Voyage vers l’infiniment fractale Hélène Carlier, Alice Rouvez, Pierre Duflot, Hessam Iranmanesh, Guillaume Rossillon

Plan de la présentation Introduction Caractéristiques de fractales Les mathématiques des fractales L’ensemble de Mandelbrot Dimension fractale Les math-fractales

La découverte des fractales Ensemble de Julia Gaston Julia

Ensemble de Mandelbrot Ensemble de Mandelbrot Benoît Mandelbrot

Les caractéristiques des fractales Principe d’itération Principe d’autosimilarité Les dimensions fractales

Principe d’itérations

Flocon de Von Koch

Principe d’autosimilarité

Dimension fractale Eponge de Menger- Sierpinski Triangle de Sierpinski

Les fractales dans la nature Corps Humain Yeux Battements du cœur Intestins Poumons

Les fractales dans la nature Corps Humain Plantes Fougères Choux-Fleurs

Les mathématiques des fractales Aires, périmètres et volumes des fractales L’ensemble de Mandelbrot et le chaos La dimension fractale

Un carré un peu spécial

L’aire Coté 1er carré = 1 ‫A₀=1 A₁ = 1 + 4. ¼ A₂ = 1 + 4. ¼+ 4. 3. 1/16 A₃ = 1 + 4. ¼+ 4. 3. 1/16 + 4.3.3.1/64 … An= 1+4. (30. (¼)1+31.( ¼ )2+…+3n-1.( ¼ )n) An = 1+ 4/3. ((3/4)1+ (3/4)2+…+ (3/4)n ) An= 1+4. (1- (¾)n ) lim An = 1+4. (1-0)= 5 n -> ∞

Le périmètre Un périmètre infini pour une aire finie P0= 4 … Pn= 4+4. ((3/2)0 + (3/2)1 + (3/2)2 +…+ (3/2)n-1) lim Pn= 4+ 8. ((3/2)∞ -1)= ∞ Un périmètre infini pour une aire finie n -> ∞

L’éponge de Menger/Sierpinski

Le volume Vn= (20/27)n lim Vn=0 V0= 1 V1= 1. 20/27 Chaque étape enlève 7 cubes sur les 27 de base Côté du 1er cube= 1 V0= 1 V1= 1. 20/27 V2= 20/27. 20/27= (20/27)2 Vn= (20/27)n lim Vn=0 n -> ∞

L’aire An+1= 8/9. An+ 24/9. (20/9)n An= Cn. (1/9)n ↔ Cn= An. 9n Cn+1= Cn. 8 +24. 20n  An+1=Cn+1. (1/9)n+1 An+1= (Cn. 8 +24.20n). (1/9)n+1 An+1= ((An. 9n). 8 +24.20n). (1/9)n+1 An+1= 8/9. An+ 24/9. (20/9)n Etape n Nombre de carrés: Cn Aire Etape 0 6= C0 A0= 6 Etape 1 6. 8+1. 4. 6= 72= C1 A1= 72. (1/3)2= 72/9= 8 Etape 2 72. 8+ 20. 4. 6= 1056= C2 A2= 1056. (1/9)2= 13.037 Etape 3 1056. 8+ 202. 4.6= 18048= C3 A3= 18048. (1/9)3= 24.76 Etape 4 18048. 8+ 203.4.6= 336384= C4 A4= 336384. (1/9)4= 51.27

La formule et sa démonstration An+1= (2.20n+1+4. 8n+1)/(9n+1) ; avec A0=6 A1= (2. 20+4. 8)/9= 8 An+1= 8/9. An+ 24/9. (20/9)n or An= (2.20n+4. 8n)/(9n) An+1= (2. 8. 20n+4. 8n+1+24. 20n)/(9n+1) An+1= (2. 20. 20n+4. 8n+1)/(9n+1) An+1= (2. 20n+1+4. 8n+1)/(9n+1) lim An=(2. (20/9)n+4. (8/9)n)= +∞+0= +∞ n -> ∞

Application: murs anti-bruit Réduction de 3 dB par rapport à un mur classique

Ensemble de Mandelbrot le Chaos Qu’est ce que le Chaos? Le figuier, un comportement pas si prévisible L’ensemble de Mandelbrot et son intérêt

Le Figuier, un calcul simple? Prenons un réel entre -1 et 1 Elevons ce réel au carré Retirons 1 Et recommençons du début Xn+1= (Xn)2 -1 -1 ≤ Xn+1 ≤ 0 1er nombre 1 -1/2 2ème nombre -1 -0.75 3ème nombre -0.4375 4ème nombre -0.8086

Pas vraiment si simple… Xn+1= k. (Xn)2 -1 Ordre Chaos

L’ensemble de Mandelbrot Xn+1= k. (Xn)2 -1; avec k=a+ b. i= c et Xn=an an+1= c. (an)2 -1 c. an+1= c2. (an)2 –c Zn+1= (Zn)2 – c

La dimension fractale Généralisation La poussière de Cantor Le flocon de Von Koch L’éponge de Menger/Sierpinski

Généralisation d= log m/log n 1/n= rapport d’homothétie, m= le nombre de figures d= lognm d= log m/log n Etape 1 m= 1 Etape1 m=1 Etape 2 m=2 Etape2 m=4 m=8 Dimension 1 m= 21 Dimension 2 m=22 Dimension 3 m= 23

La poussière de Cantor d= log2/log3 ≈ 0,63 ↔ 0< d< 1 Le nombre segment double à chaque étape ↔ M=2 Le rapport d’homothétie vaut 1/3= 1/n ↔ n=3 d= log2/log3 ≈ 0,63 ↔ 0< d< 1

Le flocon de Von Koch d= log4/log3≈ 1,26 ↔ 1< d< 2 Le nombre de segments quadruple à chaque étape ↔ M=4 Le rapport d’homothétie vaut 1/3= 1/n ↔ n=3 d= log4/log3≈ 1,26 ↔ 1< d< 2

L’éponge de Menger/Sierpinski Le nombre de cubes est multiplié par 20 à chaque étape ↔ M=20 Le rapport d’homothétie vaut 1/3= 1/n ↔ n=3 d= log20/log3≈ 2,73 ↔ 2< d< 3

La math-fractale Le nombre d’or Les propriétés de φ La spirale et la suite de Fibonacci Le triangle de Pascal Les matrices Pythagore

Le nombre d’or 1,618 033 989 φ2= φ+1 φ-1= 1/φ

Première propriété φ2= φ+1 φ=√(1+φ) φ=√1+√(1+φ) φ=√1+√1+(√(1+φ) φ= 1+√1+√1+√1+√1+√(1+φ)

Deuxième propriété φ-1= 1/φ  φ=1+ 1/φ φ=1+ 1/(1+ 1/φ) … φ=1+ 1/(1+1/(1+1/(1+ 1/(1+1/(1+1/(1+ 1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/φ)))))))))))

La suite de Fibonacci = Restent/Grandissent = Engendrent

La Spirale de Fibonacci http://media.lelombrik.net/30001-30500/df54922af9d882d125c65e2d159a63cbf901f64e.jpg

Le Triangle de Pascal

Et encore une fractale… Les Matrices Et encore une fractale… ( ) 0 1 1 1

Pythagore a2=b2+c2

Conclusion