Faculté des sciences Aïn chock Systèmes de coordonnées UNIVERSITÉ HASSAN II DE CASABLANCA Faculté des sciences Aïn chock Systèmes de coordonnées Réalisé par A. KHAYAR R. MARRAKH

Systèmes de coordonnées

Coordonnées cartésiennes Khayar-marrakh Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques

Coordonnées cartésiennes Khayar-marrakh Coordonnées cartésiennes

Khayar-marrakh  Dessiner en perspective signifie chercher à représenter sur un plan les objets de l’espace en donnant l’illusion de la profondeur c-à-d la 3ième dimension  On choisit généralement, pour repérer l’espace à trois dimensions, un système d’axes rectangulaire représenté en perspective.

z y x et  donne l’axe (orienté) et  donne l’axe (orienté) Dans le système cartésien imaginé par DESCARTES, l’espace à trois dimensions est repéré par le coin d’une salle de classe. Dans ce système d’axes le point M est repéré par les projections orthogonales : m dans le plan Oxy m1 : sur l’axe des x m2 : sur l’axe des y et m3 : sur l’axe des z Les deux murs et le sol sont remplacés par trois plans indéfinis ,  et , où : x = Om1 , y = Om2 et z = Om3. m3  B A z z L’intersection des plans  et  donne l’axe (orienté) des coordonnées x et l’intersection des plans  et  donne l’axe (orienté) des coordonnées z L’intersection des plans  et  donne l’axe (orienté) des coordonnées y  La position d’un point M dans cet espace est parfaitement déterminée quand on connaît les distances appelés : surfaces de coordonnées M ( , , ) O y y m2 des mesures algébriques, appelées : coordonnées cartésiennes. x x m1 MA, MB et MC. C m y  x

Surfaces de Coordonnées Khayar-marrakh Surfaces de Coordonnées Définition : Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante. Première surface de coordonnée x = xo (y et z varient de –  à + ) : plan indéfini, parallèle au plan Oyz Deuxième surface de coordonnée y = yo (x et z varient de –  à + ) : plan indéfini, parallèle au plan Oxz Troisième surface de coordonnée z = zo (x et y varient de –  à + ) : plan indéfini, parallèle au plan Oxy

z y x X = – 2 X = – 1 Surface de coordonnée X = 0 X = 1 X = 2 X = 3 Surfaces de coordonnées x = Cte . X = 3 X = 4 y x Il s’agit d’une infinité de surfaces x = Cte // au plan Oyz.

z y x Surface de coordonnée X = 3 y = – 3 y = – 2 y = – 1 y = 0 y = 1 Surfaces de coordonnées y = Cte . y = 0 O y = 1 y = 2 y = 3 y x Il s’agit d’une infinité de surfaces y = Cte // au plan Oxz.

z O y y x z = 3 z = 2 z = 1 Surface de coordonnée z = 0 z = – 1 Surfaces de coordonnées z = Cte . z = 1 y y Surface de coordonnée z = 0 z = – 1 x z = – 2 Il s’agit d’une infinité de surfaces z = Cte // au plan Oxy.

Axes de Coordonnées Définition : Khayar-marrakh Axes de Coordonnées Définition : Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième. Axe des x Intersection des surfaces y = yo et z = zo Axe des y Intersection des surfaces x = xo et z = zo Axe des z Intersection des surfaces x = xo et y = yo

Leur intersection donne Axe des x Khayar-marrakh de coordonnées : On trace les deux surfaces y = yo et z = zo yo l’axe (orienté) des x Leur intersection donne x zo L’ensemble des points M, appartenant à l’intersection des plans yo et zo , forme une droite appelée axe des x .

Leur intersection donne Axe des y Khayar-marrakh On trace les deux surfaces de coordonnées : xo x = xo et z = zo l’axe (orienté) des y y Leur intersection donne zo L’ensemble des points M, appartenant à l’intersection des plans xo et zo , forme une droite appelée axe des y .

Leur intersection donne Axe des Z z Khayar-marrakh de coordonnées : On trace les deux surfaces x = xo et y = yo xo yo l’axe (orienté) des z Leur intersection donne L’ensemble des points M, appartenant à l’intersection des plans xo et yo , forme une droite appelée axe des z .

 Les trois axes de coordonnées Ox , Oy et Oz sont des droites Vecteurs unitaires z y O Coordon- nées Domaine de variation Vecteurs unitaires z z Pour tracer un repère, on choisit en général Oy perpendiculaire à Oz ex M ( , , ) X ] -  , +  [ et Ox la bissectrice de l’angle yOz. ayant le même sens que O x. y ey ] -  , +  [ ez Origine : le point O ey y y ayant le même sens que O y. z ez ex ] -  , +  [ x Origine : le point O x x ayant le même sens que O z. m Origine : le point O  Les trois axes de coordonnées Ox , Oy et Oz sont des droites indéfinies orientées de vecteurs unitaires , et  ex ey ez

Vecteur position Khayar-marrakh z y x Un repère orthonormé (O, , , ) sert à localiser un point quelconque par rapport un observateur placé à l’origine O. ex ey ez z On défini le vecteur position OM par : M ( , , ) x y z ez OM = Om1 + m1m + mM z = x + y + z ex ey ez ey y O ex x m1 x y m

x y z Soient M et M' deux points de l’espace. Déplacement élémentaire Khayar-marrakh O z y x M z x y M' x + d x Soient M et M' deux points de l’espace. y + d y N.B. : M est infiniment voisin de M. z + dz M M Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire dans ce système de coordonnées ? dl = MM' dx dz Réponse : Question : Le déplacement élémentaire est le résultat de trois déplacements : de M à M' M1 dy M2 Premier déplacement suivant l’axe des x MM1 = M1 M2 = M2 M' = dx dy dz de M vers M1 MM1 = dx y Deuxième déplacement suivant l’axe des M M1 z x y x + dx M2 M’ z x + dx y + dy z + dz M1 M2 z x y x + dx y + dy de M1 vers M2 MM' = MM1 + M1 M2 + M2 M' M1 M2 = dy z Troisième déplacement suivant l’axe des de M2 vers M' M2 M = dz

dS dy dz = = On se trouve sur le plan Oyz x = constante ( x = 0 ) Surfaces élémentaires Khayar-marrakh On se trouve sur le plan Oyz ( x = 0 ) x = constante M x y z O Un déplacement élémentaire MM’ sur la surface x = constante définit un élément de surface . M’ Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des y , dz dS suivi d’un autre suivant l’axe des z , on obtient l’élément : dy N.B. : M’ est infiniment voisin de M. dz dS = Λ dy dz = dy dS dS = dy dz

dz dS dx dx dz = = y = constante Dans le plan Oxz ( y = 0 ) Khayar-marrakh x y z O on obtient l’élément de surface : Dans le plan Oxz ( y = 0 ) dx dS dx dz dS dz dS dz dx = Λ dx dz = dS = dx dz

dS dx dy dx dy = = z = constante Dans le plan Oxy ( z = 0 ) Khayar-marrakh x y z O on obtient l’élément de surface : Dans le plan Oxy ( z = 0 ) dS dy dS dx dx dy dS dx = Λ dy dx dy = dS = dx dy

dt = ( ) dx dy dz = On obtient le volume élémentaire dt Khayar-marrakh O z y x z Soient M et M' deux points de l’espace. N.B. : M' est infiniment voisin de M. M' Un déplacement élémentaire MM' dt définit un élément de volume dt. M Traçons d’abord les axes de coordonnées On obtient le volume élémentaire dt et effectuons des déplacements élémentaires le long de ces axes. Surface de la base dt = ( ) Λ dx dt = dx dy dz dz dx dy dz = dy Retour

Coordonnées cylindriques Khayar-marrakh Coordonnées cylindriques Retour

Les coordonnées cartésiennes employées habituellement pour représenter un point dans l'espace à trois dimensions ne sont pas toujours les plus appropriées. On retiendra deux autres types de coordonnées pour repérer un point ou décrire un champ ( scalaire ou vectoriel ) : les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques.

Pré-requis : Objectifs : Système de coordonnées cartésiennes; Khayar-marrakh Pré-requis : Système de coordonnées cartésiennes; Grandeurs scalaires et vectorielles; Calcul vectoriel : produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte…etc. Objectifs : Repérer un point de l’espace en utilisant le système de coordonnées cylindriques; Passer des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes; Utiliser ce système de coordonnées pour la résolution des problèmes présentant une symétrie cylindrique.

Ox+ le demi-axe positif Khayar-marrakh Voici un point M dans l’espace. Comment le repérer ? Ainsi le point M est repéré par les nouvelles coordonnées r , j et z. Ces coordonnées sont appelées coordonnées cylindriques. y x z O Peut on repérer le point m dans le plan Oxy par de nouvelles coordonnées ? Utilisons d’abord le système cartésien. si on connait la distance Om = r Question : M ( , , ) Oui, le point m est parfaitement repéré, On trace les axes du repère et on exprime M en coordonnées cartésiennes. Coordonnées Domaine de variation Réponse : z z r = Om [ 0 , +  [ et l’écart angulaire j. y y j = ( Ox+, Om) [ 0 , 2p [  Origine : le point O x x j j   z = mM ] -  , +  [ m Ox+ le demi-axe positif (origine des phases)

Objectif : On cherche à exprimer x et y en fonction de r et j. Expressions de r et j en fonction de x et y. Khayar-marrakh z f ( r , j ) M g ( r , j ) y m m' x  O j y O y x x j j   Objectif : On cherche à exprimer x et y en fonction de r et j. Soient les coordonnées ( x , y ) et ( r , j ) du point m. m' m x On considère le triangle rectangle Om'm. Dans ce triangle on a :

Surfaces de Coordonnées Khayar-marrakh Surfaces de Coordonnées Définition : Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante. Première surface de coordonnée r = ro ( j et z varient respectivement de 0 à 2p et de –  à +  ) Deuxième surface de coordonnée j = j o ( r et z varient respectivement de 0 à +  et de –  à +  ) Troisième surface de coordonnée z = zo ( r et j varient respectivement de 0 à +  et de 0 à 2p )

Lorsqu’on fait varier j de 0 à 2p… Première surface de coordonnée r = ro z Khayar-marrakh Pour z = 0 : ( M ≡ m ) Lorsqu’on fait varier j de 0 à 2p… Soit M un point de coordonnées r , j et z. Si on fixe r ( r = ro ) Réponse : M m Le point M décrit un cercle de centre O et de rayon ro. Quelle est la surface décrite par le point M lorsqu’on fait varier j et z ? Question : Pour z quelconque : O r0 r j y Lorsqu’on fait varier z de façon continue… M Pour z > 0 : Les cercles sont au dessus du plan Oxy. [ 0,2p [ ] , [ L’ensemble des cercles forme un cylindre indéfini. x Pour z < 0 : Les cercles sont au dessous du plan Oxy. C’est la raison pour laquelle ce système est appelé système de coordonnées cylindriques Les surfaces de coordonnées sont des cylindres de révolution d’axe Oz.

Lorsqu’on fait varier uniquement r de 0 à +  … Deuxième surface de coordonnée j = jo Khayar-marrakh z Pour z = 0 : ( M ≡ m ) Si on fixe j ( j = jo ) Lorsqu’on fait varier uniquement r de 0 à +  … Question : Réponse : Le point M décrit, à partir de l’origine O, une demi-droite, dans le plan Oxy, faisant un angle jo avec l’axe Ox+. Quelle est la surface décrite par le point M lorsqu’on fait varier r et z ? M z Pour z quelconque : [ 0 ,  [ ] ,   [ Pour z > 0 : o Si on fait varier z de façon continue … y Les demi-droites sont au-dessus du plan Oxy j jo r Pour z < 0 : m Les demi-droites sont au-dessous du plan Oxy L’ensemble des demi-droites forme un demi- plan ayant l’axe Oz pour frontière et faisant un angle jo avec l’axe Ox+. x Les surfaces de coordonnées sont des demi-plans (les méridiens) ayant comme frontière l’axe Oz.

Le point M décrit un cercle de centre O et de rayon r . Troisième surface de coordonnée z = zo Khayar-marrakh Si on fixe z ( z = zo ) Lorsqu’on fait varier j de 0 à 2p … z Réponse : Question : Quelle est la surface décrite par le point M lorsqu’on varie j et r ? O′ Z 0 Z o r Le point M décrit un cercle de centre O et de rayon r . M Maintenant, si on fait varier r de façon continue … Pour d’autres valeurs de r , on obtient un ensemble de cercles de centre O′ . [ 0 , 2p [ [ 0 , [ O r j y m L’ensemble de cercles de centre O forme un disque de rayon infini plan de cote zo . x Les surfaces de coordonnées sont des plans perpendiculaires à l’axe Oz.

Axes de Coordonnées Définition : Khayar-marrakh Axes de Coordonnées Définition : Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième. Axe des r Intersection des surfaces z = zo et φ = φo Axe des j Intersection des surfaces  = o et z = zo Axe des z Intersection des surfaces  = o et φ = φo

Leur intersection donne Axe des r Khayar-marrakh z On trace les deux surfaces de coordonnées :  = o Z = Zo et zo r Leur intersection donne l’axe (orienté) des r O jo y L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du plan, de cote zo et du demi-plan jo, forme une demi-droite perpendiculaire à l’axe Oz. Cette demi-droite, ayant son origine sur Oz, est appelée axe des r. x Les axes de coordonnées r sont des demi-droites perpendiculaire à l’axe Oz.

Leur intersection donne Axe des j Khayar-marrakh z On trace les deux surfaces de coordonnées : ro ro r = ro et Z = Zo  Zo o Leur intersection donne l’axe (orienté) des j y x L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du plan, de cote zo, et du cylindre de rayon ro; forme une circonférence d’axe Oz. Ce cercle est appelé axe des j. Les axes de coordonnées j sont des cercles d’axe Oz.

Leur intersection donne Axe des z Khayar-marrakh z z ro On trace les deux surfaces de coordonnées : r = ro  = o et o Leur intersection donne l’axe (orienté) des z y jo x L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du cylindre, de rayon ro, et du demi-plan jo, forme une droite perpendiculaire aux plans Oxy. Cette droite est appelée axe des z. Les axes de coordonnées z sont des droites perpendiculaires au plan Oxy.

Vecteurs unitaires Khayar-marrakh z O z y x z Traçons à partir du point M les trois axes de coordonnées. A partir de M on trace les vecteurs unitaires. ez ez j r O’  O′ er Axes vecteurs unitaires ej M' ej M er r j ayant le même sens que Or. tangent à l’axe des j et dans le sens de la rotation. z ayant le même sens que O z. sont respectivement les vecteurs unitaires associés aux axes des r, des j et des z dirigés dans le sens croissant des variables r, j et z . et changent de direction et de sens, suivant la position du point M dans l’espace. Pour un autre point M'  La base cylindrique est dite locale car l’orientation de et dépend de la position du point M. 

Objectif: On cherche à exprimer , et dans le système cartésien. Expressions de , et dans le système cartésien er ej ez Khayar-marrakh Cette transformation peut se faire à l’aide d’une matrice de transformation : Dans le plan Oxy on a la configuration suivante : O z y x x y O ex ey ej e m z ej e ez soit : ej Ces deux vecteurs unitaires sont identiques dans les deux systèmes de coordonnées Objectif: On cherche à exprimer , et dans le système cartésien. er ej ez j Réalisons une vue de dessus. M er r ez ex ey j avec : j j m

j r z z Soient M et M deux points de l’espace. Déplacement élémentaire Khayar-marrakh O z y x z M z r j M r + d r Soient M et M deux points de l’espace. j + d j N.B. : M est infiniment voisin de M. j O' z + dz M dj  M1 dz  Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire dans ce système de coordonnées ? dl = MM M dj d M2 Le déplacement élémentaire est le résultat de trois déplacements : de M à M Réponse : Question : j Premier déplacement suivant l’axe des MM1 = M1 M2 = M2 M =  dj d dz de M vers M1 MM1 =  dj r Deuxième déplacement suivant l’axe des M2 M’ z r + dr j + dj z + dz M M1 z r j j + dj MM = MM1 + M1 M2 + M2 M M1 M2 z r j + dj r + dr de M1 vers M2 ou encore : M1 M2 = d z Troisième déplacement suivant l’axe des MM = M1M2 + MM1 + M2 M de M2 vers M M2 M = dz

Surfaces élémentaires Khayar-marrakh z On se trouve sur la surface latérale du cylindre de rayon r r = constante M Un déplacement élémentaire MM’ sur la surface latérale du cylindre r = constante définit un élément de surface M' Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des j , suivi d’un autre suivant l’axe des z , on obtient l’élément de surface dj N.B. : M' est infiniment voisin de M. dS  dS dS = Λ d z O y r dj dz = r d j x dS = r dj dz 38

Khayar-marrakh On se trouve sur un plan parallèle au plan Oxy de cote z. z = constante x y z O Un déplacement élémentaire MM’ sur le plan z = constante définit un élément de surface M M' dS j dj  z r on obtient l’élément Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des j, N.B. : M' est infiniment voisin de M. dS dj r suivi d’un autre le long de l’axe des r, dS = Λ dr r dr dj = dS = r dr dj

j dS dr dz z r = = On se trouve sur le demi-plan j. j = constante Khayar-marrakh z O x y z On se trouve sur le demi-plan j. j = constante Un déplacement élémentaire M M', sur la surface j = constante, définit un élément de surface . M M' dS r Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des r , on obtient un élément de surface suivi d’un autre suivant l’axe des z , j dS N.B. : M' est infiniment voisin de M. dz dr dS = Λ dS = dr dz dr dz =

dt dt = ( ) r dr dj dz = On obtient le volume élémentaire dt Khayar-marrakh z O z y x Soient M et M' deux points de l’espace. N.B. : M' est infiniment voisin de M. dj M' j dj  O’ Un déplacement élémentaire MM' définit un élément de volume dt. dt M Traçons d’abord les axes de coordonnées On obtient le volume élémentaire dt et effectuons des déplacements élémentaires le long de ces axes. Surface de la base dt = ( ) Λ dz dj dt = r dr dj dz = r dr dj dz d Retour

Coordonnées sphériques Khayar-marrakh Coordonnées sphériques Retour

Les coordonnées cartésiennes employées habituellement pour représenter un point dans l'espace à trois dimensions ne sont pas toujours les plus appropriées. On retiendra deux autres types de coordonnées pour repérer un point ou décrire un champ ( scalaire ou vectoriel ) : les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques.

Pré-requis : Objectifs : Khayar-marrakh Systèmes de coordonnées cartésiennes et cylindriques; Grandeurs scalaires et vectorielles; Calcul vectoriel : produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte…etc. Objectifs : Repérer un point de l’espace en utilisant le système des coordonnées sphériques; Passer des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes; Utiliser ce système de coordonnées pour la résolution des problèmes présentant une symétrie sphérique.

Oz+ le demi-axe positif Ox+ le demi-axe positif Khayar-marrakh Voici un point M dans l’espace. y x z O y x z O y x z O Ainsi le point M est repéré par les nouvelles coordonnées r , q et j. Ces coordonnées sont appelées coordonnées sphériques. Comment le repérer ? Peut on repérer le point M dans le demi plan j = constante par de nouvelles coordonnées ? Coordonnées Domaine de variation Question : Réponse : On trace les axes du repère et on exprime M en coordonnées cylindriques. Oui, le point M est parfaitement repéré dans le plan méridien, si on connait la distance OM = r M ( , , ) r = OM [ 0 , +  [ z z et l’angle q. r r q q q = ( Oz+, OM) [ 0 , p ]  Origine : le point O j = ( Ox+, Om) [ 0 , 2p [  j j j   Oz+ le demi-axe positif (origine des phases) m Ox+ le demi-axe positif (origine des phases) 45

Objectif : On cherche à exprimer x , y et z en fonction de r, q et j . Expressions de r, q et j en fonction de x , y et z. P z Khayar-marrakh O f ( r , q , j ) z g ( r , q , j ) M h ( r , q , j ) q r z O O′ M r q y m m′ x  O j y O y P x r r Soient r, q et j les coordonnées du point M. Dans le plan P ( Oxy ) Objectif : On cherche à exprimer x , y et z en fonction de r, q et j . j j Dans le demi-plan P exprimons x et y en fonction de r et j . exprimons r et z en fonction de r et q. m′ On considère le triangle rectangle Om′m. x m On considère le triangle rectangle OO′M. Dans ce triangle on a : Dans ce triangle on a :

Surfaces de Coordonnées Khayar-marrakh Surfaces de Coordonnées Définition : Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante. Première surface de coordonnée r = r0 ( q et j varient respectivement de 0 à p et de 0 à 2 p ) Deuxième surface de coordonnée q = q 0 ( r et j varient respectivement de 0 à +  et de 0 à 2 p ) Troisième surface de coordonnée j = j 0 ( r et q varient respectivement de 0 à +  et de 0 à p )

sphériques Pour q = q1 : Dans une rotation j = 2p… Pour θ quelconque : Première surface de coordonnée r = ro Khayar-marrakh Pour q = q1 : z Soit M un point de coordonnées r , q et j. Dans une rotation j = 2p… Pour θ quelconque : Si on fixe r ( r = ro) Réponse : Lorsqu’on fait varier θ de façon continue … O' r0 sin θ1 M Quelle est la surface décrite par le point M lorsqu’on fait varier j et q? Question : r0 r q q1 r0 sin θ2 q2 Le point M décrit un cercle de centre O' et de rayon ro sin q1 . O r0 y j r0 sin θ2 m Pour q = q2 , q3 =   2 , q4 =  - q2 et q5 =  - q1 : L’ensemble des cercles forme une sphère de centre O et de rayon ro. r0 sin θ1 [ 0 , 2p [ [ 0 , p ] x On obtient un ensemble de cercles d’axe Oz et de rayon rosin qi ( i = 2 , 3…) C’est la raison pour laquelle ce système est appelé système de coordonnées sphériques Les surfaces de coordonnées sont des sphères concentriques de centre O.

La surface de coordonnée q = /2 z Deuxième surface de coordonnée q = qo Khayar-marrakh Pour r = r1 : Dans une rotation j = 2p… Soit M un point de coordonnées r , q et j. z Pour r quelconque : Si on fixe q ( q = q0 ) Réponse : M Lorsqu’on fait varier r de façon continue … r4 Quelle est la surface décrite par le point M lorsqu’on fait varier  et r ? Question : Le point M décrit un cercle d’axe Oz et de rayon r1 sin qo . M r3 q0 M r2 Pour r = r2, r = r3 et r = r4 … M q0 q r r1 On obtient un ensemble de cercles d’axe Oz et de rayons ri sin qo ( i = 2 , 3…). [ 0 , 2p [ [ 0 , + [ O L’ensemble de cercles d’axe Oz et de rayons r sin θo forme un cône d’axe Oz et de demi angle au sommet qo. y j m x Cas particulier : La surface de coordonnée q = /2 correspond au plan OXY. Les surfaces de coordonnées sont des cônes d’axe Oz.

demi-plan. Pour r = r1 : Pour r quelconque : Dans une rotation q = p… Troisième surface de coordonnée j = jo Khayar-marrakh z Pour r = r1 : Pour r quelconque : Soit M un point de coordonnées r , q et j. Dans une rotation q = p… Lorsqu’on fait varier r de façon continue … Si on fixe j ( j = j0 ) Réponse : M r4 M Question : Le point M décrit un demi-cercle de centre O et de rayon r1. r3 Quelle est la surface décrite par le point M lorsqu’on fait varier q et r ? M r2 M Pour r = r2, r = r3 et r = r4 … q L’ensemble des demi-cercles forme un demi- disque de rayon indéfini r r1 r2 r3 r1 r4 j0 On obtient des demi-cercles de centre O et de rayons ri ( i = 2 , 3 , 4 …). demi-plan. O y [ 0 , p ] [ 0 , + [ j m x Les surfaces de coordonnées sont des demi-plans (les méridiens) ayant comme frontière l’axe Oz.

Axes de Coordonnées Définition : Khayar-marrakh Axes de Coordonnées Définition : Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième. Axe des r Intersection des surfaces  = o et φ = φo Axe des q Intersection des surfaces r = ro et φ = φo Axe des j Intersection des surfaces r = ro et  = o

Leur intersection donne Axe des r Khayar-marrakh r z On trace les deux surfaces de coordonnées : q = qo j = jo et qo o Leur intersection donne l’axe (orienté) des r jo y x L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du cône, de sommet O, et du demi-plan jo; forme une demi-droite d’origine O. Cette demi-droite est appelée axe des r. Les axes de coordonnées r sont des demi-droites radiales d’origine O.

Leur intersection donne Axe des q Khayar-marrakh x O z O z y x On trace les deux surfaces de coordonnées : r = ro j = jo et q jo Leur intersection donne l’axe (orienté) des q L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon ro, et du demi-plan jo; forme un demi-cercle de centre O et dont le diamètre est porté par l’axe Oz. Ce demi-cercle est appelé axe des q. Les axes de coordonnées q sont des demi-cercles de centre O et de diamètre appartenant à l’axe Oz.

Leur intersection donne Axe des j z Khayar-marrakh On trace les deux surfaces de coordonnées : r = ro q = qo et j o y Leur intersection donne l’axe (orienté) des j x L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon ro, et du cône, de demi-angle au sommet qo; forme une circonférence d’axe Oz. Ce cercle est appelé axe des j. Les axes de coordonnées j sont des cercles d’axe Oz.

Vecteurs unitaires Khayar-marrakh z O y x r Traçons à partir du point M les trois axes de coordonnées. r A partir de M on trace les vecteurs unitaires tangents et dans le sens croissant de ces trois axes. er er j O′ M ′ M ej eq ej q q eq Axes des vecteurs unitaires r q ayant le même sens que O r. tangent à l’axe des q et dans le sens de la rotation. j tangent à l’axe des j et dans le sens de la rotation. sont respectivement les vecteurs unitaires associés aux axes des r, des q et des j dirigés dans le sens croissant des variables r, q et j . Pour un autre point M′ est le même vecteur unitaire dans les deux systèmes cylindrique et sphérique. , et changent de direction et de sens, suivant la position du point M dans l’espace.  La base sphérique est dite locale car l’orientation des trois vecteurs unitaires dépend de la position du point M. 

Les deux étapes donnent: Expressions de , et dans le système cartésien er eq ej Khayar-marrakh Etape 1 er ez ej eq z z x O x O z Cette transformation peut se faire à l’aide d’une matrice de transformation : r Dans le demi-plan P er r r z M ej j on a la configuration suivante : dans le système sphérique ej q et dans le système cylindrique ej ez er r O' ez Objectif : On cherche à exprimer , et dans le système cartésien. er eq ej M er ej er j eq soit : sont identiques Etape 2 q er q Remplaçons maintenant, et par leurs expressions dans le système cartésien. y eq y  Etape 1 : passage du système sphérique au système cylindrique.  Etape 2 : passage au système cartésien. Procédure : avec : résultat établi ci-dessus (cf.coordonnées cylindriques) Les deux étapes donnent: P

j r Soient M et M' deux points de l’espace. r j Question : Déplacement élémentaire Khayar-marrakh O z y x M j r q M' r + d r Soient M et M' deux points de l’espace. q + dq r N.B. : M’ est infiniment voisin de M. j j + d j O' dj  M1 Question : Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire dans ce système de coordonnées ? dl = MM' M' Le déplacement élémentaire est le résultat de trois déplacements : de M à M' Réponse : dq r q r sinq dj r sinq dj q r M r dq dr M2 j Premier déplacement suivant l’axe des MM1 = M1 M2 = M2 M' = r sin q dj r dq dr de M vers M1 MM1 = Deuxième déplacement suivant l’axe des q MM' = MM1 + M1 M2 + M2 M' de M1 vers M2 ou encore M1 M2 = M1 M2 j r q j +dj q + dq M M1 j r q j + dj M2 M' j r q j + dj r + dr q + dq Troisième déplacement suivant l’axe des r MM' = M2M' + M1M2 + MM1 de M2 vers M' M2 M' =

dS r2 sinq dq dj = = On se trouve sur la r = constante Khayar-marrakh Surfaces élémentaires y x z O On se trouve sur la sphère de rayon r. r = constante M Un déplacement élémentaire MM, sur la sphère r = constante définit un élément de surface . M’ dS dj r sin dq r Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des j , N.B. : M est infiniment voisin de M. suivi d’un autre suivant l’axe des q , on obtient un élément de surface r sinq dj dS r dq dS = r2 sinq dq dj dS = Λ r2 sinq dq dj =

dS r sin q dr dj = = On se trouve sur la surface latérale z O x y On se trouve sur la surface latérale du cône. Khayar-marrakh q = constante M Un déplacement élémentaire MM', sur la surface q = constante, définit un élément de surface . M' dS on obtient un élément de surface Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des j , N.B. : M est infiniment voisin de M. suivi d’un autre suivant l’axe des r , dS dr r sinq dj dS = r sinq dr dj dS = Λ r sin q dr dj =

dS r dr dq = = On se trouve sur le demi-plan j. j = constante Khayar-marrakh On se trouve sur le demi-plan j. z O x y j = constante M Un déplacement élémentaire M M', sur la surface j = constante, définit un élément de surface . M' dS Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des q , suivi d’un autre suivant l’axe des r , N.B. : M' est infiniment voisin de M. on obtient un élément de surface j dr dS r dq dS = r dr dq dS = Λ r dr dq =

dt = r2 sinq dr dq dj dt dt = ( ) r2 sinq dr dq dj = Volume élémentaire z y x O Khayar-marrakh q Soient M et M' deux points de l’espace. N.B. : M' est infiniment voisin de M. Un déplacement élémentaire MM' définit un élément de volume dt. j r M M' dt Traçons d’abord les axes de coordonnées et effectuons des déplacements élémentaires le long de ces axes. On obtient le volume élémentaire dt Surface de la base dt = ( ) Λ dr d r dt = r2 sinq dr dq dj r dq r2 sinq dr dq dj = r sinq dj Retour

Nos remerciements chaleureux vont à tous les collègues qui nous ont encouragés à réaliser ce travail. Nous recevrons avec plaisir les remarques et commentaires constructifs que les lecteurs voudront bien nous faire parvenir.