Lycée ‘’ Mihai Eminescu “ Iassy Fonction logarithme Fonction exponentielle Georgiana Mocanu Classe: le XI-ème A Prof. coordinateur : Cristina Anton - 31 octobre 2011-

musique : savart, construction des gammes, … Les fonctions logarithmes et les fonctions exponentielles dans la vie quotidienne chimie : pH, ... acoustique : décibel, … biologie : magnitude, … musique : savart, construction des gammes, … en Physique (la radioactivité) et bien d’autres applications encore …

Lexique logarithme népérien fonction logarithmigue/fonction logarithme fonction exponentielle( de base a ) puissance logarithme décimal bijective surjective inversable asymptote horizontale asymptote verticale tableau de valeurs monotonie courbe axe de symétrie bissectrice domaine de définition équations inéquations

~ La fonction logarithmique

I)Définition et lois des LOGARITHMES Soit a>1 ,a ≠1 et l`équation ax =n où n est un nombre réel strictement positif. Comme la fonction exponentielle est bijective, on en déduit que l`équation a une seule solution x, qui, par définition, est le logarithme de basse a de n.On note loga x On sait que 3x = 27 x = log3 27 donc an = x n = loga x loga 1 = 0 (car a0 = 1) Ex.: log4 1 = 0 car 40 = 1 Par conséquent : loga c = 1 (car a1 = a) Ex.: log4 4 = 1 car 41 = 4 !!!!!!Remarques: ->LN note le logarithme de base e ;en hommage à John Neper, mathématicien écossais, qui se trouve à l`origine des tables des logarithmes. ->LG note le logarithme de base 10 ,ou le logarithme décimal. En outre, lorsque la base « a » du logarithme est 10, on écrit log x au lieu de log10 x. ou lg x et lorsque la base « a » du logarithme est e, on écrit lg x au lieu de loge x .

Proprietes des logarithmes Note : log3 x2 ≠ log3 2x log3 x2 = log3 (x • x) log3 2x = log3x • log3x car

Exemples : log2 9 log2 3 a) Simplifier . b) Simplifier log2 x2 – log2 x . x2 x log2 x2 – log2 x = log2 = log2 x log2 9 log2 3 log2 32 log2 3 2 log2 3 log2 3 = = = 2 c) Simplifier log6 2x4 + log6 3 . log6 2x4 + log6 3 = log6 (2x4 • 3) = log6 6x4 = log6 6 + log6 x4 = 1 + 4 log6 x

sign(loga x)=sign(a-1)(x-1) Propriétés de la fonction logarithmique( f(x)=loga x) 1.f(1)=0 2.LA MONOTONIE ~si a>1 ,alors f strictement croissante,c`est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient x1<x2=> loga x1< loga x2 ~si 0<a<1 ,alors f strictement décroissante,c `est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient x1<x2=> loga x1> loga x2 3.LE SIGNE (conséquence de monotonie) ~pour a>1, loga x >0 si x>1 et loga x<0 si 0<x<1 ~pour 0<a<1 , loga x>0 si 0<x<1 et loga x<0 si x>1 On remarque que loga x si et seulement si a et x ont la même position par rapport à un. Plus précisément ,si la base et l`argument sont inférieurs à 1 ou supérieurs à 1 , à la fois ,alors loga x>0 ,sinon , loga x<0.Une manière très pratique d’exprimer ce résultat est la suivante : sign(loga x)=sign(a-1)(x-1) 4. f est un fonction bijective donc, inversable.Sa fonction réciproque est la fonction exponentielle. Cela signifie que pour tout y réel, il existe un seul x= ay réel strictement positif,qui est la solution de l`équation:loga x=y. Réciproquement ,l`équation ax =y a une seule solution x=loga y pour tout y réel strictement positif.

5.LES TABLEAUX DE VARIATION: Pour a>0 X 0 1 ∞ | -∞ ↗ 0 ↗ ∞ 0 1 ∞ | -∞ ↗ 0 ↗ ∞ 1 1 Pour 0<a<1 X 0 1 ∞ | ∞ ↘ 0 ↘ -∞ *On a la droite d`équation x=0 comme asymptote verticale.

6.Graphique: est trasé pqr des points . Gf admit des asymptotes. 7.L`intersection avec l`xOy 8.Injectivité La fonction exponentielle est un fonction injective .On utilise l`injectivité pour résoudre d’inéquations: 9.Surjectivité: La fonction logarithmique est une fonction surjective .On utilise la surjectivité pour résoudre d’inéquations. loga x=y=>x= ay

10.Bijectivité Note: Les represéntations graphiques de la fonction exponentielle f: ->(0, ∞) , f(x)= ax et de la fonction logarithmique f: (0, ∞)-> , ,f(x)= loga x sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice

Équations logaritmiques et graphique f(x) = logc x (forme générale de BASE) Exemple : f(x) = log2 x (forme générale de BASE où c  1 ) f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) Exemple: : f(x) = 3 • log2 6(x – 1) + 5 Exemple : x = h (Équation de l’asymptote) 1 1)f(x) = log2 x x f(x)  1 2 1 4 2 Asymptote x = 0 8 3 ½ -1 ¼ -2

2)f(x) = log½ x x f(x)  1 2 -1 4 -2 8 -3 ½ 1 ¼ 2 x f(x) (forme générale de BASE où c  ]0, 1[ ) 1 x f(x)  Asymptote x = 0 1 2 -1 4 -2 8 -3 1 ½ 1 ¼ 2 x f(x) 3)f(x) = log2 (x + 4) -4  (forme c  1 et h = -4) -3 -2 1 2 Asymptote x = - 4 4 3

f(x) = a logcb(x – h) + k x = h Dom f = ] k , +∞ Ima f =  1 f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) c  1 x = h (Équation de l’asymptote) Dom f = ] k , +∞ Ima f =  1) f(x) = log2 (x + 4) 1 Asymptote x = h (forme c  1 et h = -4) c  ] 0 ,1 [ x f(x) Asymptote x = - 4 -4  -3 -2 1 2 4 3

Résolutions d’inéquations Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . 1 log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . Asymptote x = - 4 Asymptote x = 6

Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 Il faut que x + 4 > 0 et que x – 6 > 0 donc que x > - 4 et que x > 6 log2 (x + 4) + log2 (x – 6)  9 – 5 log2 [ (x + 4) • (x – 6) ]  4 (x + 4) • (x – 6)  24 x2 – 2x – 24  16 x2 – 2x – 40  0 x1  – 5,40 x2  7,40 À rejeter Réponse : x  [ 7,40 , +

Exemple #2 : Résoudre (1/2)x + 3 ≤ 52x – 1 . log (1/2)x + 3 ≤ log 52x – 1 . (x + 3) • log (1/2) ≤ (2x – 1) • log 5 (x + 3) • (- 0,3) ≤ (2x – 1) • (0,7) - 0,3x – 0,9 ≤ 1,4x – 0,7 - 0,2 ≤ 1,7x - 0,12 ≤ x Réponse : x  [ - 0,12 , +

Base naturelle « e » e ≈ 2,7182818… ex = y x = loge y loge x = ln x Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme : e ≈ 2,7182818… C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels. Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que : ex = y x = loge y Cependant, lorsque la base « c » du logarithme est e, on écrit ln x au lieu de loge x. loge x = ln x

La fonction Exponentielle

Définition Soit q un nombre réel strictement positif et x un nombre réel quelconque : Si x est un nombre rationnel, alors ax est défini. On veut attribuer un sens à ax pour x irrationelle.Pour cela, rappelons quelques résultats d’analiyse mathématique concernant les suites convergentes: 1. Pour tout nombre réel x , il existe deux suites des nombres rationnels ,tel que Note:On peut prendre les suites comme les approximations décimales Par défaut ;respectivement par excès: est une suite convergente de nombres rationnels 2.Si a est un réel, a>0 et et alors la suite et est aussi convergente. 3.Pour tous réels x et y, ex > ey  x > y ex = ey  x = y ex > 1  x > 0 ex < 1  x < 0

Propriétés des logarithmes TERMINOLOGIE base exposant = puissance Ex. : 32 = 9 LOIS DES EXPOSANTS a b am bm m  am • an = am + n  = am an  = am – n  (am)n = amn 1 am  (ab)m = am bm  a - m =

Proprietes de la fonction exponentielle 2.La monotonie de f f strictement croissante pour a>1,ce qui équivaut à: tous -f est strictement décroissante pour 0<a<1 ,ce qui équivaut à:

5.LES TABLEAUX DE VARIATION: Pour a>0 X -∞ 0 ∞ f(x)= 0 ↗ 1 ↗ ∞ Pour 0<a<1 X -∞ 0 ∞ f(x)= ∞ ↘ 1 ↘ 0 *On a la droite d`équation x=0 comme asymptote verticale.

6.Graphique: est trasée pqr des points . Gf admet des asymptotes. 7.L`intersection avec l`xOy 8.Injectivité La fonction exponentielle est un fonction injective .On utilise l`injectivité pour résoudre d’équations. 9.Surjectivité: La fonction logarithmique est une fonction surjective .On utilise la surjectivité pour résoudre d’inéquations. .

10.Bijectivité Note: Les représentations graphiques de la fonction exponentielle f: ->(0, ∞) , f(x)= ax et de la fonction logarithmique f: (0, ∞)-> , ,f(x)= loga x sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice

De plus, nous pouvons ln au lieu du log afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles. Exemple : Avec LOG Avec LN 3x = 2x – 1 3x = 2x – 1 log 3x = log 2x – 1 ln 3x = ln 2x – 1 x • log 3 = (x – 1) • log 2 x • ln 3 = (x – 1) • ln 2 x • (0,477) = (x – 1) • (0,3) x • (1,1) = (x – 1) • (0,7) 0,477x = 0,3x – 0,3 1,1x = 0,7x – 0,7 0,177x = – 0,3 0,4x = – 0,7 x = – 1,7 x = – 1,7 Réponse : x  { -1,7 } Réponse : x  { -1,7 }

Équations et graphique f(x) = cx (forme générale de BASE) Exemple : f(x) = 2x f(x) = acb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) Exemple : f(x) = 3 • 24(x – 3) + 5 f(x) = acx – h + k (forme CANONIQUE) Exemple : f(x) = 3 • 2x – 3 + 5

1)f(x) = 2 • 3x – 1 – 5 x f(x) - 4,3 1 - 3 2 1 3 13 -1 - 4,8 -2 - 4,9 (forme générale TRANSFORMÉE) x f(x) - 4,3 1 - 3 2 1 3 13 y = - 5 (asymptote) -1 - 4,8 -2 - 4,9

Équation de l’asymptote 1 2)f(x) = a cb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) c  ] 0 ,1 [ c  1 y = k Équation de l’asymptote Dom f =  Ima f = ] k , +∞ y = k (asymptote)

Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 1) – 539 . 0 = 11 (72x – 1) – 539 539 = 11 (72x – 1) 49 = 72x – 1 72 = 72x – 1 2 = 2x – 1 3 = 2x 3 2 = x 3 2 Réponse : x  { }

1 2 Exemple #2 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6x+1) – 108 . 1 2 0 = (6x+1) – 108 1 2 108 = (6x+1) 216 = 6x+1 63 = 6x+1 3 = x + 1 2 = x Réponse : x  { 2 }

1 5 Exemple #3 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )3x – 1 . 1 5 0 = 625 ( )3x – 1 1 625 1 5 = ( )3x 1 54 1 5 = ( )3x 1 5 1 5 ( )4 = ( )3x 4 = 3x 4 3 4 3 = x Réponse : x  { }

1 4 Exemple #4 : Résoudre ( )8x = 2-10x + 18 . 1 22 ( )8x = 2-10x + 18 (2-2)8x = 2-10x +18 2-16x = 2-10x + 18 -16x = -10x + 18 -18 = 6x -3 = x Réponse : x  { -3 }

Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3-0,08x) < 52 . Exemple : Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3-0,08x) < 52 . -26 + 234 (3-0,08x) < 52 3 10 234 (3-0,08x) < 78 1 3 3-0,08x < y = 52 3-0,08x < 3-1 -0,08x < -1 x  12,5 y = - 26 (asymptote) Réponse : x  ] 12,5 , + ∞

À partir d’un problème de « BACTÉRIES » … Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 128 000 ? f(x) = 500 (2)x/5 128 000 = 500 (2)x/5 256 = (2)x/5 28 = 2x/5 x 5 8 = 40 = x Réponse : Après 40 heures.

Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options. a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement. b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois. Laquelle est la plus avantageuse ? a) Règle générale… Après 3 ans… 0,05 1 C(t) = 1000 (1 + )1t C(3) = 1000 (1,05)3 C(3) ≈ 1157,63 C(t) = 1000 (1,05)t Réponse : 1157,63 $ b) Règle générale… Après 3 ans… 0,05 3 C(t) = 1000 (1 + )3t C(3) = 1000 (1,01667)3(3) C(3) ≈ 1160,40 C(t) = 1000 (1,01667)3t Réponse : 1160,40 $ c) Règle générale… Après 3 ans… 0,05 12 C(t) = 1000 (1 + )12t C(3) = 1000 (1,0041667)12(3) C(3) ≈ 1161,47 C(t) = 1000 (1,0041667)12t Réponse : 1161,47 $

Devoir: 1. Résoudre dans IR les équations suivantes : a)ex = 2 b)ln(x) = 3 c)e2x+3 = 1 d)e2x – 5 = e x e)ex = e4x²+5x+1 f) ln(2x+1) - ln(x-1) = 1 g)ln(x-2) + ln(x+1) = ln(3x-5) 2. On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options. a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement. b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois.

Sources principales: http://matematicadnl.wikispaces.com/ www.wikipedia.com “Ghid pentru bacalaureatul bilingv francofon”-Sorina Danaila , Gabriela Siclovan,Gabriela Sandulescu Programs utilisés: Microsoft Office 2007; Mathtype 6.7; Graph 4.3; Paint;