MODELE EN PASTILLE POUR L'ETUDE D'UNE GOUTTE ALIMENTEE SOUMISE A PERTURBATIONS Kwassi Anani1, Roger Prud’homme2, Séna Amah d’Almeida1 and Kofi Seylom Assiamoua1 1 Département de Mathématiques – Université de Lomé – Togo E-mail s: ananikwassi@yahoo.fr, salmeida@tg.refer.org, assiamoua@tg.refer.org 2 Institut Jean le Rond d’Alembert – UPMC/CNRS – Paris – France E-mail : prudhom@lmm.jussieu.fr 17 -20 octobre 2010 Colloque GDR MFA

PLAN DE L’EXPOSÉ Formulation du modèle Analyse linéaire MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua PLAN DE L’EXPOSÉ Formulation du modèle Analyse linéaire Facteur de réponse Champ de température Conclusion Contexte de l’étude : combustion dans les moteurs, thèse de Kwassi Anani mai 18 Colloque GDR MFA

1. Formulation du modèle Modèle de HEIDMANN de goutte Alimentée MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua 1. Formulation du modèle Modèle de HEIDMANN de goutte Alimentée Analyse linéaire en petites perturbations harmoniques. Recherche de solutions analytiques Ces solutions n’existent qu’à deux conditions: Ne pas tenir compte du transfert de chaleur convectif dû à l’alimentation Admettre que au centre de la sphère (adiabaticité) Recherche d’un nouveau modèle permettant d’évaluer l’influence de la Convection thermique dans la goutte mai 18 Colloque GDR MFA

Caractéristiques des modèles : MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua 1. Formulation du modèle Figure 1. Goutte de rayon , alimentée en liquide avec un débit et « pastille équivalente » Caractéristiques des modèles : mêmes volumes - mêmes surfaces d’évaporation mêmes temps de séjour - mêmes temps de diffusion thermique mai 18 Colloque GDR MFA

Figure 2: Autre pastille équivalente MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua 1. Formulation du modèle Equations de base Figure 2: Autre pastille équivalente H=0 pour un fond adiabatique et H= pour un fond isotherme mai 18 Colloque GDR MFA

2. Analyse linéaire Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua 2. Analyse linéaire mai 18 Colloque GDR MFA

2. Analyse linéaire Résolution Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua 2. Analyse linéaire Résolution mai 18 Colloque GDR MFA

Pour la pastille liquide , on a vu que: MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua 2. Analyse linéaire Pour la phase gazeuse, on admet les résultats obtenus pour la goutte sphérique avec l’hypothèse QS: Pour la pastille liquide , on a vu que: On élimine et la fonction de transfert complexe: mai 18 Colloque GDR MFA

Sans convection thermique Avec convection thermique MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua 3. Facteur de réponse Sans convection thermique Avec convection thermique Fond adiabatique Fond isotherme mai 18 Colloque GDR MFA

3. Facteur de réponse Figure 3: Influence des coefficients sur le MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua 3. Facteur de réponse Figure 3: Influence des coefficients sur le facteur de réponse; A = 10; B = 100 mai 18 Colloque GDR MFA

4. Champ de température Température réduite . On montre que : MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua 4. Champ de température Température réduite . On montre que : Profondeur de pénétration : Démonstration : . Développement à l’ordre 1 au voisinage de r=rS: mai 18 Colloque GDR MFA

Figure 4: Evolution de la température dans la MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua 4. Champ de température Figure 4: Evolution de la température dans la pastille à trois instants durant une demi-période mai 18 Colloque GDR MFA

Figure 5: Représentation 3D des profils thermiques MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua 4. Champ de température Figure 5: Représentation 3D des profils thermiques en fonction de l’espace et du temps mai 18 Colloque GDR MFA

Profondeur de pénétration MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua 4. Champ de température Profondeur de pénétration Figure 6: Profondeur de pénétration de l’onde thermique dans la pastille en fonction de la fréquence réduite pour différentes valeurs de q mai 18 Colloque GDR MFA

MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua 5. Conclusions La configuration « en pastille » permet un traitement analytique de l ’effet des petites perturbations linéarisées sur la goutte alimentée Le transfert convectif causé par l’alimentation de la goutte en forme de pastille cause une diminution de l’étendue en u de la zone instable La condition à la limite au niveau de l’alimentation influe de manière non négligeable sur les résultats Qualitativement, ces résultats sont certainement applicables à la goutte sphérique alimentée pour laquelle il n’y a pas de traitement Analytique -Perspective : injection d’un fluide à pression supercritique mai 18 Colloque GDR MFA

MODELE EN PASTILLE par Anani, Prud’homme, D’Almeida et Assiamoua Publications R. Prud’homme, Evaporation et combustion de gouttes dans les moteurs. Editions Techniques de l’Ingénieur, Traité de Mécanique, BM 2 521, 22 p., 2009.   R. Prud’homme, M. Habiballah, L. Matuszewski, Y. Mauriot, A. Nicole, T heoretical analysis of dynamic response of a vaporizing droplet to a acoustic oscillation. Journal of Propulsion and Power (0748-4658) 26 (2010), 1 R. Prud’homme Flows of reactive fluids. Book Series: Fluid Mechanics and Its Applications, Volume 94, Springer, 2010. K. Anani, R. Prud’homme, S. A. d’Almeida and K. S. Assiamoua, Effect of thermal convection on frequency response and temperature inside a perturbed vaporizing droplet: the “pastille-shaped mode”. Mécanique et Industries, 2010 (to appear). mai 18 Colloque GDR MFA