Modélisation mathématique des systèmes asservis CHAPITRE 2 Modélisation mathématique des systèmes asservis

Modélisation mathématique des SA Principe : Le but de la modélisation est de déterminer les équations de fonctionnement ou de comportement de notre système. Par la suite, nous nous limiterons aux systèmes monovariables. Dans la majorité des cas, nous modélisons un système par des équations différentielles. Nous cherchons donc une relation entre l’entrée et la sortie telle que :

Modélisation mathématique des SA Système linéaire et réalisable : Un système est dit linéaire si son comportement est décrit par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Nous avons : ai et bi sont des coefficients constants, n = ordre du système, un système physique sera réalisable si n > m

Modélisation mathématique des SA Transformée de Laplace : A toute fonction f(t), nous faisons correspondre une fonction F(p) de variable complexe p. Nous définissons la transformée de Laplace : La transformée de Laplace est l’outil le plus important et permet la résolution dans le domaine fréquentiel de problèmes posés dans le domaine temporel.

Modélisation mathématique des SA Propriété importante : Théorème de la valeur finale Nous utiliserons régulièrement ce théorème afin de connaître le comportement final de notre système.

Modélisation mathématique des SA Fonction de transfert : Nous appelons fonction de transfert, le rapport des deux polynômes associés à l’entrée et à la sortie de notre système. Système E(p) S(p) Nous obtenons la fonction du transfert du système :

Modélisation mathématique des SA Fonction de transfert pour des systèmes en série : G1(p) E(p) S1(p) G2(p) S2(p) Gn(p) Sn-1 (p) S(p)

Modélisation mathématique des SA Fonction de transfert pour des systèmes en parallèle : G1(p) G2(p) Gn(p) S(p) + E(p)

Modélisation mathématique des SA Déplacement d’éléments de schéma bloc : = D’où : =

Modélisation mathématique des SA Déplacement d’éléments de schéma bloc :

Modélisation mathématique des SA Fonction de transfert pour un asservissement à retour unique. e E(p) S(p) G(p) - +

Modélisation mathématique des SA Fonction de transfert pour un asservissement. e E(p) S(p) G(p) - + H(p)

Modélisation mathématique des SA Fonction de transfert en BO : e E(p) S(p) G(p) - + H(p) S1(p) A partir de la BF, on « déconnecte » le retour !

Modélisation mathématique des SA Asservissement / Régulation Dans le cadre de l’asservissement, la consigne est variable. La fonction de transfert associée est donc : H(p) = S(p) / E(p) Dans le cadre de la régulation, la consigne est constante et nous ne nous intéressons qu’aux perturbations. La fonction de transfert sera alors : H(p) = S(p) / Z(p)

Modélisation mathématique des SA Asservissement / Régulation : e S(p) G(p) E(p) - + H(p) R(p) Z(p) Z(p) S(p) G(p) - + R(p) H(p) E(p)=0 E(p) S(p) R(p)G(p) - + H(p) Z(p)=0

Modélisation mathématique des SA Donner l’équation du comportement de l’installation de broyage sachant que l’équation est de la forme : e(t) s1(t) SEPARATEUR s(t) = a s1(t)

Modélisation mathématique des SA Soit un moteur à courant continu entraînant une charge. L’entrée est la tension d’induit appliquée au moteur u(t) et la sortie est la vitesse de rotation de la charge W(t). Donner la représentation du système par schéma bloc. Equations :

Modélisation mathématique des SA Calculer et représenter f(t) : D’où : A = 1 / 2 ; B = -1 ; C = -1 / 2 f(t) = 1 / 2 – e-t – 1 / 2 e-2t

Modélisation mathématique des SA Donner la fonction de transfert du schéma suivant : - + U(p) G1(p) G3(p) Y(p) G2(p) G4(p) G5(p)

Modélisation mathématique des SA Soit le système broyeur-séparateur suivant : Se1 a1 Séparateur 1 Br2 t2 Broyeur 2 Se2 a2 Séparateur 2 Br1 t1 Broyeur 1 e(t) S1(t) a1 S1(t) S2(t) a2 S2(t) Sachant que l’équation du broyeur est : donnez le schéma équivalent sous forme de schéma bloc et la fonction de transfert complète de ce système.