Cours d’Econométrie de la Finance (Stat des choix de portf. IV 1-2) Pr Michel Béra Conservatoire National des Arts et Métiers michel.bera@cnam.fr 02/11/2017

Statistique des choix de portefeuille : approche moyenne-variance, CAPM 2 – Portefeuilles efficients 02/11/2017

Approche moyenne-variance (1/11) On se donne n actifs risqués : On note - l’actif sans risque : - le prix en t : - le prix en t+1 : On suppose que est connu en t (actif sans risque) 02/11/2017

Approche moyenne-variance (2/11) Soit un portefeuille, défini par sa composition, en pondération ou en allocation : - en volume : -en valeur : On a, bien entendu : 02/11/2017

Approche moyenne-variance (3/11) La valeur du portefeuille en t est alors : Elle est en t+1 : 02/11/2017

Approche moyenne-variance (4/11) Soit : avec : est la part de i, en valeur, dans le portefeuille. 02/11/2017

Approche moyenne-variance (5/11) On a, par construction : Calculons : car : 02/11/2017

Calcul moyenne-variance (6/11) il vient : soit : avec : 02/11/2017

Approche moyenne-variance (7/11) Où on a défini -transposé en ligne- le vecteur : et est le vecteur des parts des actifs risqués (attention la somme des termes ne vaut pas 1) 02/11/2017

Approche moyenne-variance (8/11) Posons le problème de l’approche moyenne-variance : on se donne un fixé à w, par exemple dans le cadre d’une contrainte de budget. l’espérance du vecteur des actifs risqués est donnée par le vecteur la matrice de variance-covariance des mêmes actifs est donnée par la matrice 02/11/2017

Approche moyenne-variance (9/11) La valeur du portefeuille est aléatoire comment faut-il choisir le vecteur ? dans l’approche moyenne-variance, on va se fonder sur l’espérance et la variance de soit : et : 02/11/2017

Approche moyenne-variance (10/11) Revenons à la notation , ce qui évitera d’avoir à distinguer ensuite suivant le signe de w. Il vient : 02/11/2017

Approche moyenne-variance (11/11) Le vecteur représente les allocations en valeur des actifs risqués Attention, on est en allocation en niveau, pas en pourcentage : 02/11/2017

Portefeuilles efficients (1/12) Définition : un portefeuille est préférable à un portefeuille si : et : 02/11/2017

Portefeuilles efficients (2/12) On dira que le portefeuille   est préférable strictement au portefeuille si au moins l’une des deux inégalités précédentes (moyenne ou variance) est stricte Définition d’un portefeuille efficient : aucun portefeuille ne lui est strictement préférable. 02/11/2017

Portefeuilles efficients (3/12) Les portefeuilles efficients satisfont : sous la condition : ou encore, en reprenant les notations : 02/11/2017

Portefeuilles efficients (4/12) On va résoudre ce problème d’optimisation par la méthode du lagrangien, en utilisant les notations de dérivée vectorielle Le multiplicateur de Lagrange est Le Lagrangien est : 02/11/2017

Portefeuilles efficients (5/12) On obtient les conditions du premier ordre en dérivant vectoriellement : On obtient ensuite A en appliquant la contrainte en v : 02/11/2017

Portefeuilles efficients (6/12) A est une mesure de l’aversion pour le risque, si A croît, la variance souhaitée décroît A la limite, si , alors , et le portefeuille optimal est composé uniquement de l’actif sans risque, puisque 02/11/2017

Portefeuilles efficients (7/12) Définition de la frontière efficiente : elle est constituée par l’ensemble des portefeuilles efficients, indexés par la constante A w fixe, A variant avec A>0 02/11/2017

Portefeuilles efficients (8/12) On peut rechercher le lieu des points décrivant l’ensemble des portefeuilles efficients, dans le plan moyenne-variance : 02/11/2017

Portefeuilles efficients (9/12) Pour trouver l’équation de la courbe des portefeuilles efficients dans le plan (v,m), il faut éliminer A. Il vient : 02/11/2017

Portefeuilles efficients (10/12) Et finalement l’équation d’une parabole – la « frontière efficiente » - dans le plan (v,m) : est la performance de Sharpe de l’ensemble des actifs 02/11/2017

Portefeuilles efficients (11/12) Si on trace cette parabole dans le plan (v,m), v en abscisse, m en ordonnée, il vient : Il ne faut tenir compte que de la demi-parabole obtenue pour A>0 02/11/2017

Portefeuilles efficients (12/12) C’est une parabole tangente à l’axe des y (ici m) au point d’ordonnée Si , on peut atteindre un rendement moyen plus élevé à volatilité fixée, (ou une volatilité plus faible à un rendement moyen fixé) 02/11/2017

Séparation en deux fonds (1/5) Idée : séparer un portefeuille efficient (pour un A donné) en deux fonds. On a, pour un portefeuille efficient : 02/11/2017

Séparation en deux fonds (2/5) Donc le portefeuille s’écrit comme combinaison de deux portefeuilles fixes : tout dans l’actif sans risque, 02/11/2017

Séparation en deux fonds (3/5) : la somme des allocations (en valeur) est nulle : c’est le portefeuille d’arbitrage Note : ce portefeuille n’est pas efficient pour le w fixé, si w 0 02/11/2017

Séparation en deux fonds (4/5) On utilise la notion de moyenne harmonique : soient tels que . On a : 02/11/2017

Séparation de deux fonds (5/5) Tout couple de portefeuilles efficients peut servir de couple de portefeuilles de base; pour obtenir le portefeuille (A) à partir des portefeuilles , il convient de prendre les pondérations en valeur définies par les deux équations : 02/11/2017

Performance de Sharpe (1/6) Pour tout portefeuille , la performance de Sharpe est : , avec Note : on peut remplacer par , car la formule ne dépend pas de 02/11/2017

Performance de Sharpe (2/6) Pour tout portefeuille efficient : 02/11/2017

Performance de Sharpe (3/6) On remarque que la performance de Sharpe ne dépend pas de A est égale à la performance s* de l’ensemble des actifs s* est le maximum de , car : est homogène de degré 0 en 02/11/2017

Performance de Sharpe (4/6) On peut donc « normer » en supposant Il vient : On écrit le Lagrangien : 02/11/2017

Performance de Sharpe (5/6) Ce qui donne comme conditions au 1er ordre : 02/11/2017

Performance de Sharpe(6/6) On en déduit que s* est le maximum de et est atteinte uniquement pour les portefeuilles efficients est une allocation des actifs risqués correspondant à un portefeuille efficient 02/11/2017