Chapitre 6: La géométrie des vecteurs MCV4U

6.1: Une introduction aux vecteurs

Scalaires vs vecteurs * Uniquement une grandeur (avec ou sans unités) Exemples: Nombres Température Aire Distance Vitesse Masse Grandeur, direction et sens. Déplacement Vitesse vectorielle Force

Exemple #1 (p.304) RA: Faire la différence entre vecteur et scalaire. Indique s’il s’agit d’une quantité vectorielle ou scalaire. Une voiture se déplace à 50 km/h vers l’est. Un enfant tire sa voiturette avec une force de 100 N à 30° par rapport à l’horizontale. Un homme a une masse de 88 kg. Une femme skie à une vitesse de 25 km/h. Une parachutiste descend à 20 km/h. Sur Terre, l’accélération due à la gravité est 9,8 m/s2 vers le bas. Le nombre 5. Ton poids sur un pèse-personne.

À ton tour! p.310 #1

Composantes de base d’un vecteur *

Manières de représenter un vecteur * Exemple Mots 5 km à un angle de 30° par rapport à l’horizontale Schéma (aussi appelé vecteur géométrique) Symboles 𝐴𝐵 La première lettre (ici A) représente le début du vecteur, et la deuxième lettre (ici B) la fin. Pour montrer sa grandeur, on écrit la valeur absolue (ex. 𝐴𝐵 ).

Manières d’indiquer la direction d’un vecteur * Exemple Angle mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’horizontale Azimut: à partir du nord, dans le sens des aiguilles d’une montre (voir tableau) Angle de relèvement: mesuré à l’est ou à l’ouest de l’axe nord-sud

Exemple #2 (p.306) RA: Décrire des vecteurs.

À ton tour! p.311 #4

Exemple #3 (p.307) RA: Tracer un vecteur à partir d’un azimut. Trace un vecteur géométrique pour chaque azimut ou angle de relèvement ci-dessous. Indique l’échelle utilisée dans chaque cas. 2 km selon un azimut de 020° 4km selon un azimut de 295° 30km/h selon un angle de relèvement de 40° EN 40 km/h selon un angle de relèvement de 70° OS

Exemple #4 (p.308) RA: Convertir un azimut en angle de relèvement et vice-versa. Écris l’azimut 150° sous la forme d’un angle de relèvement. Écris l’angle de relèvement 50° ON sous la forme d’un azimut.

À ton tour! p.311 #5-6

Quelle est la différence? OUI NON

Vecteurs parallèles * Caractéristiques: Exemple: Même direction Pas nécessairement le même sens Pas nécessairement la même longueur Exemple:

Vecteurs égaux * Caractéristiques: Exemple: Même direction Même sens Même longueur Leur position n’a pas d’importance Exemple:

Vecteurs opposés * Caractéristiques: Même longueur Même direction Sens opposé L’opposé d’un vecteurs 𝐴𝐵 s’écrit - 𝐴𝐵 .

Exercice Sur le parallélogramme suivant, indique quels vecteurs sont égaux et quels vecteurs sont opposés.

Exemple #5 (p.309) RA: Dessiner des vecteurs opposés et égaux. Trace un vecteur égal à 𝐴𝐵 et nomme-le 𝐸𝐹 (voir p.309). Écris une équation qui indique le lien entre 𝐴𝐵 et 𝐸𝐹 . Trace un vecteur opposé à 𝐴𝐵 et nomme-le 𝐺𝐻 . Écris une équation qui indique le lien entre 𝐴𝐵 et 𝐺𝐻 .

À ton tour! p.309 #7-8-9-10

6.2: L’addition et la soustraction de vecteurs

L’addition de vecteurs 𝑎 + 𝑏 est 𝑎 suivi de 𝑏 . Fais subir une translation à 𝑏 pour que son origine coïncide avec l’extrémité de 𝑎 . Trace un vecteurs de l’origine de 𝑎 à l’extrémité de 𝑏 . Ce nouveau vecteur est la résultante 𝑎 + 𝑏 .

Exemple #2 (p.320) RA: Analyser les vecteurs dans les parallélogrammes. Soit le parallélogramme EFGH, où les diagonales EG et FH se coupent au point J (voir manuel p.320). Exprime chaque vecteur sous la forme de deux sommes différentes de deux vecteurs. 𝐻𝐹 𝐹𝐻 𝐺𝐽 Exprime chaque vecteur sous la forme de deux différences de deux vecteurs.

Exemple #3 (p.321) RA: Résoudre un problème d’angle de relèvement. Pendant une course d’orientation, tu parcours 100 m vers l’est, puis 60 m à 70° EN. À quelle distance es-tu de ton point de départ et selon quel angle de relèvement?

Les lois trigonométriques *

À ton tour P.326 #7

Exploration À l’aide de flèches, teste si les relations suivantes sont vraies. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 +( 𝑣 + 𝑤 ) 𝑣 +0= 𝑣 =0+ 𝑣

Propriétés et l’addition et de la soustraction de vecteurs * Soit 3 vecteurs quelconques, 𝑢 , 𝑣 et 𝑤 : 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 (commutativité) 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 +( 𝑣 + 𝑤 ) (associativité) 𝑣 +0= 𝑣 =0+ 𝑣 (élément neutre)

Exemple #4 RA: Simplifier des expressions vectorielles. Simplifie chaque expression. 𝑢 + 𝑣 − 𝑢 𝑝 + 𝑞 − 𝑝 − 𝑞

À ton tour! Fiche d’exercices.

6.3: La multiplication d’un vecteur par un scalaire

Il existe 2 types de multiplication de vecteurs: Vecteur × vecteur Vecteur × scalaire

Produit scalaire * Vecteur parallèle au premier, dont la longueur est multipliée par le scalaire. Si le scalaire est: Positif: même sens Négatif: sens opposé 2 𝑢 −1,5 𝑢 𝑢

Exemple #1 (p.328) RA: Reconnaître des multiples scalaires. Parmi ces vecteurs, lesquels sont des multiples scalaires du vecteur 𝑣 ? Explique ta réponse. Détermine le scalaire k de chaque multiple scalaire en a). Explique pourquoi les autres vecteurs en a) ne sont pas des multiples scalaires du vecteur 𝑣 .

Exemple #2 (p.329) RA: Représenter le produit d’un vecteur par un scalaire. Soit le vecteur 𝑢 de grandeur 𝑢 =100 km/h, orienté selon un angle de relèvement de 40° EN (voir dessin p.329). Trace un vecteur pour représenter chaque produit. Décris ce vecteur à l’aide de mots. 3 𝑢 0,5 𝑢 −2 𝑢

À ton tour! p.334 #1

Propriétés du produit scalaire * 𝑘( 𝑢 + 𝑣 )=𝑘 𝑢 +𝑘 𝑣 (distributivité) (𝑎𝑏) 𝑤 =𝑎(𝑏 𝑤 ) (associativité) 1 𝑣 = 𝑣 (élément neutre)

À ton tour! p.334 #2

Les combinaisons linéaires de vecteurs * Soit deux vecteurs, 𝑢 et 𝑣 , et les scalaires 𝑠, 𝑡∈ℝ. La quantité 𝑠 𝑢 +𝑡 𝑣 est une combinaison linéaire des vecteurs 𝑢 et 𝑣 . Par exemple, 2 𝑢 −7 𝑣 est une combinaison linéaire des vecteurs 𝑢 et 𝑣 , où s = 2 et t = -7.

Exemple #3 (p.333) RA: Représenter des combinaisons linéaires de vecteurs. Dans le trapèze ABCD (p.333), 𝐵𝐶 𝐴𝐷 et 𝐴𝐷 =3 𝐵𝐶 . Soit 𝐴𝐵 = 𝑢 et 𝐵𝐶 = 𝑣 . Exprime 𝐴𝐷 , 𝐵𝐷 et 𝐶𝐷 sous la forme de combinaisons linéaires de 𝑢 et 𝑣 .

À ton tour! p.334 #2, 4, 5a, 6a, 7

6.4: Les applications de l’addition de vecteurs

Les composantes orthogonales * Déf: Deux vecteurs perpendiculaires dont la somme est un vecteur 𝑣 . Exemple: 𝑣 𝑥 et 𝑣 𝑦 sont les composantes orthogonales de 𝑣 .

Exemple #1 (p.337) RA: Calculer la résultante des composantes orthogonales d’un vecteur. Dessine la résultante de chaque paire de composantes orthogonales. Puis, détermine la grandeur et la direction de la résultante. Un voilier doit parcourir 8 km vers l’est puis 6 km vers le nord pour arriver à destination. (Exprime la direction de la résultante à l’aide d’un azimut.) (Voir le manuel pour l’image.) Dans un modèle numérique de la baie de Fundy, la vitesse vectorielle de l’eau est représentée par deux composantes orthogonales, à savoir 2,5 m/s selon un angle de 45 ° ON et 3,5 m/s selon un angle de 45° OS. (Exprime la direction de la résultante à l’aide d’un angle de relèvement.) (Voir le manuel pour l’image.)

À ton tour! Bref: Pythagore pour longueur de la résultante. Tan-1 pour angle p.343 #1

Vecteur équilibrant (i.e. équilibrante) * Déf: Établit un équilibre avec la résultante. Même grandeur et même direction que la résultante, mais sens contraire. Exemple:

Exemple #2 (p.339) RA: Détermine la résultante et son équilibrante. Un clown de 80 kg est propulsé par un canon avec une force horizontale de 2 000 N. La force verticale qui s’applique est l’accélération due à la force gravitationnelle, 9,8 m/s2, multipliée par la masse du clown. Détermine la grandeur et la direction de la force résultante par rapport à l’horizontale. Détermine la grandeur et la direction de la force équilibrante par rapport à l’horizontale.

Cap et vecteur vitesse sol * Cap = direction vers laquelle on dirige un navire pour compenser l’action d’autres forces. Vecteur vitesse sol = résultante du vecteur vitesse air + vecteur vent/courant. (voir images p.340)

Exemple #3 (p.340) RA: Résoudre un problème de vol. Un avion vole à une vitesse indiquée de 500 km/h selon un cap de 40°. Un vent de 150 km/h souffle depuis un azimut de 120°. Détermine le vecteur vitesse sol de l’avion et la direction du vol.

Exemple #4 (p.341) RA: Résoudre un problème de tension. Un feu de circulation est suspendu à une intersection à l’aide de deux câbles de même longueur qui forment un angle de 10° sous l’horizontale. Ce feu de circulation pèse 2 500 N. Quelle est la tension dans chaque câble?

À ton tour! (problèmes de tension)

6.5: La décomposition de vecteurs

Les composantes horizontale et verticale d’une force Voici Bobby qui tire sa sœur Bobinette. Le force peut être décomposée en une force verticale et une force horizontale. Détermine la longueur des composantes verticale et horizontale de cette force.

Les composantes x et y d’une force * 𝑟 𝑥 =𝑟 cos 𝜃 𝑟 𝑦 =𝑟 sin 𝜃

Exemple #1 (p.348) RA: Déterminer les composantes horizontale et verticale d’une force. Une dépanneuse tire une voiture d’un fossé. La tension dans le câble est de 15 000 N à un angle de 40° par rapport à l’horizontale. Dessine un diagramme qui montre les composantes horizontale et verticale de cette force. Détermine la grandeur des composantes horizontale et verticale de la force.

Exemple #2 (p.348) RA: Déterminer les composantes quand elles ne sont pas horizontale et verticale. Une boîte pesant 140 N est posée sur une rampe inclinée à un angle de 20°. Décompose la force qui maintient la boîte en place.

À ton tour! p.349-350 #1 à 9