Comparaison de deux pourcentages

A) Pourcentage observé et pourcentage théorique : une population donnée ( ex France) , dont on connaît le pourcentage de sujets (p) ayant une caractéristique particulière (variable dichotomique = Fumeur) X = 1 fumeur ou X=0 non fumeur variable de Bernouilli

position du problème (2) : échantillon n extrait de la population ( ex Picardie): proportion p0 de personnes ayant la caractéristique X=1, fumeur la proportion de fumeurs en Picardie (p0 observé) diffère t-elle de celle observée au niveau national (p théorique)

B) Hypothèses de départ : H0 : p = p0 H1 : p  p0 (test bilatéral) Sous H0 , X N (p, p q / n) l ’écart-type de la distribution d ’échantillonnage

C) Choix du test statistique à appliquer : test de l’écart-réduit : D) Conclusion (= table de l ’écart réduit) : - si |  1,96 on rejette au risque 5%, l ’hypothèse H0 - si | < 1,96 on retiendra H0 Conditions d ’application : n p et n q  5 +++

2 - Comparaison de deux pourcentages observés variable X dichotomique ( ex : X=malade ou non) on a deux échantillons indépendants A et B de nA et nB observations dans échantillon A, une proportion pA de X =1 dans échantillon B, une proportion pB de X =1

X suit une loi de Bernouilli : - de paramètre PA, dans la population A - de paramètre PB , dans la population B 1 - Formulation des hypothèses à vérifier : H0 : pA = pB H1 : pA  pB (cas d’un test bilatéral)

on construit un test basé sur la distribution de pA- pB sous H0 sous l ’hypothèse H0 : on construit un test basé sur la distribution de pA- pB sous H0 on estime p, la proportion totale de X=1 sur les deux échantillons : on forme le test de l ’écart réduit COURS N°6

Exemple : 70 patients avec A : 22 ont guéri (pA = 31% ) 50 patients avec B : 25 ont guéri (pB = 50 %) question à résoudre ? hypothèses à poser H0 : H1 :

Exemple (1) : application numérique nA =70 nB = 50 pA =0,31 pB = 0,50 on estime p : conditions de validité étant vérifiées :

donc on rejette H0 conclusion : les taux de guérison avec les deux traitements sont significativement différents (au risque 5%) degré de signification: table de l ’écart réduit : p < 0,04

3- Cas des séries appariées : Dans le cadre de la comparaison de 2 médicaments ( essai thérapeutique) : deux méthodes principales de comparaison : 1- méthode dite en parallèle groupe 1 (n = 50) ------------------------------ > traitement A groupe 2 (n = 50) ------------------------------> traitement B

2- Méthode dite en cross-over : les sujets sont leurs propres témoins séries appariées groupe 1 ---------------- ------------ traitement A x groupe 2 ---------------- ------------- traitement B période 1 période 2

100 malades, ont pris A puis B ( ou B puis A) successivement COURS N°6

Pas deux séries indépendantes+++ à la question posée : quel est le meilleur médicament ? les réponses concordantes ++ et -- n ’apportent rien (35-- et 45++) réponses discordantes + - et - + les effectifs observés de paires discordantes sont-ils compatibles avec l ’hypothèse H0 d ’équivalence des deux traitements ? COURS N°6

si a et b désignent les paires divergentes +- et -+ il faut comparer à 1/2 et à 1/2 on forme l ’écart-réduit : conclusion du test : si | | < 1,96 = les pourcentages ne différent pas ( risque 5%) si | | 1,96 = les pourcentages différent au risque 5% a b a + b a + b e e COURS N°6

e Exemple : a et b paires divergentes + - et - + a = 5 et b = 15 on forme l ’écart-réduit : conclusion du test : si | | 1,96 = les pourcentages différent au risque 5% e