La résolution de problèmes ouverts : Gestion d’une séance, objectifs, rôle du maître… « Mettre les élèves en situation d’essayer, conjecturer, tester, prouver. » (IREM de Lyon)

« La gestion de la classe est tout aussi importante que le choix de l’énoncé. En ce sens, ce que nous proposons, c’est : une pratique de recherche ouverte d’un problème ouvert. » Arsac et Mante – Les pratiques du problème ouvert Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Gestion d’une séance de problèmes ouverts.

Gestion d’une séance de problèmes ouverts. 1/ La phase de recherche. 2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 3/ Un exemple au cycle 2. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La phase de recherche Les consignes initiales La recherche proprement dite La rédaction de propositions de solutions Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Les consignes initiales La phase de recherche Description …. Avant la séance, le professeur a annoncé et expliqué les « grandes lignes » de cette activité (ex : Chercher comme un chercheur, des problèmes que l’on a pas forcément l’habitude de rencontrer dans les manuels, introduire le défi Eure en maths, etc.) Les élèves sont dans la disposition classique. Le professeur rappelle l’organisation d’ensemble de la séance, distribue l’énoncé et éventuellement le matériel nécessaire. Les consignes principales sont écrites au tableau. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Les consignes initiales La phase de recherche Objectifs visés Pour mieux faire respecter le temps de travail individuel, il vaut mieux ne pas placer directement les élèves en groupe. La mise en place définitive des consignes doit permettre de réduire au minimum les retours sur ce sujet pendant la recherche. (On pourra renvoyer les élèves à ce qui est écrit au tableau). On peut aussi choisir de reproduire et distribuer les consignes, mais attention à ne pas alourdir la gestion des supports écrits. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Les consignes initiales La phase de recherche Rôle du professeur Le professeur a présenté au préalable la séance et son but. Il a choisi comment répartir les élèves en groupes (groupes spontanés, groupes organisés). Modalités possibles Avantages Inconvénients Propositions Par affinités libres (groupes spontanés) Motivation Le groupe des « rejetés ? », le groupe des forts ? Affinités organisée Sociogramme Homogènes Pas d’effet leader Les groupes faibles ? Hétérogènes Tous les groupes pourront produire Risque d’effet leader dans chaque groupe Limiter l’hétérogénéité. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Les consignes initiales La phase de recherche Rôle du professeur Le professeur a présenté au préalable la séance et son but. Il a choisi comment répartir les élèves en groupes (groupes spontanés, groupes organisés). Il s’assure que tous les élèves ont bien compris l’énoncé. Lecture par le maître ? Explicitation du vocabulaire (les mots, les expressions) Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Description générale Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Description générale La recherche commence par un temps de recherche individuelle, annoncé dans les consignes, d’environ 5 à 10 minutes, avec des variantes en fonction des besoins des élèves. Le travail en groupes Le professeur s’assure que chaque groupe a bien assimilé l’énoncé du problème : Être certain que tous les groupes cherchent le même problème. Les groupes cherchent… L’appropriation, la dévolution du problème. Le professeur a pour rôle principal de faciliter éventuellement le fonctionnement des groupes. Le professeur prend garde à ne pas trop intervenir… Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Objectifs visés Le temps de travail individuel : S’assurer que chaque élève a au moins lu et partiellement assimilé l’énoncé du problème. Éviter que le groupe ne suive uniquement l’idée de celui qui parlera en premier. Limite : L’élève qui reste sur « son idée » et ne s’intègre pas au travail du groupe? Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Objectifs visés Le travail de groupes – Pourquoi ? Objectifs pragmatiques : Éviter le découragement des élèves, enrichir les productions, diminuer le nombre de productions à débattre (le nombre de groupes sera une modalité à déterminer). Objectifs d’apprentissage : Faciliter la mise en place de la confrontation entre élèves (conflits sociocognitifs). Objectifs de socialisation : Apprendre aux élèves à travailler ensemble, à s’écouter, à défendre leur point de vue, à respecter l’avis de l’autre, etc. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Pendant la phase de recherche individuelle : Le maître passe dans les rangs pour s’assurer que tous les élèves se construisent une représentation correcte du problème : Pas d’incompréhension de l’énoncé, de contresens ou d’oubli d’une contrainte… Comment intervenir ? Intervention ponctuelle et discrète auprès d’un élève (ex : pour expliquer un mot). Une intervention collective, par questionnement du groupe : « Qu’est-ce que vous avez compris de l’énoncé ? Que faut-il chercher ? Pour vous, que veut dire… ? Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Pendant la phase de recherche individuelle : Le maître passe dans les rangs pour s’assurer que tous les élèves se construisent une représentation correcte du problème : Pas d’incompréhension de l’énoncé, de contresens ou d’oubli d’une contrainte… Pourquoi intervenir ? Dans tous les cas, il faut intervenir pour éviter de laisser des élèves bloqués ou engagés dans des représentations erronées de l’énoncé. (S’assurer que tout le monde va chercher le même problème, c’est aussi préparer le débat qui suivra la recherche). Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Pendant la phase de recherche individuelle : Le maître passe dans les rangs pour s’assurer que tous les élèves se construisent une représentation correcte du problème : Pas d’incompréhension de l’énoncé, de contresens ou d’oubli d’une contrainte… Est-ce le meilleur moment pour intervenir ? Les interventions du maître pendant la recherche individuelle peuvent nuire à l’autonomie des élèves en phase de recherche. C’est pourquoi il est préférable d’anticiper les difficultés de compréhension de l’énoncé (Cf. la phase des consignes initiales, la rédaction de l’énoncé, l’introduction préalable des termes difficiles de l’énoncé…) Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Les objectifs sont faciles à énoncer : Pendant la phase de recherche collective « Éviter que les interventions du professeur n’aboutissent à fermer le problème ou à supprimer toute autonomie de l’élève. » « Pratiquer une pédagogie de l’encouragement, développer l’autonomie des élèves, leur capacité à s’autocritiquer (s’autoévaluer). » « Recueillir des informations sur les élèves : leurs erreurs, leurs manières de travailler, leur capacité à réinvestir ce qu’ils ont appris, etc. » Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Les objectifs sont faciles à énoncer… Mais plus difficiles à mettre en pratique : Ce rôle est en rupture avec le rôle traditionnel de l’enseignant… Et avec les attentes des élèves ! Comment éviter de fermer le problème tout en pratiquant une pédagogie de l’encouragement ? Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur « Disons tout de suite que le plus gros écueil à éviter, c’est l’excès d’interventions. C’est une tentation à laquelle nous, enseignants, échappons difficilement. Pourtant des interventions trop fréquentes peuvent difficilement laisser penser aux élèves que le professeur leur laisse réellement la responsabilité de la recherche d’une solution : Ils auront vite tendance à penser que, trouver une solution, c’est, comme souvent, l’affaire du professeur. » Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Définition: dévolution « La dévolution est l'acte par lequel l'enseignant fait accepter à l'élève la responsabilité d'une situation d'apprentissage (adidactique) ou d'un problème et accepte lui-même les conséquences de ce transfert ». Processus par lequel le professeur fait en sorte que les élèves assument leur part de responsabilité dans l’apprentissage dévolution Situation didactique Situation adidactique enseignant élève Cours M2 R didactiques et interactions - Karine Robinault – Novembre 2008 gric.univ-lyon2.fr/Equipe2/.../Théorie%20des%20situations.ppt

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Les objectifs sont faciles à énoncer… Plus difficiles à mettre en pratique : Quelques pistes : Ne pas fermer le problème mène souvent le professeur à répondre à une question par une autre, et à en poser lui-même, le but étant de maintenir l’activité. Pratiquer une pédagogie de l’encouragement conduit à ne pas classer un résultat entre « juste » et « faux », mais à faire découvrir aux élèves comment ce résultat, même partiellement erroné, peut les faire progresser dans leur recherche. Ils apprennent par l’expérience vécue, qu’il est normal de ne pas « trouver » du premier coup, mais que les tâtonnements ont leur valeur. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Les interventions les plus fréquentes : 1/ Sollicitées par les élèves. Est-ce juste ? Suggestions : Le professeur peut relancer le débat au sein du groupe à propos de la solution proposée. « Et vous, qu’en pensez-vous ? » (Il rappelle qu’aujourd’hui, c’est à eux de répondre à cette question). Si le groupe considère sa solution comme définitive, rappeler que c’est la classe entière qui tranchera, lors de la séance de débat. (Cela peut aussi inciter les élèves à mieux se préparer à présenter leur solution). … Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La phase de recherche La recherche proprement dite Rôle du professeur Les interventions les plus fréquentes : 1/ Sollicitées par les élèves. Est-ce qu’on a le droit de…? Suggestions : Le professeur peut aussi renvoyer la question au groupe, à la lecture des consignes écrites au tableau, à la réflexion des élèves (ex : a-t-on le droit de faire des essais ?). Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Les interventions les plus fréquentes : 1/ Sollicitées par les élèves. On n’est pas d’accord, on demande au maître (à la maîtresse) ! Suggestions : Le professeur doit absolument refuser la réponse sollicitée! Le renvoi au débat du groupe s’impose ici. Cela peut éventuellement être l’occasion de suggérer certaines méthodes d’organisation du débat dans le groupe. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Les interventions les plus fréquentes : 1/ Sollicitées par les élèves. On est bloqués ! Le professeur doit gérer une « double contrainte » : Il ne faut pas que le groupe se décourage, mais il ne faut pas non plus lui donner la solution! Suggestions : Commencer par faire établir, par le groupe, le bilan de sa recherche, en valorisant les résultats partiels obtenus : C’est l’occasion de montrer l’intérêt d’une étude de validité. Si cette démarche échoue (ce qui est rare), le professeur pourra se laisser aller à quelques suggestions plus positives, en commençant, par exemple, par souligner l’intérêt d’une piste trop tôt abandonnée par le groupe. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Les interventions les plus fréquentes : 2/ Non sollicitées par les élèves. Quelles sont mes motivations, lorsque j’interviens sans que les élèves ne me le demandent ? Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Observer ce qui se passe, apprendre des choses sur les élèves. Les interventions les plus fréquentes : 2/ Non sollicitées par les élèves. L’intervention est alors a priori neutre : « Où en êtes-vous? » « Qu’est-ce que vous avez trouvé? » Une intervention silencieuse, passer voir, sans rien dire (même si cela pourra être interprété par les élèves). Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Vérifier que tous sont en activité. Les interventions les plus fréquentes : 2/ Non sollicitées par les élèves. L’intervention est encore a priori neutre : … Mais le professeur peut aussi s’interroger sur ses critères pour juger de l’activité des élèves… Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Ne pas rester sans rien faire! Les interventions les plus fréquentes : 2/ Non sollicitées par les élèves. Motif d’intervention le plus dangereux, mais fréquent ! Suggestions : Avoir conscience de ses motivations… Penser à regarder sa montre : Combien de temps est-on resté réellement sans intervenir ? Se mettre à la place des élèves : Que leur apportera mon intervention? N’a-t-elle pas uniquement pour but de me donner bonne conscience ? Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La phase de recherche La recherche proprement dite Rôle du professeur Les interventions du maître et leurs effets, observés par une équipe de recherche : C’est bien, continuez ! Oh Monsieur, on a trouvé ça, est-ce que c’est ça ? Sans que le maître ne le sache, la question posée par l’élève A intervient au moment d’un désaccord au sein du groupe, entre deux conjectures. La réponse neutre du maître aboutit aussitôt à la validation involontaire de la proposition de l’élève A. L’autre conjecture est aussitôt abandonnée par le groupe! Suggestion : Un refus de réponse directe, par renvoi de la question ou interrogation du groupe sur le bilan de sa recherche aurait sans doute permis d’éviter cette élimination involontaire d’une conjecture, par le maître. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La phase de recherche La recherche proprement dite Rôle du professeur Les interventions du maître et leurs effets, observés par une équipe de recherche : Bon, vous pensez être prêts, là ? Oui, mais ça nous paraît pas trop facile! Oui. Le périmètre d’un triangle, c’est la somme des côtés ? Faut que la construction soit valable dans n’importe quelle figure ? …. Les élèves sont en train de détourner une intervention du professeur (sont-ils prêts à écrire leur affiche), en une intervention sur le fond… Ils tâchent de « tirer les vers du nez » au professeur. Celui-ci est-il prêt à se laisser faire ? Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Les interventions du maître et leurs effets, observés par une équipe de recherche : Scène 1 : Le professeur examine le travail d’un groupe, d’abord en silence, s’aperçoit que les élèves n’ont pas respecté l’une des consignes de l’énoncé : « Vous êtes sûrs que vous avez bien lu l’énoncé, là ? » Les élèves comprennent le sens de cette intervention et une relecture attentive de l’énoncé leur permet de corriger leur erreur. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Les interventions du maître et leurs effets, observés par une équipe de recherche : Scène 2 (quelques instants plus tard) : Le professeur circule, examine le travail du groupe. Un élève : « Est-ce qu’on a le droit de plier la feuille ? C’est autorisé ? » Pas de réponse du professeur. Que vont en déduire les élèves ? Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Les interventions du maître et leurs effets, observés par une équipe de recherche : Cette absence de réponse est interprétée comme une approbation du professeur, suite à la scène 1 : « Le professeur intervient lorsqu’il y a une erreur !» Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La recherche proprement dite La phase de recherche Rôle du professeur Les interventions du maître et leurs effets, observés par une équipe de recherche : Que nous enseignent ces exemples ? L’effet réel des interventions du professeur peut être différent de l’effet recherché ou attendu. Points d’attention : Être conscient de l’effet possible de ses interventions et « tourner sept fois sa langue dans sa bouche », avant de parler! Les interventions aux effets inattendus sont souvent improvisées par le professeur. Pour laisser les élèves être autonomes dans leur recherche, le maître doit préparer son rôle à l’avance! Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La rédaction de propositions de solutions La phase de recherche Description Le moment venu, (dix à quinze minutes avant la fin de la séance de recherche en général), l’enseignant distribue une affiche (feuille de tableau de papier, un transparent, un marqueur), charge à chaque groupe d’écrire, de façon à ce que toute la classe puisse la lire : sa proposition de solution, totale ou partielle, des explications pour convaincre les autres de la validité des solutions (à partir du cycle 3), ou, au minimum, le simple bilan de ses travaux. Il est nécessaire de demander à chaque groupe un écrit qui sera communiqué à la classe (que ce soit au tableau, oralement ou sous forme d’affiche). … Une autre option possible : Envoyer un élève noter au tableau les résultats de son groupe… Semble moins fonctionnel… Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La rédaction de propositions de solutions La phase de recherche Objectifs visés L’objectif général est de préparer le débat en dressant la liste des propositions de solutions et de conjectures élaborées par les groupes. Il s’agit de parvenir à ce que toutes les conjectures, tous les résultats partiels, soient exposés. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La rédaction de propositions de solutions La phase de recherche Objectifs visés Pourquoi demander aux groupes de rédiger une proposition de solution ? Obliger chaque groupe à faire un bilan précis qui arrive à refléter ce sur quoi tout le groupe est d’accord (en cas d’écriture spontanée d’un élève au tableau, on risque de ne retrouver que l’opinion de cet élève). Faire prendre conscience de la nécessité d’une bonne rédaction. On écrit pour présenter son travail et convaincre ses pairs! Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

La rédaction de propositions de solutions La phase de recherche Rôle du professeur S’assurer du bon déroulement matériel de cette phase de rédaction. (ex : les affiches seront-elles réellement lisibles par le groupe classe ? Les feutres sont-ils en bon état, pourra-t-on utiliser un vidéoprojecteur ou un TBI ?…) Gérer l’ hétérogénéité : Que font les groupes qui ont terminé avant les autres ? (on peut parfois leur poser un problème qui prolonge la réflexion). Et les groupes qui estiment n’avoir « rien fait », « rien trouvé » ? On leur demande de rédiger les essais qu’ils ont fait, les conjectures fausses qu’ils ont trouvées. Il faut faire en sorte que chaque groupe réalise une production, pour ne pas dévaloriser ce travail de recherche et pour s’assurer de l’implication de tous, lors de la prochaine séance de débat. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. http://www.ac-creteil.fr/zeprep/dossiers/07_maths_noisy.html

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. Le but général de cette phase de débat est d’amener les élèves, par un débat entre eux, à éliminer les solutions fausses et à se convaincre de l’exactitude des autres. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. La qualité du débat : « Le fait que tous les élèves y participent et qu’ils parviennent effectivement à déterminer, parmi les solutions proposées, lesquelles sont exactes et, si possible, pour celles qui sont rejetées, leur « part de vérité ». Ceci n’empêche pas ultérieurement l’enseignant de donner son avis sur la valeur des arguments, du point de vue mathématique. L’effort d’organisation n’a pas pour but, par exemple, l’émergence la plus rapide possible de ce qui apparaît, parmi les solutions proposées, « la meilleure » aux yeux du maître. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. Quels sont les buts de l’organisation du débat : Parvenir à ce que toutes les conjectures, tous les résultats partiels soient exposés (Cf : L’écrit produit par chaque groupe à la fin de la séance de recherche). Parvenir à faire éliminer par la classe, au moyen de contre-exemples fournis par les élèves, les conjectures fausses, sans oublier de mettre en relief le côté positif de ces conjectures partielles. Parvenir à ce que, pour toutes les conjectures exactes, la classe, après avoir constaté l’absence de contre-exemple, arrive à poser le problème de leur validité. Dans les classes de cycle 3 et au début du collège, les élèves pourront être amenés à produire des preuves qui ne seront évidemment pas des démonstrations. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. La nature du problème posé conditionne la réussite du débat : Si la solution du problème paraît, à tort ou à raison, trop évidente aux élèves, il n’y aura pas vraiment de débat. L’enjeu pour les élèves sera plus fort s’il existe une incertitude sur une solution commune ou un affrontement entre plusieurs solutions, plusieurs conjectures. … Mais le débat peut aussi porter sur la manière de « prouver » que le résultat est juste ! Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. La nature du problème posé conditionne la réussite du débat : Si la solution du problème paraît, à tort ou à raison, trop évidente aux élèves, il n’y aura pas vraiment de débat. L’enjeu pour les élèves sera plus fort s’il existe une incertitude sur une solution commune ou un affrontement entre plusieurs solutions, plusieurs conjectures. … Ainsi, le choix de l’ordre de passage des groupes doit être réfléchi : L’évidence de la réussite du premier groupe à passer clôturerait prématurément le débat ! Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. Une proposition de déroulement pour le débat : D’autres modalités sont possibles. Le débat peut se dérouler en quatre temps : Les consignes initiales, La première affiche, Les autres affiches, La conclusion du débat. Ces modalités peuvent être adaptées, par exemple, à l’âge des élèves. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 1/ Les consignes initiales Description Le professeur expose le but de la séance : la classe doit dire quelles sont, parmi les solutions proposées, celles qui sont bonnes et celles qui sont à rejeter. Il indique que c’est la classe, et non lui, qui jusqu’à un certain moment, aura la responsabilité des choix. Il peut préciser que l’on va débattre affiche par affiche : Chacune des solutions proposées sera tout à tour débattue, jugée bonne ou rejetée. (les affiches ont été numérotées par le professeur dans l’ordre où elles seront débattues). Les élèves restent en groupe pour arrêter leur opinion sur la validité de l’affiche débattue. Chaque groupe a un rapporteur, il interviendra après l’échange intragroupe. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 1/ Les consignes initiales Description Il peut préciser que l’on va débattre affiche par affiche : Chacune des solutions proposées sera tout à tour débattue, jugée bonne ou rejetée. (les affiches ont été numérotées par le professeur dans l’ordre où elles seront débattues). Les élèves restent en groupe pour arrêter leur opinion sur la validité de l’affiche débattue. Chaque groupe a un rapporteur, il interviendra après l’échange intragroupe. L’expérience a montré que l’affichage simultané des travaux présentait des inconvénients : Les élèves repèrent leur erreurs et se démotivent pour le débat. L’organisation est plus floue et les élèves échangent parfois au sujets d’affiches différentes… Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 1/ Les consignes initiales Objectifs Ils sont la conséquence des objectifs généraux sur l’organisation du débat (ex : organiser le débat entre les groupes, le maître se tenant en retrait). On conserve les groupes de la phase de recherche, puisque chaque groupe pourra avoir à défendre son message. Le fait de désigner un porte-parole, dès le départ est important : Sachant qu’il devra s’exprimer au nom du groupe, il incitera ses camarades à se mettre d’accord – « Qu’est-ce que je vais dire au moment du débat ? » En l’absence de porte-parole désigné à l’avance, on constate souvent que celui qui prend la parole expose son propre point de vue, et non celui du groupe. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 1/ Les consignes initiales Rôle du professeur Simplement présenter l’ensemble de la séance, ses buts, son esprit. Attention : Bien mettre en évidence la responsabilité des élèves (ce n’est pas une correction) Dire : « La classe va décider laquelle de ces solutions… » Ou « Vous allez décider… » Ne pas dire : « Nous allons décider… » (Cf. La prépondérance du maître…) Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 2/ La première affiche Description L’enseignant détaille les modalités de l’étude de l’affiche n°1 : Phase 1 : Les élèves vont prendre connaissance de l’affiche et, si nécessaire, ils demanderont des explications à leurs auteurs, pour bien comprendre. Attention : Il ne s’agit pas de donner son opinion sur le résultat ou la conjecture, mais simplement de bien comprendre ce qui a été écrit! Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 2/ La première affiche Description L’enseignant détaille les modalités de l’étude de l’affiche n°1 : Phase 2 : Tous les groupes, sauf les auteurs de l’affiche, vont échanger leurs points de vue concernant la validité de cette affiche. Cette échange doit se terminer par un texte du type : « Nous acceptons la solution car… » « Nous refusons la solution car… » « Nous proposons la modification suivante… » (Éventuellement) Le groupe auteur essaie d’anticiper les critiques de ses camarades et prépare sa défense! Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 2/ La première affiche Description L’enseignant détaille les modalités de l’étude de l’affiche n°1 : Phase 3 : Chaque porte-parole donne son point de vue et le professeur notera ces arguments sur une affiche (le maître joue le rôle de secrétaire du groupe classe, il notera les arguments après reformulation éventuelle). Après avoir noté tous les arguments des groupes, le professeur fait débattre argument par argument, dans un ordre qu’il choisit. « Cet argument est-il valable ? » (on attend un accord de l’ensemble de la classe). Si l’argument est rejeté, on le barre. En cas d’indécision, on écrit « ? » Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La première affiche Prise de connaissance de l’affiche. Questions éventuelles sur la compréhension de ce qui est écrit. Travail et échanges au sein des groupes : Cette proposition est-elle acceptable ? Pourquoi ? Prise de connaissance des positions des groupes (porte-parole et le maître « secrétaire ») Puis : Débat sur les arguments recensés. Le groupe 1 s’exprime en premier… Enfin, on élimine les arguments rejetés par le groupe classe. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 2/ La première affiche Objectifs Pourquoi mettre en place un temps de prise de connaissance préalable et de questions aux auteurs de l’affiche 1? Pour éviter des arguments portant sur la forme, ensuite, lors du débat. « On n’est pas d’accord car on n’y comprend rien ! » « On n’est pas d’accord car c’est plein de fautes d’orthographe! » Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 2/ La première affiche Objectifs Pourquoi mettre en place un travail d’analyse et de débat en intragroupe ? Cela permet aux élèves de s’approprier le contenu de l’affiche 1 (ou travail du groupe 1), avant d’en débattre. Le débat interne au groupe sert, en général, de premier filtrage sur les arguments présentés au groupe classe. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 2/ La première affiche Objectifs Pourquoi cadrer la forme des messages ? « Nous sommes d’accord car… », « Nous ne sommes pas d’accord car… » Pour obliger les élèves à argumenter… Pour favoriser un débat sur les arguments et pas sur les messages… Aborder les caractéristiques du débat mathématique : « Quand peut-on affirmer qu’une production est juste ? Fausse ? » Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 2/ La première affiche Objectifs Pourquoi le maître doit-il/peut-il reformuler certains arguments? « Certaines critiques gagnent en clarté, y compris parfois dans l’esprit de leurs auteurs, à une reformulation par le professeur ». Les limites : La reformulation doit toujours se faire avec l’accord des auteurs. Le maître doit s’interdire toute interprétation ou introduction d’une idée nouvelle. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 2/ La première affiche Rôle du professeur Il joue le rôle de président de la séance et de secrétaire du groupe classe. C’est lui le responsable du bon déroulement des débats. Il aura des choix pédagogiques à faire : Ex : Choisir l’ordre du traitement des arguments, comme il a choisi l’ordre du traitement des affiches. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 2/ La première affiche Rôle du professeur Il doit s’efforcer de laisser la classe responsable des décisions prises à propos des arguments émis. Le maître peut être tenté de filtrer ou de réinterpréter certains arguments (par exemple, pour gagner du temps ou pour mettre en lumière un point qui semble avoir échappé au groupe classe). Cela présenterait les inconvénients suivants : Ce serait un obstacle à l’apprentissage de l’autonomie par les élèves. Le professeur risque de perdre beaucoup d’informations, sur les élèves, leurs conceptions, leurs manières de raisonner… Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 3/ Les autres affiches Il est souvent difficile, voire impossible, de traiter les autres affiches comme l’affiche n°1 : Problème de temps, Risque de baisse de motivation. Le maître choisit combien d’affiches il traite de cette manière (Deux ? Trois ?) Cela dépend aussi du nombre de productions (ex : 6 affiches pour une classe de 24 élèves). Quelques pistes pour faciliter l’exploitation des affiches : Rassembler certaines productions identiques. Débattre alors de deux ou trois productions qui permettent de conclure. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 3/ Les autres affiches Il est souvent difficile, voire impossible, de traiter les autres affiches comme l’affiche n°1 : Problème de temps, Risque de baisse de motivation. Le maître choisit combien d’affiches il traite de cette manière (Deux ? Trois ?) Cela dépend aussi du nombre de productions (ex : 6 affiches pour une classe de 24 élèves). Que faire des autres productions ? On peut les reproduire, les distribuer individuellement aux élèves et leur demander de donner leur point de vue (Je suis d’accord… Je ne suis pas d’accord car…). Cela permet à l’enseignant de savoir comment les élèves réinvestissent les acquis du débat. On peut aussi faire un commentaire, sans engager de débat. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

2/ La phase de mise en commun des productions et de débat sur leur validité. 4/ La conclusion du débat Évidemment, on conclut par la résolution du problème ! Ce que peut apporter le regard du professeur : (exploiter certains éléments et/ou attirer l’attention des élèves sur ces points) Efficacité comparée des méthodes de recherche (mais on n’est pas à la recherche d’une méthode experte). Travail avec la classe sur certaines erreurs relevées par l’enseignant. Reprise de certaines notions du cours utilisées pendant la recherche. Mise en évidence de l’utilité des règles pour débattre. Travail sur la notion de vrai et de faux en mathématiques. Travail sur le rôle du contre-exemple. Etc. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Promenade en mer à bord du Robinson 3/ Un exemple au cycle 2. - Enoncé Le support du problème est constitué d’une affichette, à propos de laquelle d’autres questions ont été posées, et d’un énoncé. Promenade en mer à bord du Robinson 60 places Départ à 9h, 11h, 14h, 16h et 18h Adulte : 10 euros Enfant : 6 euros Dimanche, à la promenade de 11 h, le bateau était complet. Il y avait 10 enfants de plus que d’adultes. Combien y avait-il d’enfants et d’adultes sur le bateau ? Situation extraite de Cap Maths CE1 – Édition 2006 Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

3/ Un exemple au cycle 2 – Déroulement de la séance. Appropriation du problème : La lecture silencieuse individuelle est suivie d’une phase collective d’élucidation de la situation. Ce travail se fait à partir des résumés, des remarques et des questions des élèves, à partir aussi de leurs échanges. Cette phase se conclut sur une synthèse faite par l’enseignant. Il y a plus d’enfants, parce que certains enfants sont venus seuls! Il y a 10 enfants. Mais non, il y a des adultes et des enfants… Plus d’enfants… 10 de plus, pas 10 enfants! En tout, ils sont combien ? Regarde l’affiche… C’est écrit dessus… 11 heures, ça sert à rien… Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

3/ Un exemple au cycle 2. Appropriation du problème : La lecture silencieuse est suivie d’une phase collective d’élucidation de la situation. Ce travail se fait à partir des résumés, des remarques et des questions des élèves, à partir aussi de leurs échanges. Cette phase se conclut sur une synthèse faite par l’enseignant. Synthèse par l’enseignant : Vous devez trouver le nombre d’enfants et le nombre d’adultes, à partir de ces informations : ? … 10 enfants de plus que d’adultes Enfants Adultes 60 personnes au total Vous pouvez vous mettre par deux pour chercher sur la grande feuille que je distribue. Écrivez au feutre, assez gros. Écrivez tout ce que vous faites pour trouver. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

3/ Un exemple au cycle 2. Appropriation du problème : La lecture silencieuse est suivie d’une phase collective d’élucidation de la situation. Ce travail se fait à partir des résumés, des remarques et des questions des élèves, à partir aussi de leurs échanges. Cette phase se conclut sur une synthèse faite par l’enseignant. Avec de jeunes élèves, lorsque le problème est donné sous forme d’énoncé écrit, cette phase d’élucidation est essentielle pour faire en sorte que tous les élèves comprennent les données du problème, les contraintes et la question posée. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Première phase de recherche 3/ Un exemple au cycle 2 - Commentaires Première phase de recherche Description : Les élèves sont invités à chercher, sur une feuille A3, directement par équipes de deux. L’enseignant suit les premiers échanges et les premières productions, sans intervenir. Quelques équipes disent avoir très rapidement terminé. Certaines ont trouvé, par exemple : 10 enfants et 50 adultes. 60 adultes et 70 enfants. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Première mise en commun 3/ Un exemple au cycle 2 - Commentaires Première mise en commun Plutôt que d’intervenir auprès de ces groupes, l’enseignant décide d’organiser un échange assez rapide en soumettant ces réponses à la classe. De cet échange, qui permet une nouvelle formulation des contraintes, il ressort que ces réponses ne conviennent pas : Pour la première, il y a bien 60 passagers, mais il n’y a pas 10 enfants de plus que d’adultes (il y a même 40 enfants de moins que d’adultes). Pour la seconde, il y a bien 10 enfants de plus que d’adultes, mais le total des passagers est égal à 130! 10 enfants et 50 adultes. 60 adultes et 70 enfants. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Première mise en commun 3/ Un exemple au cycle 2 - Commentaires Première mise en commun Plutôt que d’intervenir auprès de ces groupes, l’enseignant décide d’organiser un échange assez rapide en soumettant ces réponses à la classe. De cet échange, qui permet une nouvelle formulation des contraintes, il ressort que ces réponses ne conviennent pas : Pour la première, il y a bien 60 passagers, mais il n’y a pas 10 enfants de plus que d’adultes (il y a même 40 enfants de moins que d’adultes). Pour la seconde, il y a bien 10 enfants de plus que d’adultes, mais le total des passagers est égal à 130! Remarques : Cette mise en commun intermédiaire présente un risque, celui de casser la dynamique des équipes en train de chercher. Elle présente aussi des avantages : Éviter que les élèves restent dans l’erreur, leur permettre de relancer leur recherche, permettre à d’autres de se recentrer sur les contraintes de la situation. …. Tout cela sans que l’enseignant ait à se positionner comme détenteur de la bonne solution! Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Deuxième phase de recherche 3/ Un exemple au cycle 2 - Commentaires Deuxième phase de recherche Les élèves cherchent… en groupe…. Le rôle du maître : Passer dans les groupes, observer et écouter, Rappeler aux élèves qu’ils doivent se mettre d’accord sur la solution, Relancer éventuellement l’activité d’un élève qui semble plus passif, (ex : lui demander d’expliciter ce qui est écrit sur la feuille du groupe…) L’enseignant insiste pour que les élèves écrivent clairement la réponse à la question posée. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

3/ Un exemple au cycle 2 - Commentaires Mise en commun finale Dans cette classe, avant d’afficher et d’échanger sur quelques productions, il a été demandé à toutes les équipes de donner oralement leur réponse à la question posée. Les réponses sont notées au tableau avec le nombre d’occurrences pour chacune. Puis un temps est laissé aux élèves pour trouver les réponses qui, selon eux, sont fausses. Le recensement des arguments permet de faire apparaître que les réponses fausses sont celles pour lesquelles l’une au moins des contraintes n’est pas respectée. Le plus souvent il s’agit de la réponse « 40 enfants et 30 adultes », obtenue en calculant d’abord la moitié de 60. … On s’intéresse ensuite à quelques productions qui ont donné lieu à ces réponses fausses, puis à d’autres qui ont permis d’aboutir. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

3/ Un exemple au cycle 2 - Commentaires Mise en commun finale Les groupes ont produit trois types de réponses : Recours à un dessin réaliste ou schématisé des personnages, avec : Représentation préalable de 60 passagers et tentatives de partager en deux lots Représentation de 2 parties du bateau, une pour les enfants, l’autre pour les adultes, avec placement des passagers dans ces 2 parties. Recours à des essais de sommes de 2 nombres plus ou moins organisés (souvent aléatoires au début, puis plus « convergents »), avec : Priorité donnée à la décomposition de 60, puis vérification de l’écart entre les 2 termes, Choix d’un premier nombre, puis calcul d’un deuxième en ajoutant 10 au premier et, enfin, vérification que leur somme est égale à 60. Calcul de la moitié de 60, puis essais de deux nombres voisins de 30. Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

3/ Un exemple au cycle 2 - Commentaires Mise en commun finale À la fin, l’enseignant fait une synthèse en reformulant : Les deux contraintes qu’il fallait respecter, Les principales démarches utilisées, ce qui permet d’insister sur le fait que, pour résoudre un problème, il existe très souvent plusieurs démarches possibles. Au cycle 2, l’exploitation collective (recensement des résultats, explicitation des procédures de résolution, synthèse par l’enseignant) se fait, le plus souvent, directement sur les écrits de recherche des élèves (leur brouillon). Il est difficile pour ces élèves de distinguer écrit de recherche et écrit destiné à être communiqué aux autres pour le débat. (Cela commence à devenir davantage possible au cycle 3). Il faut parfois donner un peu de temps aux élèves pour qu’ils puissent essayer de comprendre seuls la production d’une équipe. Le soutien de l’enseignant peut être nécessaire : Questions, reformulations… Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Victor Hugo, Les rayons et les ombres, 1840 « L’esprit de l’homme a trois clefs qui ouvrent tout: le chiffre, la lettre, la note. Savoir, penser, rêver. Tout est là. » Victor Hugo, Les rayons et les ombres, 1840 Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Bibliographie Les pratiques du problème ouvert – Scérén – CRDP Lyon – G. Arsac et M. Mante - 2007 Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite

Sur internet : TFM - http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/ Voir : Résolution de problèmes, parcours 1, module 2. Voir : Vidéo – Problèmes pour chercher au CP. Apprendre à résoudre des problèmes au cycle 2 – IREM La Réunion : http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?article534 Les pratiques de l'enseignant durant l'activité de résolution de problèmes par les élèves et leurs effets sur l'apprentissage - Stéphanie de VANSSAY - Mémoire de Master 2: http://www.masterscontributions.fr/content/les-pratiques-de-l-enseignant-durant-l-activite-de-resolution-de-problemes-par-les-eleves-et Grand N n°68 - Mises en commun et argumentation en mathématiques – J. Douaire Consulter Grand N : http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_n/ Des problèmes pour chercher groupe IREM école-collège 2004-2007 http://www.univ-orleans.fr/irem/modules/news/documents/pb-pour-chercher.pdf Document réservé aux enseignants ayant participé à la formation - Diffusion interdite