Ce document a été conçu par l’association ACCESMAD a destination des élèves de l’enseignement technique de Madagascar . Il propose une méthode pédagogique d’assimilation des contenus du texte officiel des programmes techniques intitulé: REPOBLIKAN’I MADAGASIKARA STATIQUE GRAPHIQUE Référence : SMF/05/02 Indexation UNITES DE FORMATION DUREE UF/05/02/03 UF/T/08 – 03 – 05- Equilibre d’un solide Méthode de Cullman Objectif de l’animation : présenter des exemples d’équilibre de solide soumis à 3 et 4 forces (mise en œuvre de la méthode graphique de Cullman)

1-Solide soumis à 3 forces contenues dans un même plan Un système en équilibre soumis à 3 forces doit vérifier les conditions suivantes: -Les forces doivent appartenir à un même plan -Les directions des forces doivent être concourantes -La somme vectorielle des 3 forces doit être nulle

Equilibre d’un solide soumis à 3 forces extérieures Une benne de camion chargée de poids total 100 kN (solide n°2) est articulée en A sur le châssis .Elle est soumise à l’action d’un vérin (solide n°3) au point B. On demande de déterminer la force exercée par le vérin et la réaction en A du châssis. Toutes les forces sont dans le plan de l’écran.

Bilan des forces extérieures sur la benne -point d’application G -direction verticale -sens: vers le bas -intensité : 100kN La benne (système étudié) est soumise à son poids P, seule force dont les caractéristiques sont entièrement connues ? ? P …à l’action du vérin FB Représentons les forces en respectant l’échelle : 1cm <-> 10kN et à la réaction RA de l’articulation

Bilan des forces extérieures sur la benne Seule la direction de la force FB exercée par le vérin est connue. Traçons cette direction passant par le point d’application B direction de FB P

Bilan des forces extérieures sur la benne Prolongeons la direction de P jusqu’à l’intersection J avec la direction de FB J

Bilan des forces extérieures sur la benne L’équilibre impose que les 3 forces soient concourantes . Traçons la direction de RA passant par A et J J

Bilan des forces extérieures sur la benne Objectif: construire le polygone des forces pour que : En respectant l’échelle :1 cm=10 kN J RA=90kN FB=25kN FB FB=25kN P -tracer le vecteur P RA -tracer la parallèle à la direction de RA passant par l’extrémité de P -tracer la parallèle à la direction de FB et passant par l’origine de P L’intersection des deux directions permet d’obtenir le polygone des forces

2-Solide soumis à 4 forces dont une seule est connue, les 3 autres ont seulement des directions connues Méthode de Cullman L’exemple du wagonnet de levage sur rail

Un wagonnet est guidé sur deux rails parallèles (1) en forme de U par l’intermédiaire des galets (4) et (5) (contacts en A et B). L’effort de levage est appliqué en C par une chaîne (2) parallèle aux rails .. Etude : le wagonnet est à l’arrêt ou à vitesse constante ; l’étude est effectuée dans le plan de symétrie et P (500 daN) . Le frottement des galets et négligé Isoler l’ensemble (3)+(4)+(5) ; faire le bilan des actions mécaniques et les déterminer En déduire l’effort de tension T dans la chaîne de levage. 2 chaine 1 rail 5 wagonnet A G B 4 3 C P=5000N

Construction de la droite de Cullman I J Prolonger la direction de RA(ligne verte ) et de P (ligne rouge); soit I le point d’intersection de ces 2 droites (les réactions sont normales au rail si l’on néglige les frottements) Prolonger la direction de RB (ligne noire ) et de T (ligne violette), soit J le point d’intersection de ces 2 droites chaine rail I 5 A J G B 4 3 C P=5000N Joindre I à J pour obtenir le « droite de Cullman » (ligne marron)

droite de Cullman I J I G J chaine I A G D’un point de vue statique , le système est équivalent à 2 nœuds reliés par une barre fictive I J B J C D’un point de vue statique , le système est équivalent à 2 nœuds reliés par une barre I J

Réalisons l’équilibre du nœud I I est soumis à 3 forces P (connue) , RA (direction connue) et R dans la « barre IJ »  (direction connue) Tracer le vecteur P (échelle: 1cm= 2000N) Tracer la direction de RA passant par l’origine de P Tracer la parallèle à IJ passant par l’extrémité de P RA chaine I R A P P=5000N G B J C L’équilibre du nœud impose la fermeture du triangle La mesure des cotés du triangle donne: RA=5,5cm*2000N/cm=11000N R=7cm*2000N/cm=14000N

Réalisons l’équilibre du nœud J J est soumis à 3 forces -R (connue) , RB (direction connue) et T (exercée par la chaine de direction connue) Tracer le vecteur –R de longueur 7cm= 14000N de direction IJ et de sens de I vers J Tracer la direction de RB passant par l’extrémité de -R Tracer la parallèle à la direction de la chaine passant par l’origine du vecteur -R chaine I T A - R RB B J C L’équilibre du nœud impose la fermeture du triangle La mesure des cotés du triangle donne: RB=6,5cm*2000N/cm=13.000N T=3,5cm*2000N/cm=7000N