VI Interférences - Diffraction VI.1.1 Avant propos C’est en 1801 que Thomas Young (1773-1829) démontra la nature ondulatoire de la lumière et réalisa sa fameuse expérience de la double fente de Young.

Le phénomène d’interférences se produit lorsque les composantes parallèles de deux ou plusieurs champs de même fréquence se superposent dans une même région de l’espace. Les applications du phénomène d’interférences sont très importantes notamment dans le domaine de la mesure. VI.1.2 Conditions d’existence des interférences L’obtention des interférences est étroitement liée aux caractéristiques de la source et aux types de montages utilisés. La cohérence spatiale La cohérence temporelle Sources :

Montages : Dépendant du type d’onde mise en jeu, pour obtenir des interférences, ces conditions seront plus ou moins faciles à obtenir. VI.1.2.1 Cohérence spatiale La figure d'interférence d’une source étendue est la somme en intensité des figures d'interférences des sources "ponctuelles" constituant la source étendue. Pour les interférences à division d'amplitude (rayon incident unique), l'étendue de la source ne pose pas de problème. Pour la division de front d'ondes, il convient que la source soit "suffisamment ponctuelle".

VI.1.2.2 Cohérence temporelle Lorsqu’une source émet de la lumière on peut voir cette émission comme un succession de trains d’onde identique et de même durée  : Pour qu'il y ait interférence, il convient que la différence entre les temps mis par l’onde pour parcourir SP par le chemin 2 (t2) et par le chemin 1 (t1) soit inférieur temps de cohérence ().

On introduit généralement la longueur de cohérence définie par  Pour qu'il y ait interférences, il convient qu'elle soit supérieure à la différence de marche. VI.1.3 Interférences à division du front d’ondes (fentes d’Young) D d

La source S à une distance d des fentes La source S à une distance d des fentes. L’écran d’observation est placé à une distance distance D des fentes. Ces distances sont telles que d, D >> a. L’onde semblant provenir de la fente F1 s’écrie : L’onde semblant provenir de la fente F2 s’écrie : Au niveau de l’écran d’observation l’amplitude de l’onde résultante est la superposition des deux ondes S1 et S2 : Finalement on peut calculer l’intensité :

Finalement : Avec Le déphasage : Le déphasage  entre les deux ondes est dû au fait que le chemin optique F1M et différent du chemin F2M. Cette différence est notée  et est appelé différence de marche, elle est reliée au déphasage par la relation :

La distance D étant bien supérieur à a, il est possible de considérer que la distance F1M est pratiquement égale à la distance MH. La différence de marche  s’identifie à la longueur F2H: La distance D étant grande devant x, les angles  et ’ sont petits et peuvent être considérés égaux :

Suivant les valeurs de , l’intensité des interférences évolue sinusoïdalement entre une valeur maximale et minimale. Valeur maxi : Valeur mini : Interfrange L’interfrange, notée i, représente la distance entre deux franges brillantes ou deux franges sombres.

Contraste Le contraste C est défini par le rapport : Les interférences seront les plus visible lorsque le contraste sera maximum, c’est-à-dire égale à C = 1. On obtient cette condition dans le cas où I1 égale à I2. On pose donc I1=I2=I0

VI.1.4 Interférences à division d’amplitude C’est Albert Michelson qui en 1881 a construit pour la première fois ce type d’interféromètre. La division de l’amplitude est obtenue par une lame semi-transparente Sp appelée séparatrice. Elle permet de réfléchir 50% de l’énergie lumineuse et donc de transmettre les 50% restant. Sp Interférences Comme dans le cas des fentes de Young il est nécessaire de créer à partir d’une même source deux sources virtuelles pour avoir des interférences optiques. C’est donc le rôle de M1 et M2 de générer les deux sources par le biais de la lame séparatrice. Suivant l’orientation des deux miroirs M1 et M2 l’interféromètre de Michelson peut-être réglé en : Lame d’air ou Coin d’air

Michelson réglé en “lame d’air” ou “lame à faces parallèles” Dans cette configuration nous allons supposer que les deux miroirs sont parfaitement orthogonaux. On peut le voir autrement, si on fait l’image d’un des miroirs par rapport à la séparatrice, les miroirs sont parfaitement parallèles. Ils forment donc une lame d’air à faces parallèles M1 M2 e Lumière n

La différence de marche est : Déterminons maintenant la différence de marche entre les rayons provenant de M1 et de M2 afin de connaître le pas des interférences. Prenons l’exemple générale ci-contre, d’une lame d’indice n et d’épaisseur e plonger dans l’air (n=1.0). Elle est éclairée avec un faisceau parallèle sous une incidence i. Lorsque le rayon lumineux change de milieu il y a création d’un rayon réfléchit et d’un rayon transmit, leurs intensités dépendant de la différence des indices de réfraction. Ce phénomène se répète tant que le rayon possède assez d’énergie. Du fait que les faces de la lame sont parallèles, tous les rayons sortant de la lame auront la même inclinaison i. Ils forment donc de chaque coté un faisceau parallèle, qui peut être visualisé à l’aide d’une lentille convergente et d’un écran placé en son point focal. A F i H B C D E La différence de marche est :

Finalement : Le trajet [ABC] se fait dans le milieu d’indice n Etant donné que les réflexions ne sont pas de même nature on doit rajouter une différence de marche de /2, donc : Michelson : n=1.0 Aspect des franges d’interférences On a vu précédemment qu’une frange lumineuse correspond à des interférences constructives : On a vu précédemment qu’une frange sombre correspond à des interférences destructives : Michelson : n=1.0

L’observation de la figure d’interférences sur un écran E situé dans le plan focal image de la lentille L montre des anneaux concentriques alternativement brillants et sombres. Tous les rayons émergent qui interfèrent au niveau d’un même anneau correspondent à des rayons incidents ayant le même angle d’incidence. Ces franges d’interférences sont appelées anneaux d’égale inclinaison.

Michelson réglé en “lame prismatique” ou “coin d’air” Ici les deux miroirs ne sont plus parfaitement orthogonaux dans une ou dans les deux directions. On va réalisé donc une lame prismatique ou un coin d’air. Remarque : nous avons ici des interférences localisées au voisinage de la lame.

Lorsque la lame prismatique est illuminée les mêmes phénomènes que précédemment apparaissent. On peut utiliser le même raisonnement et donc la différence de marche est : A B C H i r  r+ D x En supposant que l’angle  est petit : Franges brillantes Franges sombres interfrange Michelson : n=1.0

VI.2 Diffraction Ce phénomène apparaît lorsqu’un faisceau de lumière éclaire un écran opaque percé d’une petite ouverture. Là encore les dimensions sont relatives à la longueur d’onde de la lumière incidente. La tache lumineuse observée sur un écran placé en arrière de l’écran percé montre un étalement angulaire du faisceau transmis. Par exemple, si un faisceau incident tombe sur une fente, l ’ouverture angulaire du faisceau émergent augmente lorsque la largeur de la fente diminue. Ouverture carrée Ouverture circulaire

VI.2.1 Principe de Huygens Tout élément de la surface dS centré en M de la surface d’onde  (t) peut-être considéré comme une source élémentaire, secondaire, d’ondes sphériques dont l’amplitude complexe en un point P est proportionnel à : Où K() est un facteur d ’inclinaison L’amplitude en un point P est proportionnelle à la somme des amplitudes de toutes les ondes émises par les sources fictives réparties sur la surface  (t) . Dans la suite nous nous placerons dans le cas particulier où  est petit  K() = 1. Diffraction de Fraunhofer

VI.2.2 Diffraction de Fraunhofer Tentons d'écrire la répartition d’intensité ou d’amplitude créer par un objet diffractant quelconque (ouverture rectangulaire ou circulaire, …) et observée sur écran placé a une grande distance de l ’objet. Nous utiliserons ici l’approximation de Fraunhofer qui suppose que les rayons lumineux incidents sont faiblement inclinés par rapport à l ’axe.

L’objet diffractant est caractérisé par sa transparence en amplitude définie comme le rapport de l’amplitude complexe émergent par l’amplitude complexe incidente : Objet totalement opaque : Objet totalement transparent : L’amplitude incidente est de la forme : L’amplitude émergente peut s ’écrire : D’après le principe de Huygens : Avec :

Finalement l’amplitude complexe du champ électrique en P : La distance d’observation étant grande on peut écrire : L’amplitude en P devient :

On obtient après simplification : Constante On négligera ce terme car il va s’annuler lorsqu’on cherchera l’expression de l’intensité obtenue en multipliant par le conjugué complexe de A. On reconnaît dans cette dernière écriture l’expression de la transformée de Fourier de la transparence (x,y). ou avec L ’intensité s ’écrira :

VI.2.3 Exemples Fente infiniment longue La fonction transparente peut-être décrite par la fonction rectangle de largeur e : L’amplitude en un point P de l’écran est proportionnelle à la transformée de Fourier de  : Donc pour l’intensité, on a : Avec I0 l’éclairement maximal pour =0

Répartition en amplitude Répartition en intensité

Fente rectangulaire La fonction transparente peut-être décrite par la fonction rectangle à deux dimensions : L’amplitude en un point P : Donc pour l’intensité, on a : Avec I0 l’éclairement maximal pour =0 et =0

Répartition en intensité de la diffraction d’une fente rectangulaire.

Fonction de Bessel de première espèce Ouverture circulaire La fonction transparente peut-être décrite par la fonction : Fonction de Bessel de première espèce L’amplitude en un point P : avec Donc pour l’intensité, on a :

Cette tache de diffraction est plus connue sous le nom de “Tache d’Airy”. On peut en première approximation donner la valeur du rayon de l’anneau central : Avec R rayon du trou

(x) Deux fentes infiniment longues L 1 y x - a a x avec avec

Finalement : Diffraction Interférences

VI.2.4 Théorème de Babinet Les figures de diffraction produites par deux écrans complémentaires sont identiques, sauf au voisinage immédiat de l’image géométrique. Prenons l’exemple d’une fente, on sait que la figure de diffraction est : L’écran complémentaire : avec

I Ic L=100*a L=1000*a Les figures de diffraction sont uniquement différentes dans la zone proche de l’axe.