La notation scientifique Écriture et opérations

Écriture

La notation scientifique est une forme d’écriture servant à représenter des nombres très grands ou très petits. a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z Pour bien comprendre cette forme d’écriture, il faut connaître la principale caractéristique de la notation décimale.

La notation décimale est l’écriture utilisée par la majorité des gens. Exemples: 2 500 $ 2,5 kg 75 ans 8 frères et soeurs 2 automobiles 45,7 cm Elle est très pratique pour écrire des nombres parce qu’elle est facile à utiliser.

∞ ∞  : La caractéristique principale de la notation décimale est que:  chaque position des chiffres représente un multiple de 10. ∞ + Vers: G : giga : Unité de milliard: 1 000 000 000 M : méga : Unité de million: 1 000 000 Centaine de mille: 100 000 Dizaine de mille: 10 000 K : kilo : Unité de mille: 1 000 h : hecto : Centaine: 100 10 da : déca : Dizaine: 1 L’unité d : déci : Dixième: 0,1 c : centi : Centième: 0,01 m : milli : Millième: 0, 001  : micro : Millionième: 0, 000 001 n : nano : Milliardième: 0, 000 000 001 ∞ - Vers:

Comme tous ces nombres sont des multiples de 10, on peut donc les écrire en utilisant la base 10. 0,01 0, 001 0, 000 1 1 1 000 000 000 1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10 0,1 0, 000 001 0, 000 000 001 = 109 G : giga = 106 M : méga = 105 = 104 = 103 k : kilo = 102 h : hecto = 101 da : déca = 100 = 10-1 d : déci = 10-2 c : centi = 10-3 m : milli = 10-4  : = 10-6 micro = 10-9 n : nano Remarque: Un exposant négatif signifie donc une petite quantité.

a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z Dans la définition mathématique de la notation scientifique: a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z le 10 signifie donc un nombre écrit en utilisant la base 10; l’exposant étant pris dans la famille des entiers, soit Z; a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z ce nombre doit être écrit égal ou plus grand que 1 et inférieur à 10. L’écriture de ce nombre en notation scientifique doit représenter la même quantité que son écriture en notation décimale.

Exemple 1: Écrire 23 643 en notation scientifique. Dans 23 643 la virgule est à la fin: 23 643,0 Étape 1: Déplacer la virgule entre le 2 et le 3; 2 3 6 4 3 0 , Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions, 1 ≤ 2,364 3 < 10 mais il n’est pas égal à 23 643 Étape 2: Pour le rendre égal à 23 643, il faut le multiplier par 10 000. 23 643 = 2,364 3 X 10 000 c’est-à-dire 104. 23 643 = 2,364 3 X 104 soit le nombre de positions traversées par la virgule.

Exemple 2: Écrire 0,000 034 en notation scientifique. Étape 1: Déplacer la virgule entre le 3 et le 4; 0 000 03 4 , Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions. 1 ≤ 3,4 < 10 mais il n’est pas égal à 0,000 034. Étape 2: Pour le rendre égal à 0,000 034, il faut le multiplier par 0,000 01. 0,000 034 = 3,4 X 0,000 01 c’est-à-dire 10-5 0,000 034 = 3,4 X 10-5 soit le nombre de positions traversées par la virgule.

Remarque: Déplacer la virgule vers la gauche, fait augmenter l’exposant de la base 10. 2 3 6 4 3 0 , 23 643,0 X 100 2,364 3 X 104 Déplacer la virgule vers la droite, fait diminuer l’exposant de la base 10. 0 000 03 4 , 0,000 03 4 X 100 3,4 X 10-5

Exercices Transforme les nombres suivants en notation scientifique: 16 765 000 000 000: 1,676 5 X 1013 Remarque: La calculatrice écrira 1,676 5 E13. Le E remplace la base 10. 156 000: 1,56 X 105 234 000 000 000 000: 2,34 X 1014 946 080 000 000 000 000: 9,460 8 X 1017 0,0456: 4,56 X 10-2 la calculatrice écrira 4,56 E -2 0,000 000 12: 1,2 X 10-7 0,000 000 000 000 000 000 160 218: 1,602 18 X 10-19 0, 000 000 000 456: 4,56 X 10-10

À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement: 2,3 X 105 = 2,3 X 100 000 = 230 000 Remarque: 230 000,0 Notation décimale Notation scientifique 2,3 X 105 2 3 0 0 0 0 0 , Notation scientifique 2,3 X 105 230 000,0 Notation décimale 2 3 0 0 0 0 0 ,

À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement: 1,5 X 10-3 = 1,5 X 0,001 = 0,001 5 Remarque: 0,001 5 Notation décimale Notation scientifique 1,5 X 10-3 0 001 5 , Notation scientifique 1,5 X 10-3 0,001 5 Notation décimale 0 001 5 ,

Exercices Transforme les nombres suivants en notation décimale: 1,27 X 106 : 1 270 000 4,5869 X 103 : 4 586,9 1,2 X 1010 : 12 000 000 000 3,475 X 1020 : 347 500 000 000 000 000 000 2,5 X 10-3 : 0, 002 5 1,897 X 10-10 : 0, 000 000 000 189 7 2, 49573 X 10-12 : 0, 000 000 000 002 495 73

Quelques symboles  : G : giga : unité de milliard: 1 000 000 000 = 1 X 109 M : méga : unité de million: 1 000 000 = 1 X 106 K : kilo : unité de mille: 1 000 = 1 X 103  : micro : millionième: 0, 000 001 = 1 X 10-6 n : nano : milliardième: 0, 000 000 001 = 1 X 10-9

Quelques symboles La centrale hydroélectrique de Manic 5 a une puissance de 1 528 MW. 1 528 MW = 1 528 X 1 000 000 = 1 528 000 000 watts La centrale hydroélectrique de la Baie-James a une puissance de 16 GW. 16 GW = 16 X 1 000 000 000 = 16 000 000 000 watts La construction de la première phase du projet du barrage de la Baie-James a coûté 13,7 G$. 13,7G$ = 13,7 X 1 000 000 000 = 13 700 000 000,00 $

1 m

1 km

1 Mm

1 Gm

1 mètre

1 mm

1 m

1 nm

La technologie évolue très rapidement. Observe des réalisations faites au m ( micromètre ). 1 m = 0,000 001 m = 0,001 mm

La technologie évolue très rapidement. Observe des réalisations faites au nm ( nanomètre ). 1 nm = 0,000 000 001 m = 0,000 001 mm

Les opérations

Les opérations effectuées avec la notation scientifique se regroupent en deux catégories: 1) la multiplication et la division; 2) l’addition et la soustraction. Chaque catégorie possède ses propres règles de fonctionnement.

La multiplication Exemple: 2 X 102 X 3 X 103 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale: 200 X 3 000 Calculer: 600 000 Reconvertir en notation scientifique: 6 X 105 Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants. 2 X 102 X 3 X 103 Multiplier les nombres accompagnant les bases 10. Étape 1: 2 X 3 = 6 Étape 2 : Multiplier les bases 10 selon la loi de la multiplication des bases semblables: - on récupère la base; - on additionne les exposants; 102 X 103 = 102+3 = 105 Étape 3: On regroupe le tout: 6 X 105 Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide. Exemple: 2 X 108 X 4 X 106 = 8 X 1014

1 ≤ a < 10 Exercices Calcule les quantités suivantes: 1,5 X 105 X 3 X 106 = 4,5 X 1011 4 X 1034 X 2 X 106 = 8 X 1040 2,5 X 105 X 5 X 103 = 1,25 X 109 Attention: 2,5 X 5 = 12,5 et 105 X 103 = 108 mais 12,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10. Une des conditions de la notation scientifique: 1 ≤ a < 10 On doit donc terminer l’écriture: 12,5 X 108 = 1,25 X 109

Calcule les quantités suivantes: 2,3 X 107 X 5,6 X 102 = 1,288 X 1010 4,81 X 105 X 3,4 X 106 = 1,635 X 1012 1,7 X 104 X -2,3 X 105 = -3,91 X 109 La loi concernant la multiplication et la division de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique. Attention: -3,4 X 106 X 1,2 X 104 = - 4,08 X 1010 -2,1 X 105 X - 4,3 X 102 = 9,03 X 107

106 X 10-4 = 106+ -4 = 106 - 4 = 102 Calcule les quantités suivantes: 2 X 106 X 3 X 10-4 = 6 X 102 Attention: 2 X 106 X 3 X 10-4 106 X 10-4 = 106+ -4 = 106 - 4 = 102 2,4 X 1010 X 3 X 10 -4 = 7,2 X 106 3,1 X 107 X 5,2 X 10-3 = 1,612 X 105

La division Exemple: 4 X 105 ÷ 2 X 102 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale: 400 000 ÷ 200 Calculer: 2 000 Reconvertir en notation scientifique: 2 X 103 Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants. 4 X 105 ÷ 2 X 102 Diviser les nombres accompagnant les bases 10. Étape 1: 4 ÷ 2 = 2 Étape 2 : Diviser les bases 10 selon la loi de la division des bases semblables: - on récupère la base; - on soustrait les exposants; 105 ÷ 102 = 105-2 = 103 Étape 3: On regroupe le tout: 2 X 103 Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide. Exemple: 9 X 1014 ÷ 3 X 106 = 3 X 108

1 ≤ a < 10 Exercices Calcule les quantités suivantes: 3 X 106 ÷ 1,5 X 104 = 2 X 102 4 X 1034 ÷ 2 X 106 = 2 X 1028 2,5 X 108 ÷ 5 X 103 = 5 X 104 Attention: 2,5 ÷ 5 = 0,5 et 108 ÷ 103 = 105 mais 0,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10. Une des conditions de la notation scientifique: 1 ≤ a < 10 On doit donc terminer l’écriture: 0,5 X 105 = 5 X 104

106 ÷ 10-4 = 106- -4 = 106 + 4 = 1010 Calcule les quantités suivantes: 2,8 X 107 ÷ 5 X 102 = 5,6 X 104 1,02 X 108 ÷ 3,4 X 103 = 3 X 104 1,5 X 106 ÷ 2 X 102 = 7,5 X 103 8 X 106 ÷ 2 X 10 -4 = 4 X 1010 Attention: 8 X 106 ÷ 2 X 10 -4 106 ÷ 10-4 = 106- -4 = 106 + 4 = 1010 2,4 X 1010 ÷ 3 X 10-2 = 8 X 1011 1,2 X 10-6 ÷ 4 X 10-3 = 3 X 10-4

L’addition et la soustraction Exemple: 4 X 105 + 2 X 103 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale: 400 000 + 2000 Calculer: 2 000 400 000 + 402 000 Reconvertir en notation scientifique: 4,02 X 105

Pour additionner et soustraire des nombres écrits en notation scientifique, la règle est quelque peu différente. Pendant le calcul, la condition 1 ≤ a < 10 ne s’applique pas. Il faut écrire les nombres avec la même puissance de 10. Exemple: 4 X 105 + 2 X 103 400 X 103 + 2 X 103 On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10; 400 + 2 = 402 On récupère la puissance de 10 sans la modifier: 103 400 X 103 + 2 X 103 On regroupe le tout: 402 X 103 On termine l’écriture: 4,02 X 105

Remarque : On pourrait aussi procéder ainsi: 4 X 105 + 2 X 103 Transformer le plus petit des nombres: 4 X 105 + 0,02 X 105 On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10; 4 + 0,02 = 4,02 On récupère la puissance de 10 sans la modifier: 105 4 X 105 + 0,02 X 105 On regroupe le tout: 4,02 X 105

Exercices 3 X 106 + 1,5 X 104 = 3,015 X 106 2,5 X 106 + 5 X 103 = 2,505 X 106 8,4 X 105 - 2,3 X 104 = 8,17 X 105 1,6 X 104 - 5,2 X 106 = - 5,184 X 106 La loi concernant l’addition et la soustraction de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique. Attention: