Utilisation de l’abaque de Smith

La résolution de problèmes liés aux supports de transmission nécessite beaucoup de calcul qui peut être parfois très long… l'abaque de Smith est un outil indispensable, d'abord pour présenter des résultats, mais surtout comme outil graphique de réflexion sur des problèmes complexes.

L’abaque de Smith sert, entre autres, à: Calculer l’admittance correspondant à une impédance Calculer les impédances ramenées Calculer le ROS et le TOS Trouver les cellules d’adaptation d’impédance … etc.

L’abaque de Smith

Construction de l'Abaque de Smith Γ= (Z - Zc) / (Zc+ Z) Si on réduit par rapport à Zc Γ= (z - 1) / ( z+1) avec z=Z/ Zc z est dite impédance normalisée ou impédance réduite

Centre d’un cercle

Cercles de résistance constante

Cercles de réactance constante

Abaque de Smith et utilisation pratique

Vue de l’abaque de Smith

Impédance ramenée par un tronçon de ligne Pour un tronçon de ligne de longueur l fermé sur l’impédance Z, l’impédance ramenée Z(l) est l’impédance présentée à l’entrée du système: Z(l)= V(X)/I(X) pour X=X0-l L’impédance en un point de la ligne dépend de: L’impédance de charge Z L’impédance caractéristique Zc La distance réduite l/λ

A Z(l), on associe z(l) et un coefficient de réflexion: Γ(l)= (Z(l) - Zc) / (Zc+ Z(l)) et en remplaçant Z(l) dans l’expression précédente de Z(l), on trouve:

Conclusion Sur l’abaque de Smith, le point représentatif de Г(l) se déduit donc du point représentatif de Г par une rotation dans le sens rétrograde d’un angle égal à 2βl. On sait que λ=2π/β  2βl=2l(2π/λ)=4πl/λ Les abaques disposent d’une graduation angulaire correspondant au rapport l/λ . Un tour complet d’abaque correspond à l/λ =0.5

Cette propriété est utilisée en pratique pour déterminer l’impédance réduite z(l) à partir de l’impédance réduite terminale z. Cas particuliers: l est un multiple de la demi-longueur d’onde (l=kλ/2): Г(l) = Г l est un multiple impair du quart de la longueur d’onde (l=(2k+1)λ/4): Г(l) = -Г et z(l)=1/z Le tronçon se comporte comme un inverseur d’impédance. On l’appelle « transformateur quart d’onde »

Г=-1 et Z(l)=jRctan(βl)=jX(l) 1/z =admittance réduite y de la charge Z: le point représentatif de y est donc le symétrique, par rapport à l’origine, du point représentatif de z. Tronçon de ligne chargé par un court-circuit: Г=-1 et Z(l)=jRctan(βl)=jX(l) Le tronçon court-circuité se comporte comme une réactance pure:

Г=1 et Z(l)=-jRcotan(βl) Si l< λ/4: réactance positive correspondant à une impédance inductive Si λ/4<l< λ/2: réactance capacitive Tronçon de ligne chargé par un circuit ouvert: Г=1 et Z(l)=-jRcotan(βl) Le tronçon se comporte à l’inverse du tronçon court-circuité. Conclusion: On peut donc réaliser n’importe quelle réactance à l’aide d’un tronçon de ligne terminé par un cc ou co, de longueur convenable.

Les cercles de ROS Ils ne sont pas représentés sur les abaques papier pour ne pas surcharger. Le centre des cercles de ROS est celui de l'abaque. le cercle de ROS infini correspondant à celui des résistances nulles et constitue la limite de l'abaque. Tous les cercles de ROS sont concentriques, ce qui est une exception dans l'abaque de Smith. Le cercle de ROS=1 est le centre de l'abaque et correspond au point d'impédance 1+j0, l'impédance de référence. Dans un circuit utilisant une ligne, c'est le cas d'une charge parfaitement adaptée à l'impédance caractéristique de celle-ci, lorsque la totalité de l'énergie transmise est absorbée par la charge.

Tous les points situés sur un même cercle de ROS ont un ROS identique et réciproquement, deux impédances différentes qui provoquent le même ROS sont situées sur le même cercle de ROS.

Les cercles de ROS

Traçage d'un cercle de ROS Avec une feuille normalisée (impédance du point central=1+j0), le rayon du cercle de ROS est facile à mesurer sur la feuille car c'est aussi la distance entre le point central et la graduation sur l'axe des résistances. On peut aussi se référer à l'échelle radiale placée en bas de feuille.