Distance Terre-Lune Taille de la Lune Benoît Dasset Georges Comte Michel Ramponi Gérard Trouillot

Ce diaporama comporte deux parties: * Partie 1 : Il s’agit du descriptif de la méthode historique d’Aristarque de Samos ( III ème siècle avant J-C) * Partie 2 : La méthode actuelle par télémétrie Laser

Partie 1 Problème : Comment Aristarque de Samos ( III ème siècle avant J-C) a-t-il mesuré le rayon de la Lune et la distance Terre - Lune ? Pré requis: Théorème de Thalès Conversion degré -radian

Observation : la Lune peut éclipser exactement le soleil Représenter cet évènement : Faites un schéma vu de profil illustrant ce fait. Sur ce schéma devront figurer dans l’ordre et de gauche à droite : le soleil la Lune et son cône d’ombre la Terre

Problème : quelle est la longueur du cône d’ombre de la Lune? TERRE O LUNE Réponse : La longueur du cône d’ombre de la Lune est égale à la distance Terre-Lune OS que l’on notera par la suite x. OS = X SOLEIL

On appelle r le rayon de la Lune et R le rayon de la Terre. Explications : le soleil est beaucoup plus éloigné de la Terre que la Lune.Les rayons qui proviennent du bord supérieur du soleil et qui viennent frapper la Terre et la Lune sont donc parallèles entre eux.Il en est de même des rayons qui proviennent du bord inférieur. Terre Lune K L O x S C On appelle r le rayon de la Lune et R le rayon de la Terre. Question: Exprimer la longueur du cône d’ombre de la Terre L =CK en fonction de x, r et R?

Réponse : En posant :

Information : la Lune progresse par rapport aux étoiles d’une fois son diamètre apparent en 1 heure. Ainsi, la Lune éclipsée demeure totalement immergée dans le cône d’ombre de la Terre pendant 2 heures dans le cas des éclipses les plus longues.

Question : exprimer la section MN du cône d’ombre de la Terre en fonction de r ?

Réponse : MN = 6 r

Question : déterminer en fonction de L, x et R la section MN du cône d’ombre de la Terre en appliquant le théorème de Thalès

Réponse :

Raisonnement intermédiaire : Égaler les 2 expressions de MN trouvées précédemment. En se rappelant que l’on a posé a = R / r et que L = x.a (diapo 8) ,montrer que a vérifie la relation: 2 ( a – 1 ) = 6

Résultats définitifs : Connaissant le rayon de la Terre R = 6400 km, trouver le rayon r de la Lune. La Lune est vue depuis la Terre sous un angle d’ un demi degré soit 1 /114 rad, calculer la distance Terre-Lune notée x.

Réponses : r = R / a ~ 1600 km X= 3200 .114 ~364000 km

Partie 2 La télémétrie « Laser-Lune »: la méthode actuelle de mesure à très grande précision Observatoire de la Côte d’Azur, Plateau de Calern

Télémétrie : du grec « télé » = loin mesure de la distance

Rappel: La trajectoire du centre de la Lune autour de la Terre peut être considérée comme circulaire en première approximation Document Observatoire de la Côte d’Azur

Principe : LUNE cible Impulsions de lumière laser verte (10 tirs par seconde) télescope, laser, horloge «échos» de retour: le télescope capte une très petite fraction de l’énergie envoyée, qui s’est réfléchie sur la cible TERRE

LUNE cible départ de l’impulsion laser: l’horloge indique une « date » t Distance télescope-cible: X X est compris entre 360 000 et 406 000 km TERRE

LUNE cible l’impulsion laser voyage vers la Lune à la vitesse de la lumière, soit 299 792 km/s TERRE

LUNE cible l’impulsion laser atteint le sol de la Lune, là où se trouve le réflecteur TERRE

LUNE cible Une toute petite fraction de l’énergie de l’impulsion est réfléchie dans la direction initiale de l’émission: c’est l’«écho de retour» TERRE

LUNE cible l’«écho de retour» voyage vers la Terre à la vitesse de la lumière TERRE

LUNE cible l’«écho de retour» est capté par le télescope. L’horloge indique une « date de capture » t ’ TERRE

t’ - t = 2X / 299 792 pour t et t’ en secondes LUNE et X en km, en première approximation, on a : LUNE cible t’ - t = 2X / 299 792 Distance télescope-cible: X X est compris entre 360 000 et 406 000 km TERRE

Le film des événements lors d’un tir laser:

un élément fondamental de l’expérience! Le réflecteur : un élément fondamental de l’expérience! La Lune est très loin ; l’énergie lumineuse émise par le laser n’est pas très grande. Il faut impérativement que la petite fraction réfléchie par la cible soit renvoyée dans la direction exacte de l’émetteur si on veut avoir la possibilité de détecter l’écho de retour. Ce résultat est obtenu par des « rétro-réflecteurs en coins de cube » , qui ont été déposés sur la Lune par les sondes Lunokhod et les astronautes des missions Apollo dans les années 70.

Le rétro-réflecteur « coin de cube » : le rayon réfléchi en sort parallèle au rayon incident, quelque soit la direction d’incidence 1) Schéma à deux dimensions : rayons incident et réfléchi sont dans le plan perpendiculaire à la surface des deux miroirs M1 et M2 M1 M2

2) Réflecteurs « coins de cubes » vus à 3 dimensions. Analogie: lancer une balle contre un mur dans l’angle d’une pièce : elle rebondit 3 fois et revient dans une direction parallèle à celle du lancement.

Travaux pratiques : construire un réflecteur « coin de cube » et vérifier le comportement des faisceaux réfléchis. Il faut : 3 petits miroirs carrés (ou rectangulaires) à bords bien droits de la colle (Araldite rapide par exemple) une équerre pour monter les miroirs bien perpendiculaires l’un par rapport à l’autre. une petite diode laser (un pointeur pour écran de projection convient très bien) un support en bois ou en carton pour orienter le rétro-réflecteur après construction.

3) Rétro-réflecteurs « coins de cube » de l’industrie optique: à gauche, 1 élément; à droite, matrice de 21 éléments

4) Le panneau rétro-réflecteur déposé sur le sol de la Lune par les astronautes de la mission Apollo 11.

Positions des réflecteurs Sur la Lune A15 L2 A11 A14

Positions des panneaux rétro-réflecteurs installés sur la Lune

Les problèmes à résoudre : La précision de la mesure du temps. La très faible énergie de l’écho de retour. La lumière parasite

1) la précision de la mesure du temps: Pour n’avoir qu’une erreur de mesure D X sur la distance Terre – Lune au plus égale à 1 mètre, quelle erreur maximale D t peut-on tolérer sur la mesure du temps de parcours de la lumière ? Même question pour D X = 1 cm (précision actuellement atteinte par l’instrument installé au Plateau de Calern)

Pour D X = 1 mètre , D t ≤ 12 10 -9 seconde Réponses : D t / t = 2D X / X Pour D X = 1 mètre , D t ≤ 12 10 -9 seconde Pour D X = 1 centimètre, D t ≤ 0.12 10 -9 seconde Ceci impose d’utiliser des « impulsions » laser (des flashes extrêmement brefs de lumière, permettant un chronométrage très précis grâce à une électronique très rapide.

2) La très faible énergie de l’écho de retour a) Le trajet « ALLER ». Une grande partie de l’énergie émise par le laser n’atteint pas le réflecteur: la principale raison est d’ordre géométrique, à cause de l’ouverture du faisceau. Tache sur la Lune: aire A LASER Le faisceau laser « éclaire » une surface sur le sol lunaire d’air A. Le rapport entre l’énergie reçue par le réflecteur et l’énergie émise par le Laser peut se résumer au rapport des aires : A/a Rendement « Aller »: rA ≈ A/a Évaluons A afin de déterminer ce rendement Réflecteur lunaire: aire a ≈ 0,3 m² Ouverture du faisceau laser ≈ 4’’ d’arc

C’est extrêmement faible! Pour évaluer A il faut calculer le rayon de la tache de diamètre D x D/2 a On a: tan a = (D/2) / x D’où: D = 2 x.tan a AN: avec une distance x voisine de 360 000 km et a ≈ 2’’, on obtient: D ≈ 2 x 360000 tan (2/60/60) ≈ 7 km Soit une tache d’aire A = p x (D/2)² ≈ 3,14 . (7/2)² ≈ 38,5 km² Finalement le rendement « Aller » est évalué à: rA ≈ a/A ≈ 0,3 / 38,5 x 106 rA ≈ 8.10 -9 C’est extrêmement faible!

2) La très faible énergie de l’écho de retour b) Le trajet « RETOUR ». A cause de la nature ondulatoire de la lumière, un phénomène appelé « diffraction » distribue l’ énergie réfléchie par les « coins de cube » dans un faisceau plus large que le faisceau incident. Cette largeur «retour», qui dépend uniquement de la dimension d’un coin de cube élémentaire, est d’environ 12 secondes d’arc. En appliquant la même méthode que précédemment, évaluer le diamètre de la tache, sur le sol terrestre, au sein de laquelle se répartit l’énergie de l’écho de retour. Cet écho est observé avec un télescope de 1.5 mètre de diamètre. En déduire l’ordre de grandeur du rapport : rR = énergie détectable / énergie émise = aire télescope/aire tache

C’est a nouveau extrêmement faible! D’ le diamètre de la tache sur terre a’ l’ouverture du faisceau retour, D’ = 2.x.tan a’ AN: D’ = 2 x 360000 X tan (6/3600) D’≈ 21 km D’où une tache d’aire: A’ = p.(D’/2)² ≈ 346 km² La pupille d’entrée du télescope a une aire: a’ = p.(d’/2)² ≈ 1,8 m² Soit un rendement retour: rR = aire télescope / aire tache rR = 1,8 / 346 .106 rA ≈ 5.10 -9 C’est a nouveau extrêmement faible!

Au mieux, l’énergie de retour détectable n’est que 4 10-17 fois l’énergie émise (et on n’a pas tenu compte de l’extinction par l’atmosphère) Le laser (un laser de puissance à cristal YAG , émettant une lumière verte de longueur d’onde 532 nanomètres) émet des impulsions d’une énergie de 300 millijoules à la cadence de 10 impulsions par seconde. Calculer l’énergie à détecter, dans le cas le plus favorable, pour un écho de retour. N.B.: d’autres problèmes sont à prendre en compte, qui affaiblissent encore davantage l’écho: poussière sur le réflecteur, défaut d’orientation du réflecteur, absorption par l’atmosphère, etc… L’expérience montre qu’il n’est possible de détecter la trace d’un écho de retour qu’environ une fois tous les 100 tirs en moyenne, soit toutes les 10 secondes.

Les problèmes à résoudre : 3) La lumière parasite Le panneau réflecteur déposé sur le sol lunaire est minuscule, (et d’ailleurs invisible!) vu de la Terre, par rapport au diamètre apparent (12’’ ) du faisceau de retour. Mais les 12’’ de sol lunaire, tout autour, rayonnent de la lumière, et envoient dans le télescope une bien plus grande énergie que l’écho ! On résout ce problème en filtrant cette énergie parasite de deux manières : - filtrage spectral (la lumière de l’écho est de longueur d’onde bien déterminée à 532 nanomètres, la lumière ambiante de la Lune a un spectre continu). - filtrage temporel : on « attend » le signal dans une fourchette de temps très précise, rien avant, rien après.

Les deux causes d’erreur principales sur la mesure de la distance Terre – Lune : La durée et la forme de l’impulsion laser L’orientation du plan du panneau réflecteur par rapport à la Terre La précision atteinte aujourd’hui est de l’ordre de 7 millimètres. Elle permet par exemple d’observer que la Lune s’éloigne de la Terre de quelques centimètres par an…

Rétro-réflecteur à 360 000 km Schéma simplifié du télémètre Laser-Lune de l’Observatoire de la Côte d’Azur Miroirs tournants camera Filtres Détecteur (photodiode à avalanche) Laser Fibre départ Horloge (document aimablement communiqué par l’Observatoire de la Côte d’Azur)

Station au Plateau de Calern

La même méthode est appliquée à des satellites artificiels réfléchissants la lumière, avec les mêmes types d’applications. C’est la « télémétrie laser-satellite »

A quoi ça sert ? Non, ce n’est pas juste un jeu vidéo (très coûteux) de plus ! La télémétrie laser-Lune permet de vérifier et de compléter avec une précision très élevée les calculs de l’orbite de la Lune autour de la Terre, d’étudier les mouvements du système Terre-Lune-Soleil (mécanique céleste), et d’analyser les mouvements propres du solide lunaire (oscillations de « libration ») (sélénographie). On pense avoir ainsi réussi à établir l’existence d’un noyau liquide central au centre de la Lune. Elle permet de tester avec une très grande précision des théories physiques fondamentales (principe d’équivalence, théorie de la Relativité Générale)

La télémétrie laser-Lune permet aussi d’observer et de mesurer directement, grâce à deux ou trois stations en deux ou trois points très distants à la surface de la Terre, l’écartement des plaques continentales (géophysique) D1 En mesurant D1 et D2 régulièrement pendant des années, en visant la même cible depuis les stations 1 et 2, on peut établir la variation de la distance d à la surface de la Terre. (quelques mm par an) D2 d

Autres applications des télémètres laser dans la vie de tous les jours: Appareils de mesure rapide et précise des longueurs, peu encombrants, pour les maçons, menuisiers, etc… Contrôle de la vitesse des voitures par les policiers munis de « lidars » infrarouges portatifs.