et de divers modèles (table de valeurs, droite numérique double, illustrations, etc.) 6

Relations entre les nombres Relation de proportionnalité ÉNONCÉ 2 Relations entre les nombres Relation de proportionnalité Abdala achète des viandes froides en vue de faire des sandwichs pour le pique-nique de l’école. Chaque kilogramme de viande coûte 12 $ et permet de préparer 10 sandwichs. Quel sera le coût de la viande nécessaire à la préparation de 25 sandwichs? Il y a une relation de proportionnalité entre deux quantités lorsque ces quantités peuvent augmenter ou diminuer simultanément selon le même facteur. Le raisonnement proportionnel se développe tout au long de l’apprentissage des mathématiques. Au cycle primaire, les élèves utiliseront l’addition répétée. Plus tard, ils utiliseront la multiplication. Au cycle moyen, les relations de proportionnalité portent sur la reconnaissance et sur la description de la relation multiplicative dans diverses situations de résolution de problèmes et à l’aide de matériel concret et de divers modèles (table de valeurs, droite numérique, illustrations, etc.) Présenter la situation aux participants et aux participantes et leur demander de résoudre le problème sur du papier brouillon. Demander à un participant d’expliquer sa démarche, tout en l’écrivant devant le groupe. Intention pédagogique : partir d’un contexte réaliste afin de présenter un concept (relation de proportionnalité). 7

Relations entre les nombres ÉNONCÉ 2 Relations entre les nombres 7 000 = 5 000 + 2 000 7 000 = 6 000 + 1 000 7 000 = 5 500 + 1 500 Relation entre les valeurs de position Relation d’inégalité Relation d’égalité Relation de proportionnalité Relations multiplicatives et de divisibilité On établit des relations d’égalité pour comparer des nombres, pour calculer, pour faire un calcul mental ou pour estimer, comme dans l’exemple ci-haut, c’est plus facile de faire un calcul mental Il est important de faire beaucoup d’égalités pour développer le sens du nombre avec de grands nombres pour que les élèves puissent se servir des nombres de manière efficace et souple dans un calcul. Donner l’exemple suivant: 7000+5 500 6 500 + 500 + 5 500 6 500+6000 12 500 Les relations d’égalité permettent d’établir l’équivalence entre diverses représentations d’une même quantité. 8

Il y a 6 923 enseignantes et enseignants réguliers dans les écoles de langue française de l’Ontario. Combien d’entre eux sont des femmes? Matériel : - grande grille de 10 000 (Les mathématiques…un peu, beaucoup, à la folie! NSN 4e ou 5e année) - grille de 10 000 (1 feuille par participant) - stylos-feutres à encre sèche non permanente (couleurs variées) Présenter le problème aux participants. Demander aux participants d’estimer le nombre d’enseignantes régulières dans les écoles de langue française. Faire ressortir qu’ils se sont basés sur des connaissances antérieures, sur le fait qu’ils savent qu’il y a plus de femmes que d’hommes qui enseignent. Faire apparaître le nombre. Demander aux participants de représenter ce nombre sur la grille de 10 000. Inviter quelques participants à présenter leurs représentations sur la grille grand format. Modéliser sur une feuille grand format les différentes représentations des participants avec une égalité ou une droite numérique. En situation de résolution de problèmes, les élèves doivent apprendre à choisir la représentation la plus appropriée au contexte et à l’intention. (Donner un exemple, décomposer le nombre pour faire un calcul : 8 + 3 = 8 + 2 + 1) C’est en représentant les nombres de différentes façons que les élèves arriveront à construire leurs algorithmes personnels. Il est important de toujours commencer avec des représentations concrètes puis d’aller vers l’abstrait. 9

Représentation des nombres ÉNONCÉ 3 Représentation des nombres Passer d’une représentation d’un nombre à une autre permet de mieux comprendre les nombres naturels. 10 10

Représentation des nombres ÉNONCÉ 3 ÉNONCÉ 2 Représentation des nombres CONTEXTE en mots CONTEXTE concret symbolique On fait un lien entre l’énoncé 2 et l’énoncé 3. On présente toujours un nouveau concept dans un contexte réel et significatif pour que les élèves puissent d’abord se créer des représentations à l’aide de mots, puis des représentations concrètes et semi-concrètes et enfin, symboliques. Les élèves doivent être en mesure d’établir des liens entre les représentations et de passer aisément d’une représentation à l’autre. Mots : Il n’est pas rare de voir des élèves qui éprouvent de la difficulté à nommer des nombres à la fin du cycle primaire et au début du cycle moyen. Également, il y a des élèves qui peuvent nommer les nombres sans avoir le sens de la quantité qui est représentée par le symbole numérique. Établir des liens entre le système de numération à base dix et la façon de lire et d’écrire les nombres: par exemple, trente signifie trois dizaines; quarante signifie quatre dizaines. Autres liens : par exemple, soixante-dix signifie 60 + 10; quatre-vingts signifie 4 x 20. Concret : Matériel : matériel à base dix, cubes emboîtables Mise en garde : le matériel de manipulation est une représentation d’un concept mathématique, et non le concept lui-même (par exemple, comme un dessin d’un arbre, le dessin n’est pas un arbre, c’est une représentation de l’arbre. La planchette n’est pas une centaine, elle représente une centaine de petits cubes.) Il est important de s’assurer que les élèves apprennent en utilisant le matériel, qu’ils ne l’utilisent pas aveuglément. Pour ce faire, on questionne l’élève. On lui demande d’expliquer de différentes façons ce qui est représenté. Variété : Parfois, un matériel de manipulation est plus abstrait qu’un autre (par exemple, l’abaque). Il faut s’assurer de commencer avec le matériel plus concret. Semi-concret : Matériel : grille de nombre, droite numérique Mise en garde : le matériel de manipulation est une représentation d’un concept mathématique, et non le concept lui-même (par exemple, la planchette n’est pas une centaine, elle représente une centaine.) Variété : certains matériels sont plus abstraits que d’autres (par exemple, l’abaque). Symbolique : Une stratégie favorisant l’association du nombre à la quantité qu’il représente consiste à le nommer en mettant l’accent sur la valeur de position de chacun des chiffres qui le compose. Au lieu de lire le nombre 1 260 en disant mille deux cent soixante, les élèves peuvent dire 1 unité de mille, 2 centaines et 6 dizaines. Cependant lorsqu’on décompose, il n’est pas toujours nécessaire de décomposer selon la valeur de position. L’écriture des grands nombres nécessite une bonne maîtrise du concept de la valeur de position. Elle nécessite aussi une compréhension du rôle du zéro pour indiquer l’absence d’une quantité dans une des positions. Les élèves doivent comprendre ce que le mot représente ex: 1 000 000 correspond à 100 groupes de 10 000, l’élève doit le voir ou voir une autre représentation. semi-concret CONTEXTE CONTEXTE 11

Il y a 6 923 enseignantes et enseignants réguliers dans les écoles de langue française de l’Ontario. Si 5 208 d’entre eux sont des femmes, combien y a-t-il d’hommes? Grande idée 2 Activité d’équipe : Estimez la réponse à ce problème Seul(e) ou en dyades, trouvez le nombre d’enseignants réguliers à l’aide d’algorithmes personnels. Soyez prêts à présenter votre travail! Durée : 5 minutes Demander aux participants d’estimer la réponse du calcul et indiquer la région estimée sur une droite numérique. Cette activité touche à la grande idée 2. Matériel : Feuilles grand format Stylos-feutres Feuilles brouillon Leur demander de s’adonner à l’activité et inviter certains d’entre eux à présenter leur travail. Établir les liens avec différentes représentations (avec des mots, des représentations concrètes, avec une égalité, etc.). 12

Graffiti des opérations Matériel : - 4 feuilles grand format avec étiquettes des 4 opérations - stylos-feutres (au moins 4) AVANT : Préparer 4 feuilles à grand format avec les titres suivants : addition, soustraction, multiplication et division Indiquer les mots-clés de chaque énoncé de la grande idée 2 sur chaque feuille : quantité, relations et représentations et les afficher au mur. Doubler les affiches selon les nombres, afin que chaque équipe comprenne environ 5 participants. Mettre les participants en contexte en leur demandant d’aller se placer en groupes égaux devant chaque affiche. Leur demander ce qu’ils ont fait avec les participants qui restaient après avoir divisé le grand groupe en nombres égaux. Y revenir plus tard lorsqu’on parlera des restes dans l’après-midi. Expliquer l’activité du graffiti aux participants: En équipes (1 équipe par affiche) les participants écrivent ce qu’ils connaissent du sujet indiqué sur la grande feuille. Après 1 minute, l’animateur donne le signal pour que les équipes circulent et se dirigent vers l’affiche suivante. Lorsque les équipes auront écrit sur chacune des affiches, l’activité se termine par un retour rapide quant à ce qui est écrit sur les grandes feuilles. Donner quelques exemples pour chaque énoncé. Même si le titre de chaque feuille n’est qu’une opération, on parle des opérations en tenant compte qu’on enseigne par la résolution de problèmes ainsi que des messages clés de ce matin (p. ex., les nombres en contexte). 13

Le sens des opérations Grande idée 2 14 Faire un retour sur les graffitis et l’intention pédagogique. Le sens des opérations combine la maîtrise d’une multitude de concepts et d’habiletés mathématiques reliée aux nombres et aux opérations. Les élèves qui ont un sens des opérations développé : comprennent les opérations et l’effet qu’elles ont sur les divers nombres; établissent des liens entre les propriétés des opérations; reconnaissent que les opérations sont reliées entre elles; développent des stratégies de calcul; peuvent adapter ces stratégies à différentes situations et exprimer la relation entre le contexte d’un problème et les calculs effectués; expliquent pourquoi ils ont choisi d’effectuer leur calcul mentalement; justifient l’efficacité de leur stratégie. 14

GRANDE IDÉE 2 Sens des opérations Au cycle primaire : Au cycle moyen : traiter divers types de problèmes; saisir des concepts liés aux diverses opérations; développer des stratégies pour effectuer les opérations. Au cycle moyen : traiter des nombres dans des situations plus complexes; connaître le lien entre les opérations de base; étendre leur sens des opérations aux fractions et aux nombres décimaux. Au cycle primaire, les élèves ont développé un sens des opérations en traitant divers types de problèmes. Ces expériences leur ont permis de saisir des concepts liés aux diverses opérations (lien entre l’addition répétée et la multiplication) et de développer des stratégies pour effectuer les opérations. Au cycle moyen, les élèves poussent plus loin leurs sens des opérations en traitant des nombres dans des situations plus complexes. Ils développent graduellement divers sens associés à chaque opération de base et le lien entre les opérations (la soustraction est l’inverse de l’addition). 15

Quantité dans les opérations ÉNONCÉ 1 Comprendre les opérations permet d’en reconnaître l’effet sur les quantités. L’apprentissage des opérations doit davantage être orienté vers : la compréhension des opérations; l’exploration du calcul mental; l’utilisation de diverses stratégies pour effectuer les opérations. Lire la diapositive. 16

Quantité dans les opérations ÉNONCÉ 1 Au cycle primaire : traiter divers types de problèmes; comprendre les relations entre les quantités lors de l’addition et de la soustraction; acquérir les concepts de multiplication et de division. Au cycle primaire, les élèves ont eu l’occasion de traiter divers types de problèmes, ce qui les a aidés à comprendre les relations entre les quantités lors de l’addition et de la soustraction. Ils ont également été initiés aux concepts de multiplication et de division. 17

Quantité dans les opérations ÉNONCÉ 1 apprentissage des opérations fondamentales en situation de résolution de problèmes; nature des opérations fondamentales; exploration de problèmes écrits relatifs aux opérations fondamentales; faits numériques de base relatifs aux opérations fondamentales; effet des opérations; estimer le résultat d’une opération. Apprentissage des opérations fondamentales Pour développer des stratégies efficaces chez les élèves, l’enseignante ou l’enseignant doit leur fournir une variété de problèmes, divers types de problèmes et permettre aux élèves d’échanger sur leurs stratégies. Message clé : Un problème bien choisi et l’application d’une stratégie réfléchie sont plus profitables qu’une série d’exercices complétés mécaniquement. Il faut ainsi allouer le temps nécessaire qui permettra aux élèves de comprendre et de consolider les stratégies. Il faut que les enseignants passent beaucoup plus de temps à faire comprendre et non à faire des pages d’exercices. 2. Rôle des enseignants L’enseignante ou l’enseignant oriente la discussion lors de l’échange mathématique en ayant recours à des stratégies qu’ont utilisées des élèves pour amorcer la compréhension de concepts mathématiques précis et pour diriger la progression des élèves vers des méthodes efficaces. Le rôle des enseignants est alors d’aider les élèves à organiser leurs traces. L’étayage par l’enseignante ou l’enseignant permet aux élèves de comprendre les concepts sous-jacents associés aux diverses opérations (p. ex., regroupement dans la multiplication). L’échange permet de présenter de nouvelles stratégies. On peut modeler des stratégies en s’assurant de verbaliser le raisonnement qui s’y rattache. Tout au long du cycle moyen, il est important de présenter une variété de situations de résolution de problèmes, même si les élèves ont maîtrisé plusieurs stratégies pour effectuer les diverses opérations. L’algorithme usuel peut être présenté en s’assurant que les élèves comprennent les concepts sous-jacents et les raisons des gestes posés. Ils doivent être perçus comme étant seulement une autre façon d’effectuer les opérations. Nature des opérations AVEC LES NOMBRES NATURELS Dans les opérations de base, il y a des liens complexes entre les trois nombres : L’addition : Deux quantités sont réunies. Dans l’addition, la somme est donc plus élevée que les deux termes, sauf lorsque l’un des termes est le nombre zéro. La soustraction : On enlève une quantité d’une autre. On cherche la différence des deux nombres. Le premier terme doit donc être plus grand que le second. La multiplication : Les deux facteurs ne jouent pas le même rôle. Le premier facteur représente le nombre de groupes et le deuxième facteur représente deux éléments dans chaque groupe. La division : Une quantité est séparée en groupes égaux. (Voir la section Nature des opérations fondamentales) Effet des opérations Chaque opération produit un effet sur des quantités en cause. Suivre l’effet des opérations sur les nombres permet aux élèves d’établir les liens entre les opérations et d’anticiper le résultat d’une opération. Une mise en garde: il faut faire preuve de prudence lorsqu’on généralise, car les opérations sur les nombres décimaux ou les fractions peuvent avoir des effets différents que celles sur les nombres naturels. Dans certains cas, l’effet peut même être l’inverse. À déconseiller : « Truc » de l’apparition du zéro lorsqu’on multiplie par 10, tel que vu ce matin. Plutôt : Dire en mots les opérations (p. ex., 5 x 20 peut être considéré comme 5 x 2 dizaines qui me donne 10 dizaines.) L’élève peut alors mieux comprendre l’apparition (ou la disparition) des chiffres « 0 » dans les opérations. 18

Quantité dans les opérations ÉNONCÉ 1 L’exploration de problèmes écrits relatifs aux opérations fondamentales : Addition et soustraction problèmes d’ajout problèmes de retrait problèmes de réunion problèmes de comparaison Demander aux participants d’écrire un problème qui porte sur l’addition et la soustraction. Matériel à préparer Annexes des types de problèmes relatifs aux quatre opérations NOTES D’ANIMATION Lors de la résolution de problèmes, les élèves doivent : analyser le problème; choisir une stratégie; appliquer la stratégie. Le rôle de l’enseignante ou de l’enseignant est d’aider les élèves dans leur analyse et dans leur compréhension des opérations. Types de problèmes Se référer à l’annexe remise aux participants sur les différents types de problèmes. Addition et soustraction : ne sont que des opérations qui surviennent dans des problèmes. Il faut éviter de parler de « problèmes de soustraction » ou de « problèmes d’addition », car c’est la compréhension de la situation, ainsi que la compréhension des opérations qui font que l’on choisit une stratégie de résolution de problèmes à adopter, en l’occurrence le choix de l’addition ou de la soustraction. Les problèmes d’ajout et de retrait sont des situations actives car la quantité augmente ou diminue. Les problèmes de réunion supposent une situation statique car aucune action ou aucun changement ne se produit. Ils sont plus abstraits et plus difficiles à comprendre. Les problèmes de comparaison traitent de la relation entre deux quantités en les opposant, une comparaison d’une quantité à une autre. Faire un partage des problèmes qu’ils ont écrits et les classer ensemble dans une des catégories. 19

Quantité dans les opérations ÉNONCÉ 1 L’exploration de problèmes écrits relatifs aux opérations fondamentales : Multiplication et division Problèmes de groupes égaux Problèmes de comparaison Problèmes de combinaison Matériel à préparer Se référer à l’annexe remise aux participants sur les différents types de problèmes de multiplication et division. Annexe Divers traitements du reste Types de problèmes (suite) Multiplication et division : La multiplication représente le résultat du rassemblement d’objets à partir de groupes égaux. La division représente la répartition d’objets en groupes égaux. Il y a trois types de quantités qui entrent en jeu, soit la quantité totale, le nombre de groupes égaux et la taille de chaque groupe. Au début de l’apprentissage de la multiplication, les élèves reconnaissent que la situation présente « plusieurs fois » une même quantité et ils utilisent des groupes égaux pour représenter la situation et l’addition répétée pour obtenir la réponse. Les élèves viennent à établir et à saisir le lien entre le mot « fois » et le symbole « x », étape cruciale dans le développement de la compréhension de la multiplication. On associe trop souvent la division à un sens de partage, lorsque la quantité totale et le nombre de groupes sont connus. Le sens « groupement » est habituellement négligé. La division a un sens de groupement lorsque la quantité totale et le nombre d’éléments dans chaque groupe (taille du groupe) sont connus. Il est essentiel de traiter les deux types de problèmes. Le concept du reste : Dans l’enseignement traditionnel, le reste n’est qu’un nombre qui paraît dans la recette de division (p. ex., 123 ÷ 5 = 24 reste 3). Cependant, lorsque l’opération surgit d’un contexte, le reste doit être traité afin de pouvoir répondre adéquatement aux problèmes. Le tableau dans l’annexe qui porte sur les restes présente plusieurs façons de traiter le reste. Les élèves devraient avoir l’occasion de résoudre de problèmes où ils doivent traiter du reste. Message clé : Il n’est pas nécessaire que les élèves connaissent le nom des types de problèmes, mais il est essentiel qu’ils aient l’occasion d’en résoudre une variété de types. Dire aux participants de choisir un type de problème et de rédiger ce type de problème et faire un partage. Il n’est pas nécessaire que les élèves connaissent le nom des types de problèmes, mais il est essentiel qu’ils aient l’occasion d’en résoudre une variété de types. 20

Quantité dans les opérations ÉNONCÉ 1 Modules en ligne www.atelier.on.ca Apprentissage des opérations fondamentales – messages-clés: Il vaut mieux investir son temps à montrer des stratégies de rappel pour les faits numériques de base que de faire des feuilles d’exercice et des tests chronométrés qui ne profitent souvent qu’aux élèves déjà performants. Si on donne des feuilles d’exercice en devoir, il vaut mieux cibler une stratégie à travailler, comme par exemple, les doubles. L’apprentissage des faits numériques de base relatifs aux opérations fondamentales Des explications sur les stratégies d’apprentissage et d’enseignement pour l’apprentissage des faits numériques de base ainsi que des activités et des jeux sont proposés dans Opérations fondamentales du Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 6e année, fascicule 5 (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2006) ainsi que dans le module Opérations fondamentales, du site www.atelier.on.ca. Se rendre au site www.atelier.on.ca et explorer brièvement les éléments suivants : cliquer sur Opérations fondamentales; cliquer sur Table des matières à droite; cliquer sur Stratégies de rappel sous multiplication; cliquer sur une des stratégies à présenter. 21

Résolution de problèmes La salle de théâtre La troupe de théâtre souhaite louer la salle dont nous avons estimé le nombre de sièges ce matin. Elle voudrait y présenter sa pièce de théâtre. Elle prévoit un budget de 22 230 $ pour l’ensemble des dépenses reliées à cette présentation (p. ex., location de salle, éclairage, programme). Si le directeur de la troupe retient sa suggestion de fixer le prix d’un billet à 19,75 $ et que tous les billets sont vendus, est-ce que la troupe fera un profit? Si oui, quel sera-t-il environ? Sinon, quel sera le déficit? Matériel nécessaire : Une copie de cette diapositive pour chaque participante et participant. Afficher cette diapositive et permettre aux participants et aux participantes de la lire. Leur expliquer qu’ils vont résoudre la deuxième partie du problème qu’ils ont commencé ce matin. Intention pédagogique de l’activité : Développer le sens des grands nombres dans un contexte réel; Appliquer des stratégies d’estimation et de calcul; Vérifier la vraisemblance du résultat d’un calcul; Établir un lien entre l’arrondissement et l’estimation. Notre intention pédagogique : faire voir une résolution de problèmes vécue dans une salle de classe; réfléchir sur le rôle de l’enseignant et sur le questionnement. 22

Résolution de problèmes La salle de théâtre Matériel nécessaire : Annexe: feuille de route pour les participants « Avant, pendant, après » N.B. : La mise en train de cette situation d’apprentissage a été débutée la journée précédente (la partie que nous avons vécue en matinée). Visionner le vidéoclip (environ 1 minute) et demander aux participants de partager leurs observations par rapport à ce que fait l’enseignant et ce que font les élèves. Demander aux participants et aux participantes de résoudre le problème. Avant : la mise en train 23

Résolution de problèmes La salle de théâtre Matériel nécessaire : Annexe : feuille de route pour les participants « Avant, pendant, après ». Visionner le vidéoclip (environ 2 minutes et 30 secondes) tout en demandant aux participants de noter leurs observations par rapport à ce que fait l’enseignant et ce que font les élèves. Discuter de leurs observations. Pendant : l’exploration 24

Résolution de problèmes l’échange mathématique La salle de théâtre Après : l’échange mathématique Présenter la prochaine diapositive qui nous montre l’échange mathématique. 25

Résolution de problèmes La salle de théâtre Matériel nécessaire: Annexe : feuille de route pour les participants « Avant, pendant, après ». Visionner le vidéoclip (environ 11 minutes) tout en demandant aux participants de noter leurs observations par rapport à ce que fait l’enseignant et ce que font les élèves. Discuter de leurs observations. Messages-clés : L’échange mathématique est un moment où l’élève présente et défend sa réflexion ou sa démarche. L’échange mathématique se prépare. Il faut allouer du temps à l’élève afin de préparer son échange. Il y a une préparation physique et mentale de la présentation qui va amener les élèves à discuter et à réfléchir. L’échange mathématique permet une amélioration non seulement de la compréhension conceptuelle mais aussi de tout le processus de la pensée. Si on ne peut pas expliquer, on ne comprend pas. Il demeure la responsabilité de l’enseignante ou de l’enseignant de gérer le groupe classe lors de l’échange mathématique. Une étape importante de l’échange est de questionner l’élève ou l’équipe qui présente sa démarche et même de demander à un autre élève d’expliquer ce que l’équipe vient de dire. Ceci favorise la vérification de la compréhension de tous les élèves et la création d’une communauté d’apprenants. Ce partage et cette discussion coordonnés permettent aux élèves d’entendre et d’analyser la façon dont raisonnent leurs camarades. Les élèves apprennent à discerner les similarités et les différences entre les mathématiques, les méthodes et les stratégies inhérentes aux solutions proposées par leurs camarades. Ces discernements incitent les élèves à faire le lien entre leurs propres idées mathématiques et celles de leurs camarades, ainsi qu’à comprendre les diverses notions de mathématiques. En proposant des problèmes stimulants, les élèves développent et renforcent leur compréhension de l’objectif d’apprentissage de la leçon, ce qui leur permet de faire le lien avec les connaissances et expériences déjà acquises et de faire des généralisations. Les conclusions que l’enseignante ou l’enseignant tire de cette discussion dirigeront l’orientation des prochaines leçons ou activités. Nous voyons dans le vidéoclip que l’enseignant ne s’arrête pas à la présentation des stratégies : - il va chercher les concepts mathématiques; - il retourne au but pédagogique de la leçon; - il boucle la situation d’apprentissage; - il retourne au contexte du problème; - il fait ressortir les concepts : l’estimation d’une quantité et l’estimation du résultat d’une opération. Les élèves ne sont pas nécessairement habiletés à participer à des échanges mais ils développent l’habileté en le vivant. Il faut commencer avec de petits échanges. Les élèves que vous voyez ont vécu des échanges depuis le début de l’année puisque l’enseignant a participé à une mise à l’essai avec Les mathématiques…un peu, beaucoup, à la folie, où il a reçu des journées de formation sur les concepts et les échanges mathématiques. Il ne faut donc pas se décourager si on voit qu’au début, les élèves ne sont pas très habiles, ils le deviendront avec le temps. 26

Pause 15 minutes 27