Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe 3.1 DÉTERMINANTS Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe

Dans cette section, nous verrons La définition du déterminant. Le calcul d’aire. La façon de résoudre un système d’équations linéaires à l’aide de la règle de Cramer.

Il y a deux approches à la théorie des déterminants. Systèmes d’équations linéaires Aires et volumes Nous Déterminants

Aires On va commencer par regarder les aires. Deux vecteurs définissent un parallélogramme. Aire positive Aire négative

Aire d’un parallélogramme Base hauteur

Ouin...

Voici notre stratégie. On définit un concept à l’aide de propriétés qu’on appelle le déterminant. On vérifie que ça correspond aux propriétés des aires orientées. On trouve la formule nous permettant de le calculer en n’utilisant que les propriétés.

Définition: Le déterminant de deux vecteurs du plan est un nombre tel que les six propriétés suivantes sont respectées.

D1.

D2. Hum... pas d’aire!

D3.

D4.

D5.

D6. Donc, même aire! Même base Même hauteur 14

Propriétés définissant le déterminant

Calculons-le maintenant! D4. D4. D3. D3. D2. D5. D1.

Wow! Juste avec les propriétés qu’une aire doit avoir, on est capable de déduire que l’aire orientée du parallélogramme défini par deux vecteurs est:

On note aussi le déterminant, pour des raisons qui sont obscures pour le moment, de la manière suivante:

Quel est l’aire du triangle OAB ? Exemple: Quel est l’aire du triangle OAB ? 19

Faites les exercices suivants p.101 #1 à 3

Exemple: 21

Exemple: On veut savoir si trois points sont colinéaires. Il suffit de vérifier si

𝑢 et 𝑣 sont linéairement indépendants Remarque: Le déterminant peut servir à verifier si deux vecteurs sont indépendants! Théorème: 𝑢 et 𝑣 sont linéairement indépendants ∆ 𝑢 , 𝑣 ≠0

Faites les exercices suivants p.101 #4 à 6

Écriture des propriétés du déterminant en termes de l’autre notation

D3. D4.

D5. D6. 27

Faites les exercices suivants p.101 #7 et 8.

Règle de Cramer Théorème: Si .

et c’est la même idée pour Preuve: Donc, et c’est la même idée pour

Exemple:

Faites les exercices suivants p.102, #10 et 11

Aujourd’hui, nous avons vu La définition axiomatique du déterminant. Le calcul d’aire à l’aide du déterminant. La façon de résoudre un système d’équations linéaires à deux équations et à deux inconnues à l’aide de la règle de Cramer.

Devoir: p. 102 #1 à 11.