La Phyllotaxie Objet d'étude : Comment varie la position des points Étude de l'ordre dans lequel sont disposés les éléments dans un capitule. Objet d'étude : Comment varie la position des points dans un capitule ?
Rapport radians - degrés Dans un premier temps, nous avons découvert les radians, une autre unité de mesure d'angle différente du degré. Pour trouver les correspondances en degrés il faut faire un produit en croix. Nous obtenons donc : 2π radian = 360° π radian = 180° π/2 radian = 90°
racine*n= distance de Mn à O Début des recherches : On fixe un nombre b et on fait varier un nombre n (n étant toujours un entier). On veut placer un point Pn. Définition de ce point : 2π*n*b= angle (OI,OPn) racine*n= distance de Mn à O
Premières découvertes : Si b est un entier, l'angle est de 0° car 2π*n*b est un multiple de 2π et le point se retrouve donc toujours à 360°, donc sur l'axe des abscisses. Si b est un entier décimal, c'est la partie décimale qui compte pour placer les points sur le cercle, la partie entière indique seulement le nombre de tour effectué. Si b est rationnel, le nuage de points fait un effet de droites ou de spirales. Si b est un nombre réel non rationnel, le nuage de points fait un effet de spirale plus complexe, par exemple pour le nombre φ
Un exemple obtenu avec le logiciel SAGE:
Après de longs calculs de distance entre deux points, nous avons pu conclure que ces formes étaient dues à l'espacement plus ou moins proche entre deux points (les points consécutifs et ceux sur la même droite).
Théorème des hippocampes : Prenons b = p/q Si p/q n'est pas simplifiable, il y aura q rayons. Si p/q est simplifiable, il y aura q' rayons : p/q= k*p'/k*q' Simplifiable : 21/35 Non simplifiable : 1/50
Réalisé par Gaëlle Guerre, élève de 2de10 au lycée Marseilleveyre, d'après un stage Hippocampe organisé par l'IREM d'Aix Marseille et encadré par Anne Pichon