IV Ondes sonores Les ondes sonores sont des ondes longitudinales mais à quel phénomène physique sont-elles dues? Si on alimente un haut-parleur par un générateur d’ondes sinusoïdales. La membrane du haut-parleur vibre sinusoïdalement à la fréquence imposée par le générateur. Elle exerce donc sur l’air situé an avant d’elle-même une série de compressions et de dépressions. Les variations de pression constituent l’onde sonore Une corde vibrante (d’une guitare par exemple) produit des ondes sonores dans l'air environnant. La corde en vibrant dans l'air, produit une perturbation dans le gaz qui se traduit par une augmentation suivie d'une diminution locale de la pression. L'augmentation de pression résulte de la compression de l'air par le corde ou la membrane; puis, la diminution de pression correspond à une raréfaction de l'air. La perturbation se propage alors de proche en proche comme une onde progressive.

IV.1 Equation de propagation Nous nous intéresserons ici uniquement aux ondes planes sonores Onde ne dépendant que d’une variable d’espace (x) et du temps (t) Etudions la portion de fluide comprise entre x et x+dx. x’ x x+dx S  : masse volumique du fluide. Tuyau de section constante S On appelle dilatation la quantité:

On appelle coefficient de compressibilité : Les vibrations seront supposées suffisamment rapides pour que les échanges thermiques soient négligés : transformations adiabatiques. Vibrations de petite amplitude  transformations réversibles. transformations isentropiques représente la surpression Nous allons appliquer la RFD à la portion de fluide: Sur l’axe Ox

En utilisant un développement limité: Donc : En utilisant la définition du coefficient de compressibilité : Donc :

On a donc 2 équations couplées : Equation de Propagation Vitesse De la même façon, on peut obtenir : Equation de Propagation Pression

IV.2 Solutions des Equations Comme nous l’avons déjà vu dans le chapitre III les solutions des équations précédentes sont : Nous savons qu’il existe une relation entre P et u :

Finalement : Cette égalité entraîne : En intégrant C1 et C2 sont des constantes Au repos on a:

Exemple Ondes stationnaires On utilise généralement les ondes stationnaires lorsque les conditions aux limites peuvent faire penser à un confinement de l’onde dans un domaine fini. Un obstacle fixe constitue par exemple un nœud pour la vitesse (u). Supposons qu’une onde incidente se déplace dans le sens des x>0 Onde incidente (UI) Elle rencontre en x=0 un mur Onde réfléchie Onde réfléchie (UR) On cherche donc une solution sous la forme : Nœud en x=0 x O On obtient donc pour l’onde de vitesse :

Onde stationnaire de vitesse A l’aide des relations précédentes, on peut obtenir l’onde de pression : On a vu que : Onde stationnaire de vitesse Onde stationnaire de pression Remarque : Les différentes courbes représentent des temps différents

transformations isentropiques IV.3 Vitesse du son dans les fluides Nous limiterons notre étude au cas de gaz pouvant être considérés comme parfaits. transformations isentropiques Cp : capacité thermique à pression constante Cv : capacité thermique à volume constant avec On peut donc calculer le coefficient de compressibilité Donc On a aussi : n : quantité de matière (mol) M : masse molaire (kg/mol) m : masse du gaz (kg) R : constant des gaz parfaits

Donc : Applications numériques Pour l’air on a : à 0°C : c=331 m/s à 20°C : c=343 m/s Pour l’hydrogène on a : à 0°C : c=1254 m/s

IV.4 Aspect énergétique - Puissance sonore Lorsque nous percevons un son notre oreille est sensible : Intensité sonore Les fréquences présentes Dépend de la puissance transporter par l’onde Spectre audible 16 à 16000 Hz pour l’homme IV.4.1 Intensité sonore On veut donc déterminer la puissance transportée par l’onde sonore. Reprenons l’exemple du tuyau sonore : La force que subit dS est : P+P0 P0 F dS Le travail de cette force est donc :

La puissance moyenne sur l’intervalle (t1, t2) sera : On utilisant les expressions de P et u en fonction de f et g, on obtient : Moyenne temporelle Remarque Pour chaque onde progressive, on associe un transfert d’énergie. La puissance associée est : On définie l’intensité sonore : I est en W/m2

L’intensité du son perçu par nos oreilles est définie par une échelle logarithmique et l’unité est le décibels dB: I0 représente l’intensité 0 dB. Par convention on prend I0 = 10-12 W/m2 Minimum perceptible à f = 1 kHz

Cas particuliers des ondes planes progressives sinusoîdales L’onde de vitesse s’écrit : On peut en déduire l’expression de P : Donc l’intensité sonre est : IV.4.2 Spectre en fréquences Il est obtenu en effectuant une décomposition en série de Fourier (onde périodique) ou une transformée de Fourier (onde non périodique). Si l’onde est périodique on démontre facilement :

IV.5 Réflexion -Transmission i : masse volumique du milieu i. ci : vitesse de l’onde acoustique dans le milieu i. Milieu 1 Milieu 2 Onde incidente (ui) ui : Onde de vitesse incidente Pi : Onde de pression incidente Onde transmise (ut) ut : Onde de vitesse transmise Pt : Onde de pression transmise Onde réfléchie (ur) ur : Onde de vitesse réfléchie Pr : Onde de pression réfléchie x

A l’interface (x=0) entre les deux milieux 1 et 2 on a continuité de la composante normale de la vitesse. Cette condition s’écrit : De plus, on a égalité des pressions de part et d’autre de l’interface. Cette condition s’écrit : On peut alors exprimer les différentes ondes en fonction de f supposé connue :

IV.5.1 Etude énergétique Ecrivons les intensités dans les différentes ondes : Onde incidente : Onde réfléchie : Onde transmise : On peut alors définir les coefficients de réflexion ou de transmission (ou facteur de réflexion et transmission) Remarque On a bien-entendu conservation de l’énergie : On peut aussi écrire :

IV.6 Effet Doppler L'effet Doppler est le changement apparent de fréquence d'un phénomène vibratoire lorsque la source et/ou l’observateur est/sont en mouvement l'un par rapport à l'autre. Ce phénomène peut être observé sur tout phénomène vibratoire, mais il fut découvert et étudié en premier lieu par Doppler en 1842 sur les ondes acoustiques. L’expérience montre que lorsqu'une automobile en mouvement passe devant un piéton immobile en klaxonnant, le piéton semble entendre un son plus aigu ou plus grave selon le sens de déplacement de l'automobile. Il y a ainsi changement apparent de fréquence du son, la fréquence réelle étant évidemment constante et caractéristique du klaxon. v : vitesse de la source v’ : vitesse de l’observateur u : vitesse de l’onde sonore v’ > v  N <   donc le son devient plus grave v’ < v  N >   donc le son devient plus aigu V=0 V < U V > U

V=0 Effet Doppler V < U V > U