Éléments de Calcul Tensoriel I Les Tenseurs II Les Opérateurs Différentiels J.C. Charmet © 2002

I Les Tenseurs I-1 Définition des Tenseurs I-2 Opérations sur les Tenseurs I-3 Symétrie et Antisymétrie I-4 Tenseurs Identité et d’Antisymétrie I-5 Produits Scalaire et Vectoriel

I-1 Définition des Tenseurs Tenseur : Opérateur liant dans un même repère deux grandeurs physiques en un même point d’un espace de dimension d M T(M) = u v Ses composantes dans un repère donné ne dépendent que du M Le Rang d’un tenseur caractérise son nombre d’indices T(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire à d0 =1 composante T(M) T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur à d1 composantes Ti(M) T(2) Tenseur de Rang 2 : Matrice à d2 composantes Tij(M) T(n) Tenseur de Rang n : Matrice à dn composantes Tij…n(M)

I-2 Opérations sur les Tenseurs Addition tensorielle (+) : Tenseurs de même Rang C(n) = A(n) + B(n) Cij…n = Aij…n + Bij…n Produit tensoriel () C(n+m) = A(n)  B(m) Cij…n…n+m = Aij…n Bij…m Produit Contracté (·) sur l’indice k C(n+m-2) = A(n) · B(m) Cij…n+m-2 = Aij…k...n Bij…k…m S k=1 d La contraction peut s’effectuer sur plusieurs indices, chaque contraction diminuant de 2 le rang du tenseur contracté résultant Convention des indices muets Un indice de contraction, indice répété dit muet, implique la sommation sur l’ensemble des valeurs {1…d} prises par cet indice Cij = AikBkj = AikBkj = Ai1B1j + Ai2B2j + Ai2B3j C(2) = A(2) · B(2) S k=1 3

I-3 Symétrie et Antisymétrie Symétrie par rapport au couple d’indices l,r C(t) symétrique {l,r} Cij…l…r…t = Cij…r…l...t C(t) antisymétrique {l,r} Cij…l…r…t = -Cij…r…l...t Symétrie complète  le couple d’indices a,b  {1..t} C(t) symétrie complète Cij…a…b…t = Cij…b…a...t C(t) antisymétrique complète Cij…a…b…t = (-1)PCij…b…a...t P étant la parité de la permutation {ij…a…b…t}  {ij…b…a…t} Exemple : {1.2…4.5.6.7…9}  {1.2…7.5.4.6…9} Paire P = 0 modulo 2 {1.2…4.5.6.7…9}  {1.2…6.7.5.4…9} Impaire P = 1 modulo 2 Les propriétés de Symétrie et d’Antisymétrie sont intrinsèques Elles se conservent par changement de repère

I-4 Tenseurs Identité et d’Antisymétrie Tenseur Identité d(2) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 d(2) = dij = 1 si i = j dij = 0 si i  j  le repère Tenseur d’Antisymétrie e(3) eijk = 1 si {i,j,k} permutation paire du groupe {1,2,3} eijk = -1 si {i,j,k} permutation impaire du groupe {1,2,3} eijk = 0 si au moins 2 indices égaux d(6) = e(3)  e(3) a pour composantes : dip diq dir djp djq djr dkp dkq dkr dijkpqr = Det dijkpqr = dip(djqdkr-djrdkq)-djp(diqdkr-dirdkq)+dkp(diq djr-dirdjq) d(4) Contraction {i,p} dijkiqr = djkqr = eijkeiqr = djqdkr-djrdkq = Det djq djr dkq dkr d(2) Contraction {i,p} {j,q} dijkijr = djkjr = eijkeijr = 2dkr d(0) Contraction {i,p} {j,q} {k,r} dijkijk = djkjk = eijkeijk = 2dkk = 6 Det(T(2)) = eijkepqrTipTjqTkr 1 6

I-5 Produits Scalaire et Vectoriel  Produit Tensoriel de deux Vecteurs u1 u2 u3 u = v1 v2 v3 v C(2) = u1v1 u1v2 u1v3 u2v1 u2v2 u2v3 u3v1 u3v2 u3v3 Cij = uivj Produit Scalaire de deux Vecteurs v u · = ukvk = Ckk = Tr( )  0 u1v2-u2v1 u1v3-u3v1 u2v1-u1v2 0 u2v3-u3v2 u3v1-u1v3 u3v2-u2v3 0 Produit Extérieur de deux Vecteurs P(2) = - = u v  = C(2) - tC(2) Produit Vectoriel de deux Vecteurs u2v3 – u3v2 u3v1 – u1v3 u2v1 – u1v2 w v u  = e(3) · ·{ } u v  = w  w1 w2 w3 = w P23 P31 P21 wi = eijkCjk 

II Les Opérateurs Différentiels II-1 Le Gradient II-2 La Divergence II-3 Le Rotationnel d’un Vecteur II-4 Les Rotationnels d’un Tenseur de Rang 2 II-5 Le Laplacien

II-1 Le Gradient Gradient d’un Scalaire f(x) df =Gradf·dx Gradient d’un Vecteur u(x) du =Gradu·dx Gradf = f x1 x2 x3 u1 x1 Grad u = u3 x2 u2 x3 Gradient d’un Tenseur de Rang 2 T(2)(x) dT (2) =Grad(3)T (2) ·dx Gijk = Grad(3)T (2) = Tij xk

II-2 La Divergence Divu = = + + uk xk u2 x2 u3 x3 u1 x1 Divergence d’un Vecteur u(x) Divergences d’un tenseur de Rang 2 T(2)(x) DivDT(2) = = Tij xj T13 x3 T11 x1 T12 x2 + T23 T21 T22 T33 T31 T32 Divergences des Vecteurs Ligne DivGT(2) = = Tij xi T31 x3 T11 x1 T21 x2 + T32 T12 T22 T33 T13 T23 Divergences des Vecteurs Colonne DivDT(2) = DivGtT(2) DivGT(2) = DivDtT(2) T(2) = tT(2) symétrie  DivDT(2) = DivGT(2)

II-3 Le Rotationnel d’un Vecteur =   tGrad u2 x3 u1 u3 x2 x1 et Gradient Opérateur Nabla  =  x1 x2 x3 Divergence Div = Tr( ) u ·  =  = Tr( ) Grad tGrad Tenseur Rotationnel u2 x3 u1 u3 x2 x1 - u Grad Rot = Pseudo Vecteur Rotationnel = Rot u   u3 x2 - u2 x3 u1 x1 e(3) · ·{ } = eijk  Rot u   Grad [ ]i uk xj

II-4 Rotationnels d’un Tenseur T(2) Gradient d’un tenseur de Rang 2 T(2)(x) F = Grad(3)T(2) Fijk = Tij xk Pseudo Rotationnels d’un tenseur de Rang 2 T(2)(x) Rotationnels des Vecteurs Ligne [ ]lk RotD = T ekij Tlj xi Rotationnels des Vecteurs Colonne [ ]kl RotG = T ekij Tjl xi RotD = T T31 x3 T33 x2 T22 x1 T12 T23 T11 T13 - T21 T32 RotG = T T22 x1 T21 T13 x3 T33 x2 T11 T32 - T23 T12 T31 tRotDT = RotGtT tRotGT = RotDtT T = tT symétrie  RotDT = tRotGT

II-4 Le Laplacien [ ]k [ ]i Laplacien d’un Scalaire f(x) Df =Div(Gradf) xk xk Df =Div(Gradf) = 2f x12 x22 x32 + = Laplacien d’un Vecteur u(x) u = DivD( ) = Grad = 2ui xk xk 2u1 x12 x22 x32 + 2u2 2u3 D u Laplacien et Rotationnel (Rot ) = u Rot Grad(Div ) - D u [ ]k Rot = eklm um xl D u [ ]i [ ]i =eijk =(dildjm-dimdjl) 2um xjx1 eklm um xl [ ]i Rot (Rot ) u  xj = - 2uj xixj 2ui xjxj Grad(Div )