VI Graphes probabilistes Ce sont des graphes orientés et pondérés, dont les sommets désignent des états ( an ; bn ; … ) à un instant n, et l’arête allant de i à j est pondérée par la probabilité que le sommet i passe à l’état j.

VI Graphes probabilistes Ce sont des graphes orientés et pondérés, dont les sommets désignent des états ( an ; bn ; … ) à un instant n, et l’arête allant de i à j est pondérée par la probabilité que le sommet i passe à l’état j ( donc la somme des poids des arêtes partant de tout sommet fait 1 ).

VI Graphes probabilistes Ce sont des graphes orientés et pondérés, dont les sommets désignent des états ( an ; bn ; … ) à un instant n, et l’arête allant de i à j est pondérée par la probabilité que le sommet i passe à l’état j ( donc la somme des poids des arêtes partant de tout sommet fait 1 ). La matrice P0 = ( a0 ; b0 ; … ) désigne l’état initial.

VI Graphes probabilistes Ce sont des graphes orientés et pondérés, dont les sommets désignent des états ( an ; bn ; … ) à un instant n, et l’arête allant de i à j est pondérée par la probabilité que le sommet i passe à l’état j ( donc la somme des poids des arêtes partant de tout sommet fait 1 ). La matrice P0 = ( a0 ; b0 ; … ) désigne l’état initial. La matrice Pn = ( an ; bn ; … ) désigne l’état à l’instant n.

La matrice de transition M comporte les éléments aij = poids de l’arête allant de i à j.

La matrice de transition M comporte les éléments aij = poids de l’arête allant de i à j. Pn+1 = Pn × M ( dimensions (1×p) × (p×p) = (1×p) )

La matrice de transition M comporte les éléments aij = poids de l’arête allant de i à j. Pn+1 = Pn × M ( dimensions (1×p) × (p×p) = (1×p) ) donc Pn = P0 × Mn

La matrice de transition M comporte les éléments aij = poids de l’arête allant de i à j. Pn+1 = Pn × M ( dimensions (1×p) × (p×p) = (1×p) ) donc Pn = P0 × Mn Propriété : Si le graphe probabiliste est d’ordre 2, et si la matrice de transition ne comporte pas de 0, alors l’état probabiliste converge vers un état P indépendant de P0.

Exercice 1 : Deux partis politiques s'affrontent : à chaque élection, 30% des électeurs de X lui restent fidèles pour l'élection suivante, et 15% des électeurs de Y lui restent fidèles pour l'élection suivante, les autres changent d'opinion à l'élection suivante et la population reste stable et tout le monde vote. L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 1°) Déterminez le graphe associé à cette situation et la matrice associée.

Exercice 1 : Deux partis politiques s'affrontent : à chaque élection, 30% des électeurs de X lui restent fidèles pour l'élection suivante, et 15% des électeurs de Y lui restent fidèles pour l'élection suivante, les autres changent d'opinion à l'élection suivante et la population reste stable et tout le monde vote. L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 1°) Déterminez le graphe associé à cette situation et la matrice associée. 0,3 0,15 an bn

Exercice 1 : Deux partis politiques s'affrontent : à chaque élection, 30% des électeurs de X lui restent fidèles pour l'élection suivante, et 15% des électeurs de Y lui restent fidèles pour l'élection suivante, les autres changent d'opinion à l'élection suivante et la population reste stable et tout le monde vote. L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 1°) Déterminez le graphe associé à cette situation et la matrice associée. 0,3 0,15 an bn

Exercice 1 : Deux partis politiques s'affrontent : à chaque élection, 30% des électeurs de X lui restent fidèles pour l'élection suivante, et 15% des électeurs de Y lui restent fidèles pour l'élection suivante, les autres changent d'opinion à l'élection suivante et la population reste stable et tout le monde vote. L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 1°) Déterminez le graphe associé à cette situation et la matrice associée. 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn

Exercice 1 : Deux partis politiques s'affrontent : à chaque élection, 30% des électeurs de X lui restent fidèles pour l'élection suivante, et 15% des électeurs de Y lui restent fidèles pour l'élection suivante, les autres changent d'opinion à l'élection suivante et la population reste stable et tout le monde vote. L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 1°) Déterminez le graphe associé à cette situation et la matrice associée. 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn A B M = A 0,3 0,7 B 0,85 0,15

L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 2°) On appelle an et bn les proportions de votants l'année n pour les candidats respectifs X et Y. Déterminez quelles personnes X ou Y seront élues les années 0 à 2. 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn

L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 2°) On appelle an et bn les proportions de votants l'année n pour les candidats respectifs X et Y. Déterminez quelles personnes X ou Y seront élues les années 0 à 2. a0 = 0,15 et b0 = 0,85 Y est élu l’année 0. 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn a0 = 0,15 a1 a2 b0 = 0,85 b1 b2

L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 2°) On appelle an et bn les proportions de votants l'année n pour les candidats respectifs X et Y. Déterminez quelles personnes X ou Y seront élues les années 0 à 2. a0 = 0,15 et b0 = 0,85 Y est élu l’année 0. a1 = 0,3 a0 + 0,85 b0 = 0,3 (0,15) + 0,85 (0,85) = 0,7675 et b1 = 0,7 a0 + 0,15 b0 = 0,7 (0,15) + 0,15 (0,85) = 0,2325 X est élu l’année 1. 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn a0 = 0,15 30% a1 = 0,7675 a2 85% 70% b0 = 0,85 15% b1 = 0,2325 b2

L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 2°) On appelle an et bn les proportions de votants l'année n pour les candidats respectifs X et Y. Déterminez quelles personnes X ou Y seront élues les années 0 à 2. a0 = 0,15 et b0 = 0,85 Y est élu l’année 0. a1 = 0,3 a0 + 0,85 b0 = 0,3 (0,15) + 0,85 (0,85) = 0,7675 et b1 = 0,7 a0 + 0,15 b0 = 0,7 (0,15) + 0,15 (0,85) = 0,2325 X est élu l’année 1. a2 = 0,3 a1 + 0,85 b1 = 0,3 (0,7675) + 0,85 (0,2325) ≈ 0,428 et b2 = 0,7 a1 + 0,15 b1 = 0,7 (0,7675) + 0,15 (0,2325) ≈ 0,572 Y est élu l’année 2. 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn a0 = 0,15 30% a1 = 0,7675 a2 ≈ 0,428 85% 70% b0 = 0,85 15% b1 = 0,2325 b2 ≈ 0,572

an 0,85 bn Déterminez an+1 et bn+1 en fonction de an et bn. L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 2°) On appelle an et bn les proportions de votants l'année n pour les candidats respectifs X et Y. Déterminez quelles personnes X ou Y seront élues les années 0 à 2. a0 = 0,15 et b0 = 0,85 Y est élu l’année 0. a1 = 0,3 a0 + 0,85 b0 = 0,3 (0,15) + 0,85 (0,85) = 0,7675 et b1 = 0,7 a0 + 0,15 b0 = 0,7 (0,15) + 0,15 (0,85) = 0,2325 X est élu l’année 1. a2 = 0,3 a1 + 0,85 b1 = 0,3 (0,7675) + 0,85 (0,2325) ≈ 0,428 et b2 = 0,7 a1 + 0,15 b1 = 0,7 (0,7675) + 0,15 (0,2325) ≈ 0,572 Y est élu l’année 2. 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn Déterminez an+1 et bn+1 en fonction de an et bn.

an 0,85 bn Déterminez an+1 et bn+1 en fonction de an et bn. L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 2°) On appelle an et bn les proportions de votants l'année n pour les candidats respectifs X et Y. Déterminez quelles personnes X ou Y seront élues les années 0 à 2. a0 = 0,15 et b0 = 0,85 Y est élu l’année 0. a1 = 0,3 a0 + 0,85 b0 = 0,3 (0,15) + 0,85 (0,85) = 0,7675 et b1 = 0,7 a0 + 0,15 b0 = 0,7 (0,15) + 0,15 (0,85) = 0,2325 X est élu l’année 1. a2 = 0,3 a1 + 0,85 b1 = 0,3 (0,7675) + 0,85 (0,2325) ≈ 0,428 et b2 = 0,7 a1 + 0,15 b1 = 0,7 (0,7675) + 0,15 (0,2325) ≈ 0,572 Y est élu l’année 2. 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn Déterminez an+1 et bn+1 en fonction de an et bn. an+1 = 0,3 an + 0,85 bn et bn+1 = 0,7 an + 0,15 bn

L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 2°) On appelle an et bn les proportions de votants l'année n pour les candidats respectifs X et Y. Déterminez quelles personnes X ou Y seront élues les années 0 à 2. a0 = 0,15 et b0 = 0,85 Y est élu l’année 0. a1 = 0,3 a0 + 0,85 b0 = 0,3 (0,15) + 0,85 (0,85) = 0,7675 et b1 = 0,7 a0 + 0,15 b0 = 0,7 (0,15) + 0,15 (0,85) = 0,2325 X est élu l’année 1. a2 = 0,3 a1 + 0,85 b1 = 0,3 (0,7675) + 0,85 (0,2325) ≈ 0,428 et b2 = 0,7 a1 + 0,15 b1 = 0,7 (0,7675) + 0,15 (0,2325) ≈ 0,572 Y est élu l’année 2. 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn an 30% an+1 = 0,3 an + 0,85 bn 85% 70% bn 15% bn+1 = 0,7 an + 0,15 bn

L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 2°) On appelle an et bn les proportions de votants l'année n pour les candidats respectifs X et Y. Déterminez quelles personnes X ou Y seront élues les années 0 à 2. a0 = 0,15 et b0 = 0,85 Y est élu l’année 0. a1 = 0,3 a0 + 0,85 b0 = 0,3 (0,15) + 0,85 (0,85) = 0,7675 et b1 = 0,7 a0 + 0,15 b0 = 0,7 (0,15) + 0,15 (0,85) = 0,2325 X est élu l’année 1. a2 = 0,3 a1 + 0,85 b1 = 0,3 (0,7675) + 0,85 (0,2325) ≈ 0,428 et b2 = 0,7 a1 + 0,15 b1 = 0,7 (0,7675) + 0,15 (0,2325) ≈ 0,572 Y est élu l’année 2. 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn Déterminez an+1 et bn+1 en fonction de an et bn. an+1 = 0,3 an + 0,85 bn et bn+1 = 0,7 an + 0,15 bn qui correspond à an+1 0,3 0,85 an bn+1 = 0,7 0,15 × bn

L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y L'année 0 il y a 15% de votants pour X et 85% pour Y. 2°) On appelle an et bn les proportions de votants l'année n pour les candidats respectifs X et Y. Déterminez quelles personnes X ou Y seront élues les années 0 à 2. a0 = 0,15 et b0 = 0,85 Y est élu l’année 0. a1 = 0,3 a0 + 0,85 b0 = 0,3 (0,15) + 0,85 (0,85) = 0,7675 et b1 = 0,7 a0 + 0,15 b0 = 0,7 (0,15) + 0,15 (0,85) = 0,2325 X est élu l’année 1. a2 = 0,3 a1 + 0,85 b1 = 0,3 (0,7675) + 0,85 (0,2325) ≈ 0,428 et b2 = 0,7 a1 + 0,15 b1 = 0,7 (0,7675) + 0,15 (0,2325) ≈ 0,572 Y est élu l’année 2. 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn Déterminez an+1 et bn+1 en fonction de an et bn. an+1 = 0,3 an + 0,85 bn et bn+1 = 0,7 an + 0,15 bn qui correspond à an+1 0,3 0,85 an 0,3 0,7 bn+1 = 0,7 0,15 × bn ou an+1 bn+1 = an bn × 0,85 0,15 avec A’2×1 = B’2×2 × C’2×1 et A1×2 = C1×2 × B2×2 qui existent.

3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0 3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0. Déterminez Pn en fonction de P0 . 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn

3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0 3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0. Déterminez Pn en fonction de P0 . a0 = 0,15 et b0 = 0,85 P0 = ( 0,15 0,85 ) 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn

3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0 3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0. Déterminez Pn en fonction de P0 . a0 = 0,15 et b0 = 0,85 P0 = ( 0,15 0,85 ) 0,3 0,7 an+1 bn+1 = an bn × 0,85 0,15 correspond à Pn+1 = Pn × M 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn

3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0 3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0. Déterminez Pn en fonction de P0 . a0 = 0,15 et b0 = 0,85 P0 = ( 0,15 0,85 ) 0,3 0,7 an+1 bn+1 = an bn × 0,85 0,15 correspond à Pn+1 = Pn × M Pn = Pn-1 × M = ( Pn-2 × M ) × M = ( ( Pn-3 × M ) × M ) × M = etc… = P0 × Mn 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn

3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0 3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0. Déterminez Pn en fonction de P0 . a0 = 0,15 et b0 = 0,85 P0 = ( 0,15 0,85 ) 0,3 0,7 an+1 bn+1 = an bn × 0,85 0,15 correspond à Pn+1 = Pn × M Pn = Pn-1 × M = ( Pn-2 × M ) × M = ( ( Pn-3 × M ) × M ) × M = etc… = P0 × Mn 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn 4°) Avec la calculatrice déterminez P5, P10, P15 et P20 . Que remarque-t-on ? Quelle conjecture peut-on faire ?

3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0 3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0. Déterminez Pn en fonction de P0 . a0 = 0,15 et b0 = 0,85 P0 = ( 0,15 0,85 ) 0,3 0,7 an+1 bn+1 = an bn × 0,85 0,15 correspond à Pn+1 = Pn × M Pn = Pn-1 × M = ( Pn-2 × M ) × M = ( ( Pn-3 × M ) × M ) × M = etc… = P0 × Mn 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn 4°) Avec la calculatrice déterminez P5, P10, P15 et P20 . Que remarque-t-on ? Quelle conjecture peut-on faire ? P5 = (0,15 0,85) × M5 ≈ (0,568 0,432)

3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0 3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0. Déterminez Pn en fonction de P0 . a0 = 0,15 et b0 = 0,85 P0 = ( 0,15 0,85 ) 0,3 0,7 an+1 bn+1 = an bn × 0,85 0,15 correspond à Pn+1 = Pn × M Pn = Pn-1 × M = ( Pn-2 × M ) × M = ( ( Pn-3 × M ) × M ) × M = etc… = P0 × Mn 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn 4°) Avec la calculatrice déterminez P5, P10, P15 et P20 . Que remarque-t-on ? Quelle conjecture peut-on faire ? P5 = (0,15 0,85) × M5 ≈ (0,568 0,432) idem P10 ≈ (0,547 0,453)

3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0 3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0. Déterminez Pn en fonction de P0 . a0 = 0,15 et b0 = 0,85 P0 = ( 0,15 0,85 ) 0,3 0,7 an+1 bn+1 = an bn × 0,85 0,15 correspond à Pn+1 = Pn × M Pn = Pn-1 × M = ( Pn-2 × M ) × M = ( ( Pn-3 × M ) × M ) × M = etc… = P0 × Mn 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn 4°) Avec la calculatrice déterminez P5, P10, P15 et P20 . Que remarque-t-on ? Quelle conjecture peut-on faire ? P5 = (0,15 0,85) × M5 ≈ (0,568 0,432) idem P10 ≈ (0,547 0,453) P15 ≈ (0,548 0,452)

3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0 3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0. Déterminez Pn en fonction de P0 . a0 = 0,15 et b0 = 0,85 P0 = ( 0,15 0,85 ) 0,3 0,7 an+1 bn+1 = an bn × 0,85 0,15 correspond à Pn+1 = Pn × M Pn = Pn-1 × M = ( Pn-2 × M ) × M = ( ( Pn-3 × M ) × M ) × M = etc… = P0 × Mn 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn 4°) Avec la calculatrice déterminez P5, P10, P15 et P20 . Que remarque-t-on ? Quelle conjecture peut-on faire ? P5 = (0,15 0,85) × M5 ≈ (0,568 0,432) idem P10 ≈ (0,547 0,453) P15 ≈ (0,548 0,452) P20 ≈ (0,548 0,452)

3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0 3°) On appelle P0 = ( a0 b0 ) l'état probabiliste l'année 0. Déterminez Pn en fonction de P0 . a0 = 0,15 et b0 = 0,85 P0 = ( 0,15 0,85 ) 0,3 0,7 an+1 bn+1 = an bn × 0,85 0,15 correspond à Pn+1 = Pn × M Pn = Pn-1 × M = ( Pn-2 × M ) × M = ( ( Pn-3 × M ) × M ) × M = etc… = P0 × Mn 0,3 0,7 0,15 an 0,85 bn 4°) Avec la calculatrice déterminez P5, P10, P15 et P20 . Que remarque-t-on ? Quelle conjecture peut-on faire ? P5 = (0,15 0,85) × M5 ≈ (0,568 0,432) idem P10 ≈ (0,547 0,453) P15 ≈ (0,548 0,452) P20 ≈ (0,548 0,452) Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452)

Et si il y avait eu 70% de votants pour X l'année 0 aurait-on eu la même conjecture ? P5 = (0,7 0,3) × M5

Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) Et si il y avait eu 70% de votants pour X l'année 0 aurait-on eu la même conjecture ? P5 = (0,7 0,3) × M5 ≈ (0,541 0,459) idem P10 ≈ (0,549 0,451) P15 ≈ (0,548 0,452) P20 ≈ (0,548 0,452) Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture indépendamment de l’état initial !

Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! Et si il y avait eu 70% de votants pour X l'année 0 aurait-on eu la même conjecture ? P5 = (0,7 0,3) × M5 ≈ (0,541 0,459) idem P10 ≈ (0,549 0,451) P15 ≈ (0,548 0,452) P20 ≈ (0,548 0,452) Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! 5°) Déterminez la matrice P telle que Pn = Pn+1 = P.

Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! Et si il y avait eu 70% de votants pour X l'année 0 aurait-on eu la même conjecture ? P5 = (0,7 0,3) × M5 ≈ (0,541 0,459) idem P10 ≈ (0,549 0,451) P15 ≈ (0,548 0,452) P20 ≈ (0,548 0,452) Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! 5°) Déterminez la matrice P telle que Pn = Pn+1 = P. 0,3 0,7 Pn+1 = Pn × M donne P = P × M donc ( a b ) = ( a b ) × 0,85 0,15

Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! Et si il y avait eu 70% de votants pour X l'année 0 aurait-on eu la même conjecture ? P5 = (0,7 0,3) × M5 ≈ (0,541 0,459) idem P10 ≈ (0,549 0,451) P15 ≈ (0,548 0,452) P20 ≈ (0,548 0,452) Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! 5°) Déterminez la matrice P telle que Pn = Pn+1 = P. 0,3 0,7 Pn+1 = Pn × M donne P = P × M donc ( a b ) = ( a b ) × 0,85 0,15 donc ( a b ) = ( 0,3 a + 0,85 b 0,7 a + 0,15 b )

Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! Et si il y avait eu 70% de votants pour X l'année 0 aurait-on eu la même conjecture ? P5 = (0,7 0,3) × M5 ≈ (0,541 0,459) idem P10 ≈ (0,549 0,451) P15 ≈ (0,548 0,452) P20 ≈ (0,548 0,452) Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! 5°) Déterminez la matrice P telle que Pn = Pn+1 = P. 0,3 0,7 Pn+1 = Pn × M donne P = P × M donc ( a b ) = ( a b ) × 0,85 0,15 donc ( a b ) = ( 0,3 a + 0,85 b 0,7 a + 0,15 b ) donc a = 0,3 a + 0,85 b et b = 0,7 a + 0,15 b

Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! Et si il y avait eu 70% de votants pour X l'année 0 aurait-on eu la même conjecture ? P5 = (0,7 0,3) × M5 ≈ (0,541 0,459) idem P10 ≈ (0,549 0,451) P15 ≈ (0,548 0,452) P20 ≈ (0,548 0,452) Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! 5°) Déterminez la matrice P telle que Pn = Pn+1 = P. 0,3 0,7 Pn+1 = Pn × M donne P = P × M donc ( a b ) = ( a b ) × 0,85 0,15 donc ( a b ) = ( 0,3 a + 0,85 b 0,7 a + 0,15 b ) donc a = 0,3 a + 0,85 b et b = 0,7 a + 0,15 b qui donne 0,7 a = 0,85 b et 0,85 b = 0,7 a donc les 2 équations ne suffisent pas car elles n’étaient pas indépendantes.

Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! Et si il y avait eu 70% de votants pour X l'année 0 aurait-on eu la même conjecture ? P5 = (0,7 0,3) × M5 ≈ (0,541 0,459) idem P10 ≈ (0,549 0,451) P15 ≈ (0,548 0,452) P20 ≈ (0,548 0,452) Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! 5°) Déterminez la matrice P telle que Pn = Pn+1 = P. 0,3 0,7 Pn+1 = Pn × M donne P = P × M donc ( a b ) = ( a b ) × 0,85 0,15 donc ( a b ) = ( 0,3 a + 0,85 b 0,7 a + 0,15 b ) donc a = 0,3 a + 0,85 b et b = 0,7 a + 0,15 b qui donne 0,7 a = 0,85 b et 0,85 b = 0,7 a donc les 2 équations ne suffisent pas. a + b = 1 donne b = 1 – a donc 0,85 (1 - a) = 0,7 a

Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! Et si il y avait eu 70% de votants pour X l'année 0 aurait-on eu la même conjecture ? P5 = (0,7 0,3) × M5 ≈ (0,541 0,459) idem P10 ≈ (0,549 0,451) P15 ≈ (0,548 0,452) P20 ≈ (0,548 0,452) Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! 5°) Déterminez la matrice P telle que Pn = Pn+1 = P. 0,3 0,7 Pn+1 = Pn × M donne P = P × M donc ( a b ) = ( a b ) × 0,85 0,15 donc ( a b ) = ( 0,3 a + 0,85 b 0,7 a + 0,15 b ) donc a = 0,3 a + 0,85 b et b = 0,7 a + 0,15 b qui donne 0,7 a = 0,85 b et 0,85 b = 0,7 a donc les 2 équations ne suffisent pas. a + b = 1 donne b = 1 – a donc 0,85 (1 - a) = 0,7 a donc 0,85 – 0,85 a = 0,7 a donc 0,85 = 1,55 a donc a = 0,85/ 1,55 = 85/155 = 17/31 ≈ 0,548

Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! Et si il y avait eu 70% de votants pour X l'année 0 aurait-on eu la même conjecture ? P5 = (0,7 0,3) × M5 ≈ (0,541 0,459) idem P10 ≈ (0,549 0,451) P15 ≈ (0,548 0,452) P20 ≈ (0,548 0,452) Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! 5°) Déterminez la matrice P telle que Pn = Pn+1 = P. 0,3 0,7 Pn+1 = Pn × M donne P = P × M donc ( a b ) = ( a b ) × 0,85 0,15 donc ( a b ) = ( 0,3 a + 0,85 b 0,7 a + 0,15 b ) donc a = 0,3 a + 0,85 b et b = 0,7 a + 0,15 b qui donne 0,7 a = 0,85 b et 0,85 b = 0,7 a donc les 2 équations ne suffisent pas. a + b = 1 donne b = 1 – a donc 0,85 (1 - a) = 0,7 a donc 0,85 – 0,85 a = 0,7 a donc 0,85 = 1,55 a donc a = 0,85/ 1,55 = 85/155 = 17/31 ≈ 0,548 et b = 14/31 Réponse : P = ( 17/31 14/31 ) La conjecture est-elle démontrée ?

Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! Et si il y avait eu 70% de votants pour X l'année 0 aurait-on eu la même conjecture ? P5 = (0,7 0,3) × M5 ≈ (0,541 0,459) idem P10 ≈ (0,549 0,451) P15 ≈ (0,548 0,452) P20 ≈ (0,548 0,452) Pn semble converger vers ≈ (0,548 0,452) même conjecture ! 5°) Déterminez la matrice P telle que Pn = Pn+1 = P. 0,3 0,7 Pn+1 = Pn × M donne P = P × M donc ( a b ) = ( a b ) × 0,85 0,15 donc ( a b ) = ( 0,3 a + 0,85 b 0,7 a + 0,15 b ) donc a = 0,3 a + 0,85 b et b = 0,7 a + 0,15 b qui donne 0,7 a = 0,85 b et 0,85 b = 0,7 a donc les 2 équations ne suffisent pas. a + b = 1 donne b = 1 – a donc 0,85 (1 - a) = 0,7 a donc 0,85 – 0,85 a = 0,7 a donc 0,85 = 1,55 a donc a = 0,85/ 1,55 = 85/155 = 17/31 ≈ 0,548 et b = 14/31 La conjecture est-elle démontrée ? Non, on a seulement démontré que si Pn devient constante, alors elle converge vers ( 17/31 14/31 ).

P = P × M Pourquoi n’a-t-on pas déterminé P en résolvant l’équation matricielle comme dans le 1er chapitre des Matrices ? P = P × M P - P × M = φ ( matrice constituée de 0 ) P × I - P × M = φ P × ( I - M ) = φ Supposons que ait une matrice inverse A donc P × ( I - M ) × A = φ × A P × I = φ × A P = φ P = ( 0 0 ) Mais, si l’on multiplie l’équation P = P × M par un réel c, cP = c ( P × M ) cP = cP × M qui donnera cP = φ : on a trouvé en fait la solution correspondant à c = 0, et on n’a pas utilisé la relation a + b = 1 qui avait permis à la résolution algébrique de déterminer a et b.

6°) Soit la suite (un) définie sur N par un = an – 17/31 6°) Soit la suite (un) définie sur N par un = an – 17/31. Déterminez les 3 premiers termes.

6°) Soit la suite (un) définie sur N par un = an – 17/31 6°) Soit la suite (un) définie sur N par un = an – 17/31. Déterminez les 3 premiers termes. u0 = a0 – 17/31 = 0,15 – 17/31 = 3/20 – 17/31 = - 247/620

6°) Soit la suite (un) définie sur N par un = an – 17/31 6°) Soit la suite (un) définie sur N par un = an – 17/31. Déterminez les 3 premiers termes. u0 = a0 – 17/31 = 0,15 – 17/31 = 3/20 – 17/31 = - 247/620 u1 = a1 – 17/31 = 0,7675 – 17/31 = 307/400 – 17/31 = 2717/12400

6°) Soit la suite (un) définie sur N par un = an – 17/31 6°) Soit la suite (un) définie sur N par un = an – 17/31. Déterminez les 3 premiers termes. u0 = a0 – 17/31 = 0,15 – 17/31 = 3/20 – 17/31 = - 247/620 u1 = a1 – 17/31 = 0,7675 – 17/31 = 307/400 – 17/31 = 2717/12400 a2 = 0,3 a1 + 0,85 b1 = 0,3 (0,7675) + 0,85 (0,2325) = 0,427875 u2 = a2 – 17/31 = 0,427875 – 17/31 = 3423/8000 – 17/31 = - 29887/248000 Que remarque-t-on pour la suite ?

6°) Soit la suite (un) définie sur N par un = an – 17/31 6°) Soit la suite (un) définie sur N par un = an – 17/31. Déterminez les 3 premiers termes. u0 = a0 – 17/31 = 0,15 – 17/31 = 3/20 – 17/31 = - 247/620 u1 = a1 – 17/31 = 0,7675 – 17/31 = 307/400 – 17/31 = 2717/12400 a2 = 0,3 a1 + 0,85 b1 = 0,3 (0,7675) + 0,85 (0,2325) = 0,427875 u2 = a2 – 17/31 = 0,427875 – 17/31 = 3423/8000 – 17/31 = - 29887/248000 Que remarque-t-on pour la suite ? On remarque que les dénominateurs se multiplient par 20, donc que la suite aurait des propriétés géométriques, donc que les numérateurs se multiplieraient aussi, ce qui est le cas : 247×11 = 2717, et 2717×11 = 29887 !

6°) Soit la suite (un) définie sur N par un = an – 17/31 6°) Soit la suite (un) définie sur N par un = an – 17/31. Déterminez les 3 premiers termes. u0 = a0 – 17/31 = 0,15 – 17/31 = 3/20 – 17/31 = - 247/620 u1 = a1 – 17/31 = 0,7675 – 17/31 = 307/400 – 17/31 = 2717/12400 a2 = 0,3 a1 + 0,85 b1 = 0,3 (0,7675) + 0,85 (0,2325) = 0,427875 u2 = a2 – 17/31 = 0,427875 – 17/31 = 3423/8000 – 17/31 = - 29887/248000 Que remarque-t-on pour la suite ? On remarque que les dénominateurs se multiplient par 20, donc que la suite aurait des propriétés géométriques, donc que les numérateurs se multiplieraient aussi, ce qui est le cas : 247×11 = 2717, et 2717×11 = 29887 ! Donc la suite semble géométrique de raison – 11/20 = - 0,55 L’est-elle vraiment ?

Démontrez-le et déterminez sa limite Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. un+1 = un

Démontrez-le et déterminez sa limite Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. un+1 an+1 – 17/31 = = un an – 17/31

Démontrez-le et déterminez sa limite Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. un+1 an+1 – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 bn ) – 17/31 = = un an – 17/31 an – 17/31 =

Démontrez-le et déterminez sa limite Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. un+1 an+1 – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 bn ) – 17/31 = = un an – 17/31 an – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 (1 - an) ) – 17/31 = = an – 17/31

Démontrez-le et déterminez sa limite Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. un+1 an+1 – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 bn ) – 17/31 = = un an – 17/31 an – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 (1 - an) ) – 17/31 ( - 0,55 an + 0,85 ) – 17/31 = = an – 17/31 an – 17/31 =

Démontrez-le et déterminez sa limite Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. un+1 an+1 – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 bn ) – 17/31 = = un an – 17/31 an – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 (1 - an) ) – 17/31 ( - 0,55 an + 0,85 ) – 17/31 = = an – 17/31 an – 17/31 - 0,55 an + 17/20 – 17/31 = = an – 17/31

Démontrez-le et déterminez sa limite Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. un+1 an+1 – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 bn ) – 17/31 = = un an – 17/31 an – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 (1 - an) ) – 17/31 ( - 0,55 an + 0,85 ) – 17/31 = = an – 17/31 an – 17/31 - 0,55 an + 187/620 = = an – 17/31

Démontrez-le et déterminez sa limite Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. un+1 an+1 – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 bn ) – 17/31 = = un an – 17/31 an – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 (1 - an) ) – 17/31 ( - 0,55 an + 0,85 ) – 17/31 = = an – 17/31 an – 17/31 - 0,55 an + (17/31)×0,55 = = an – 17/31

Démontrez-le et déterminez sa limite Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. un+1 an+1 – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 bn ) – 17/31 = = un an – 17/31 an – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 (1 - an) ) – 17/31 ( - 0,55 an + 0,85 ) – 17/31 = = an – 17/31 an – 17/31 - 0,55 an + 17/20 – 17/31 - 0,55 an + 187/620 = = - 0,55 an + (17/31)×0,55 = = an – 17/31

Démontrez-le et déterminez sa limite Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. un+1 an+1 – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 bn ) – 17/31 = = un an – 17/31 an – 17/31 ( 0,3 an + 0,85 (1 - an) ) – 17/31 ( - 0,55 an + 0,85 ) – 17/31 = = an – 17/31 an – 17/31 - 0,55 an + 17/20 – 17/31 - 0,55 an + 187/620 = = - 0,55 an + (17/31)×0,55 - 0,55 [ an - (17/ 31) ] = = = - 0,55 an – 17/31 an – 17/31 Donc la suite est géométrique de raison - 0,55

La suite (un) est géométrique, donc un / u0 = qn-0 Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. La suite (un) est géométrique, donc un / u0 = qn-0 donc un = u0 qn-0 = u0 qn = (- 247/620) (- 0,55)n

La suite (un) est géométrique, donc un / u0 = qn-0 Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. La suite (un) est géométrique, donc un / u0 = qn-0 donc un = u0 qn-0 = u0 qn = (- 247/620) (- 0,55)n un = an – 17/31 donc an = un + 17/31 = (- 247/620) (- 0,55)n + 17/31

La suite (un) est géométrique, donc un / u0 = qn-0 Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. La suite (un) est géométrique, donc un / u0 = qn-0 donc un = u0 qn-0 = u0 qn = (- 247/620) (- 0,55)n un = an – 17/31 donc an = un + 17/31 = (- 247/620) (- 0,55)n + 17/31 0 < 0,55 < 1 donc (- 0,55)n tend vers 0 quand n tend vers +∞.

La suite (un) est géométrique, donc un / u0 = qn-0 Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. La suite (un) est géométrique, donc un / u0 = qn-0 donc un = u0 qn-0 = u0 qn = (- 247/620) (- 0,55)n un = an – 17/31 donc an = un + 17/31 = (- 247/620) (- 0,55)n + 17/31 0 < 0,55 < 1 donc (- 0,55)n tend vers 0 quand n tend vers +∞. donc un tend vers 0

La suite (un) est géométrique, donc un / u0 = qn-0 Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. La suite (un) est géométrique, donc un / u0 = qn-0 donc un = u0 qn-0 = u0 qn = (- 247/620) (- 0,55)n un = an – 17/31 donc an = un + 17/31 = (- 247/620) (- 0,55)n + 17/31 0 < 0,55 < 1 donc (- 0,55)n tend vers 0 quand n tend vers +∞. donc un tend vers 0 et an tend vers 17/31.

La suite (un) est géométrique, donc un / u0 = qn-0 Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. La suite (un) est géométrique, donc un / u0 = qn-0 donc un = u0 qn-0 = u0 qn = (- 247/620) (- 0,55)n un = an – 17/31 donc an = un + 17/31 = (- 247/620) (- 0,55)n + 17/31 0 < 0,55 < 1 donc (- 0,55)n tend vers 0 quand n tend vers +∞. donc un tend vers 0 et an tend vers 17/31. bn = 1 – an donc bn tend vers 1 – (17/31) = 14/31.

Donc Pn converge vers ( 17/31 14/31 ). Démontrez-le et déterminez sa limite. Démontrez finalement la conjecture. La suite (un) est géométrique, donc un / u0 = qn-0 donc un = u0 qn-0 = u0 qn = (- 247/620) (- 0,55)n un = an – 17/31 donc an = un + 17/31 = (- 247/620) (- 0,55)n + 17/31 0 < 0,55 < 1 donc (- 0,55)n tend vers 0 quand n tend vers +∞. donc un tend vers 0 et an tend vers 17/31. bn = 1 – an donc bn tend vers 1 – (17/31) = 14/31. Donc Pn converge vers ( 17/31 14/31 ).