Bases théoriques: modélisation et contrôle 2.1 Cinématique/Cinematics Bleuler 2.2 Jacobien/Jacobian Bouri 2.3 dynamique/Dynamics Bouri 2.4 Contrôle/Control Bouri

2.1 Cinematics Generic task of industrial robot: Move an object (tool, workpiece) Therefore: Need to study cinematics, i.e. geometry of motion Velocities, accelerations later Forces (statics & dynamics) later Tâche "générique" du robot industriel: Déplacer un objet (outil ou pièce) Donc: Etude de la cinématique, i.e. géometrie des mouvements Forces, statique & dynamique plus tard Temps, vitesses, accélérations plus tard

Cinematics may reach 80% of the effort to model a robot There are books and lectures on ro This is only an introduction to the bare essentials La cinématique peut représenter 80% de l'effort dans l'établissement du modèle d'un robot. Elle seule peut facilement faire l'objet de cours ou de livres entiers. Ce chapitre 2.1 n’est qu'une introduction se limitant à l'essentiel.

Content active & passive transformations Translations & rotations 2D around coord. origin Combination transl. & rot: Homogenous matrices 2D Rotations around any centerpoint 3D Rotations: Rot.-axis, quaternions Homogenous matrices Robot coordinates, direct cinematics p9 Variables robot, Modèle géométrique direct Euler angles p13, p11 Inverse Cinematics Modèle géométrique inverse

2.1.7 Variables robot / Robot Coordinates A robot is controlled by angular or linear setpoints. These values are sent to the actuators (motors). These angular or linear values are called joint coordinates or joint variables { q1, q2, … qi, …. qn } ou/or { q1, q2, … qi, …. qn }. Tout robot est controlé par des consignes angulaires ou linéaires envoyées aux actionneurs (moteurs). Ces angles ou positions sont les variables robots. Leur nombre n est le nombre de ddl du robot.

Variables opérationelles Operational (or task) variables The robot task is defined in other terms: It is position and orientation of the tool or workpiece to be manipulated. e.g. x,y,z of the tool center point, + Euler angles La tâche du robot se décrit dans d’autres termes: Position et orientation de l’outil, de l’objet à manipuler. Pour un corps rigide, il sera nécessaire de spécifier six variables, correspondants aux six ddl d’un solide dans l’espace. {x,y,z} = position d’un point du solide, p.ex. du centre. Les trois paramètres restants peuvent être représenté par une grande variété de façons.

Représentation de l’orientation / Variables for orientation Usually, orientation is defined as rotation angles around axes fixed to the moving body: Roll, Pitch, Yaw are used for vehicles, Euler angles for gyroscopes, rectangular axes tied to approach direction for robots. Parmi les plus communes: Angles autour de trois axes fixés au corps en mouvement. Vous connaissez au moins une telle représentation: Tangage, roulis, lacet sont liés aux axes d'un véhicule (avant, haut, directions latérales) (Roll–, Neig– und Gier–winkel) Fig. 13 p.13 Ces définitions peuvent se rapporter à l'observateur

Wrist (Poignet) à 3 axes concurrents q6 q4 q5 Fig 10 p. 11

Poignet à 3 axes: Angles d’Euler Gruber p. 209 z Poignet à 3 axes: Angles d’Euler Gruber p. 209 q5= j Wrist ( y, j, q ) q6 q4 Précession nutation rotation propre y q5 x q4= y Fig 10b) p. 11 q = q6

Modèle géométrique direct: (Direct) or Forward Cinematics: Exprimer les variables opérationelles { x, y, z, y, j, q } en fonction des variables robots { q1, q2, … qi, …. qn } Express the operationel (task level) variables { x, y, z, y, j, q } as function of the joint variables { q1, q2, … qi, …. qn }

Organisation du chapitre 2.1 cinématique Transformations actives et passives Translations et rotations 2D autour de l’origine Combinaison transl. & rot: Matrices homogènes Rotations 2D autour d’un point arbitraire Rotations 3D: Axe de rotation, quaternions Représentation homogène Variables robot, Modèle géométrique direct robot coordinates, forward cinematics Angles d’Euler Modèle géométrique inverse (Inverse cinematics)

Reférentiels multiples / Multiple reference frames 2.1.1 Première difficulté / Conceptual difficulty: Reférentiels multiples / Multiple reference frames Fixes (base du robot, table de travail, etc) En mouvement, donc solidaires au corps (élément du robot, poignet, outil, pièce,...) Fixed frame of reference (e.g. robot base, work table) Frame in motion, tied to a robot element such as wrist, tool, workpiece...

Cela mène à deux tâches de base: Changement de position d'un objet dans un référentiel fixe: Transformation active Changement de référentiel d'un objet fixe: Transformation passive Two basic tasks: Change of position of an object in a fixed frame of reference « Active Transformation » Change of frame of reference without motion of object: « Passive Transformation » (Gruber p.682)

v2 = v1 + t valid for any point of rigid body C 2.1.2 Translation et rotations 2D autour de l'origine O Translation & rotation in 2D around origine O Transformation active: y P (avant) P (après) v t 1 C v C 2 x Translation du point P de la position v1 à la position v2 v2 = v1 + t valid for any point of rigid body C

Transformation passive: y P v1 O1 (avant before) v2 x t O2 (après after) Translation du référentiel O1 vers O2 v2 = v1 – t

Transf. active = inverse (passive): P (avant) y y v1 P P (après) v 1 t C v C 2 O1 x v2 x (avant) t O2 (après) Translation du point P de la position v1 à la position v2 v2 = v1 + t Translation du Référentiel O1 vers O2 v2 = v1 – t Active transformation is simply the mathematical inverse of passive transformation

Translation: Changement de position sans changement d’orientation (tout les points changent de la même façon) Rotation: Changement d’orientation, il existe un point fixe (centre de rotation)*) Translation: Change of position without change of orientation Rotation: Change of orientation. There exists a fixed point (center of rotation) *) dans le cas de 2 dimensions

Rotation (active) autour de O dans le plan Axe (z) : toujours perpendiculaire au plan C (après) P y v 2 P v 1 J C (avant) j O x (2) Rotation axis always normal to the plane of motion

cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) In polar coordinates (r, ) this rotation is trivial. In cartesian coordinates, we need some trigonometry: Pour passer directement de [x1,y1] à [x2,y2] en cordonnées cartésiennes, sans devoir calculer (r,  ) à partir de [x1,y1], les théorèmes trigonométriques suivants sont nécessaires: cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Appliquée aux sommes d'angles dans (2) donne: La matrice de rotation R contient l'angle J. On l'appelle également Matrice des cosinus directeurs Matrix of direction cosines, rotation matrix

Rotation around O x y j J v 1 2 C (avant) C (après) O P

Exercices 1a) R(= 0) = ? 1b) R(–) = ? 1c) R()–1 = ? 1d) v3 = R()v2 = R()R()v1 = R(?)v1 ? 1e) R()R() = R()R() ?

This implies the matrix orthogonality condition RT = R–1 En transformant les vecteurs [1,0]T et [0,1]T, on constate que les colonnes de R forment un repère orthogonal tourné de  par rapport au repère cartésien d'origine. (v1.v2 = 0, vi.vi = 1). Ces conditions impliquent RT=R–1 (matrice orthogonale). Le déterminant est nécessairement ||R|| = 1 Transformation of the unit vectors shows that the columns of R represent an orthogonal frame rotated w.r.t. the original frame. This implies the matrix orthogonality condition RT = R–1 Moreover, the determinant is 1.

Rotation passive autour de O dans le plan Axe: toujours perpendiculaire au plan (z) P y1 y2 j x2 J x1 O

Transformations passives = inverse des transformations actives Translation du point P de la position v1 à la position v2 v2 = v1 + t Translation du Référentiel O1 vers O2 , même position! v2 = v1 – t Rotation du point P de la position v1 à la position v2 Rotation du référentiel même vecteur!

Translation: Addition vectorielle Rotation: Multiplication matricielle Il serait utile d’avoir la même opération mathématique pour tout changement de position, que ce soit translation ou orientation A unified operation would be useful

Rotation autour de points arbitraires: Rotation around any point? Centre de rotation? O x Nécessité de combiner rotations et translations dans une seule opération Need for unified operation for transl. & rotation

Solution: Homogenous coordiates 2.1.3 représentation homogène v2 = v1 + t v2 = T v1 Cette combinaison est obtenue de la façon suivante: On ajoute un "facteur d'échelle" 1 à chaque vecteur On ajoute le vecteur de translation à droite de R On ajoute la ligne [0 0 1] sous R

donc Question: Est-ce rot-transl ou transl-rot? Réponse: Trouvez vous-même!

Les vecteurs en représentation homogène A retenir: Les vecteurs en représentation homogène contiennent un élément de plus que le nombre de dimensions géometriques. Les matrices en représentation homogène contiennent une ligne et une colonne de plus que le nombre de dimensions géometriques. Remember: Vectors in homogenous form have one element more than the number of geometric coordinates: The scale factor (in our case always 1) Homogenous matrices thus have one line and one column more than the number of coordinates. Last line: 0 0 1, last column [ t , 1] ’

Exemple: Enchainement de deux transformations Sans représentation homogène: v2 = R() v1 + t1 v3 = R() v2 + t2 = R() R() v1 + R() t1 + t2 (ex.2) avec représentation homogène:

Solution ex. 2

Ex 3a: Rotation pure? Translation pure? Identité? 3b) Translation puis rotation 3c) Inverse?? (Faites le contrôle!)

Solutions 3b) Translation puis rotation 3c) Rotation -J puis translation -t

2.1.4 Rotation 2D autour de points arbitraires: y O P O Centre de rotation? x

1. Translation de P vers l’origine y O P O x

2. Rotation autour de l’origine y O O x

3. Translation vers P d’origine y O P O x (9)

Cette expression met en évidence qu’une rotation autour de P est équivalente à une rotation autour de O suivie d’une translation P–RP A l’inverse, on peut trouver un centre de rotation pour toute combinaison de translation et rotation. This shows that rotation around P is equivalent to rotation around O and a translation p-Rp Conversely a center of rotation can be found for any combination of transl. & rotation

Exercice 4 4a) Le paragraphe précédent est-il entièrement correct? 4b) Trouver le centre de rotation 1.) par un dessin, 2.) à l'aide de la formule précédente 3.) en cherchant un vecteur propre de la matrice homogène. 4c) Trouver la matrice homogène qui décrit une rotation de 60° autour d'O 4d) Trouver la matrice homogène qui décrit une translation de un en direction x , puis une rotation de 60° autour d'O 4e) Trouver la matrice homogène qui décrit une rotation de 60° autour de [1,1]T . 4.f) Un objet avec deux points v1, w1 est déplacé de sorte que ces points se retrouvent aux locations v2, w2 . v1 = [1,0]T, w1 = [1,1]T, v2 = 0.5 [1–√3,1–√3]T, w2 = 0.5 [2–√3,1]T Trouver la matrice homogène, , p (solution graphique) qui décrit ce déplacement.