V Graphes étiquetés Ce sont des graphes orientés où les arêtes sont affectées d’étiquettes. Lorsque les étiquettes sont des nombres, on dit que le graphe est pondéré. Poids d’une chaine = somme des poids des arêtes la composant. Plus courte chaine entre 2 sommets = chaine ayant le poids minimal.

Exercice 1 : Un plateau contient quatre verres à champagne identiques placés sur les sommets d’un carré, et ils peuvent être placés la tête en haut ou en bas. La disposition du plateau par rapport à l’observateur est indifférent. 1°) Combien y a-t-il de situations possibles des verres sur le plateau ? verre tête en haut verre tête en bas plateau 4 verres identiques 3 verres identiques 2 verres identiques La disposition du plateau par rapport à l’observateur étant indifférente, il y a 6 situations possibles.

2°) On regroupe ces situations par similitude des positions des verres sur les sommets du carré, sans s’occuper de la position de leurs têtes : Situation L ( tous les verres sont dans le même sens ), M ( 2 verres voisins dans le même sens, les deux autres dans l’autre sens ), N ( 2 verres sur la même diagonale dans le même sens, les deux autres dans l’autre sens ), et P ( un seul verre dans un certain sens ). Situations : L L P P N M

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L P M N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L P a M N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a P a M N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a P a M N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a P a a a M N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a P a a a a M N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a P a a a a a M N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a P a b a a a a M N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a P a b b a a a a M N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a b P a b b a a a a M N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a b P a b b a a a a M b N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a b P a b b a a a a c M b N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a b P c a b b a a a a c M b N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a b P c a b b c a a a a c M b N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a b P c a b b c c a a a a c M b N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a b P c a b b c c a a a a c c M b N

Situations : L L P P N M Soient les manipulations suivantes : a ( on retourne un seul des quatre verres, n’importe lequel ), b ( on retourne 2 verres sur une diagonale ), et c ( on retourne 2 verres voisins ). Construire le graphe où les sommets sont les positions, et les arêtes orientées les manipulations. L a b P c a b b c c a a a a c c M b c N

Situations : L L P P N M 3°) On arrête les manipulations dès que tous les verres sont dans le même sens. Déduisez-en le nouveau graphe. L a b P c a b b c c a a a a c c M b c N

Situations : L L P P N M 3°) On arrête les manipulations dès que tous les verres sont dans le même sens. Déduisez-en le nouveau graphe. L a b P c b c a a a a c c M b c N