FERRAFIAT Nicolas Le logiciel d’estimation statistique en fiabilité Licence 3 GIS 2004/2005 FIABILITIS Le logiciel d’estimation statistique en fiabilité FERNANDEZ Violaine FERRAFIAT Nicolas PONCET Antoine Tuteur : M. GOUNO Fiabilitis_2005

Introduction Le projet 2005 : Licence 3 GIS 2004/2005 Introduction Le projet 2005 : Produire un outil fiable et efficace Mise en ligne en 2005 Collaboration entre un groupe d’étudiants en informatique et un groupe d’étudiants en statistique Fiabilitis_2005

Fiabilitis I- La fiabilité II- Les objectifs en 2005 FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 Fiabilitis I- La fiabilité a) Introduction à la fiabilité b) Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a) Validation des résultats b) Ajout de la loi log-normale c) Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Introduction à la fiabilité Licence 3 GIS 2004/2005 Introduction à la fiabilité I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Licence 3 GIS 2004/2005 Généralités Variable aléatoire continue X de type « durée », donc positive Général : X = temps qui s’écoule avant qu’un événement se réalise En fiabilité : X = « durée de bon fonctionnement » Modèle de durée : La loi de X I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Durée de vie Densité de proba de X : D’où : Et : Licence 3 GIS 2004/2005 Durée de vie Densité de proba de X : D’où : Et : MTTF = durée de vie moyenne ou durée moyenne de bon fonctionnement I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Fiabilité et taux de défaillance Licence 3 GIS 2004/2005 Fiabilité et taux de défaillance Fonction fiabilité : Taux de défaillance : NB : I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Précision sur le taux de défaillance Licence 3 GIS 2004/2005 Précision sur le taux de défaillance Probabilité instantanée de défaillance avec le temps : A : mortalité infantile (jeunesse, rodage) B : durée de vie utile (maturité) C : vieillissement ou usure Fiabilitis_2005

Modèles de durée Exponentielle : modélise les périodes de maturité FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 Modèles de durée Exponentielle : modélise les périodes de maturité Weibull et log-normale : spécifie la jeunesse et le vieillissement en plus de la maturité Autres : loi gamma, mélange de loi exponentielles… I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Nature des données : censure FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 Nature des données : censure Censure à droite, à gauche ou à droite et à gauche : C : fin de l’observation L : début de l’observation temps T(début) : début des tests T(fin) : fin des tests Censure à droite : Type 1 : arrêt des observations en t = C Type 2 : arrêt des observation quand k défaillances sont observés Fiabilitis_2005

Nature des données : intervalle d’observation FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 Nature des données : intervalle d’observation Données groupées : si les valeurs de la variable d’intérêt appartiennent à un intervalle d’observation : On prend comme valeur : Nb : on revient à des données continues et toutes les observations du même intervalle ont la même valeur I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Adéquation du modèle de durée FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 Adéquation du modèle de durée Ajustement graphique : Pertinence du choix du modèle Estimation des paramètres peu précise Analyses paramétriques : Approche fréquentielle : estimation par maximum de vraisemblance (MLE) Approche Bayésienne : tient compte du passé I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Présentation de Fiabilitis Licence 3 GIS 2004/2005 Présentation de Fiabilitis I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Généralités Fiabilitis : À qui s’adresse le logiciel ? Licence 3 GIS 2004/2005 Généralités Fiabilitis : Outil de calculs statistiques relatif à la fiabilité À qui s’adresse le logiciel ? Alcatel, Thomson, Thalès, Schlumberg… I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Les types de données (1) La censure La nature des données Sans censure Licence 3 GIS 2004/2005 Les types de données (1) La censure Sans censure Censure type 1 Censure type 2 La nature des données Les données complètes Les données groupées I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Licence 3 GIS 2004/2005 Les types de données (2) Fiabilitis_2005

Saisie des données Licence 3 GIS 2004/2005 I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Les modèles de durée proposées Licence 3 GIS 2004/2005 Les modèles de durée proposées Version 2004: Loi Exponentielle Loi de Weibull Version 2005: Loi Log-normale I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Point de vue statistique Licence 3 GIS 2004/2005 Point de vue statistique Pour chaque modèle de durée (loi), Fiabilitis propose : Une estimation graphique Une estimation MLE Une estimation bayésienne I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Estimation graphique Licence 3 GIS 2004/2005 I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Estimation MLE et Bayésienne Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation MLE et Bayésienne I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Estimations MLE et Bayésiennes sont plus précises que l’estimation graphique Fiabilitis_2005

Fiabilitis I- La fiabilité II- Les objectifs en 2005 Licence 3 GIS 2004/2005 Fiabilitis I- La fiabilité a) Introduction à la fiabilité b) Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a) Validation des résultats b) Ajout de la loi log-normale c) Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Validation des résultats FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 Validation des résultats I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Général But : Validation : à l’aide d’Excel, Scilab et R FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 Général But : Mise en ligne du logiciel Comprendre les calculs de Fiabilitis Validation : à l’aide d’Excel, Scilab et R I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Principe des vérifications FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 Principe des vérifications Estimation des paramètres des lois supposées sur un échantillon de durées de vie Types d’estimations à vérifier : Estimation graphique Estimation du maximum de vraisemblance Estimation bayésienne I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Estimation graphique (1) FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation graphique (1) Exemple d’estimation du paramètre lambda de la loi exponentielle : Tracé des points [xi ; log (1-1/F(xi))] Tracé de la droite des moindres carrés Même principe pour la loi de Weibull, et ce pour chaque type de données et chaque censure I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique f Fiabilitis_2005

Estimation graphique (2) FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation graphique (2) On cherche la droite d’équation de type Y=a.X : I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique f Fiabilitis_2005

Estimation MLE (1) Principe de vraisemblance : FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation MLE (1) Principe de vraisemblance : Toute l’information sur le(s) paramètre(s) tirée de x (vecteur échantillon) est contenue dans la vraisemblance. Fonction de vraisemblance : Maximiser la quantité : I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Estimation MLE (2) Résolution des équations : FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation MLE (2) Résolution des équations : On obtient l’estimateur maximum de vraisemblance (emv) L’emv converge presque sûrement vers le(s) paramètre(s) Création d’un algorithme itératif afin d’obtenir les paramètres I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Estimation bayésienne FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation bayésienne Connaissance à priori : On considère que le(s) paramètre(s) suit(vent) une loi à priori On rectifie cet à priori à l’aide des observations effectuées Distribution à posteriori (formule de Bayes) : I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Implémentation de la loi Log-normale Licence 3 GIS 2004/2005 Implémentation de la loi Log-normale I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Licence 3 GIS 2004/2005 Généralités Elle s’ajoute aux deux modèles déjà développés et comprend : Estimation graphique Estimation MLE I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Lien avec la loi normale Licence 3 GIS 2004/2005 Lien avec la loi normale Si X~LN(μ,σ²), alors log(X)~N(μ,σ²) Avec X=(x1,x2,…..xn) I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique On considère les logarithmes des xi et on obtient une nouvelle variable Y tel que : Y~N(μ,σ²) Fiabilitis_2005

Estimation graphique On a alors P(Y≤y) = P( U ≤ (x-μ) / σ ) Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation graphique On a alors P(Y≤y) = P( U ≤ (x-μ) / σ ) où U~N(0,1) On cherche alors les quantiles théoriques ui de Fn(x). Si l’hypothèse d’une loi normale est exacte alors les points (yi, ui) vérifient : yi = σ*ui + μ μ et σ sont estimés par la méthode des moindres carrées I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Estimation MLE Nécessite un algorithme itératif : Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation MLE Nécessite un algorithme itératif : L’algorithme initialise les paramètres de la loi par la moyenne et l’écart-type observés L’algorithme calcule les coefficients de la matrice d’information de Fisher Rectifie la valeur des paramètres à chaque itération I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Aide statistique Logiciel utilisé par des techniciens professionnels Licence 3 GIS 2004/2005 Aide statistique I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Logiciel utilisé par des techniciens professionnels Concurrence avec les logiciels payant Fiabilitis_2005

Contenu de l’aide Rédaction en anglais : Licence 3 GIS 2004/2005 Contenu de l’aide Rédaction en anglais : Rester cohérent (logiciel en anglais) À la portée d’un maximum de personne Notions générales en fiabilité Présentation rapide des modèles de durée utilisés par Fiabilitis Intégralité des formules utilisées pour chaque méthode de calcul I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Présentation de l’aide Licence 3 GIS 2004/2005 Présentation de l’aide Fichier de type « .pdf » Téléchargeable sur le site de Fiabilitis Format universel Facilement imprimable Utilisation de Latex Bonne stabilité (formules) Mise en page typique Liens et signets dans le « .pdf » I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Structure de l’aide Beaucoup de répétions de formules (ex…) Licence 3 GIS 2004/2005 Structure de l’aide Beaucoup de répétions de formules (ex…) Types de censure Nature des données (continues/groupées) Création d’une partie généralité Type de censure dépend de TTT Explication données groupées (milieu de l’intervalle) I- La fiabilité Introduction à la fiabilité Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 Validation des résultats Ajout de la loi log-normale Création d’une aide statistique Fiabilitis_2005

Les difficultés rencontrées FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 FERNANDEZ Violaine FERRAFIAT Nicolas PONCET Antoine Les difficultés rencontrées Temps d’adaptation : long et difficile Objectif non abouti : une vérification non effectuée Fiabilitis_2005

Bilan Connaissances en statistique Utilisation du logiciel Latex FERRAFIAT Nicolas Licence 3 GIS 2004/2005 FERNANDEZ Violaine FERRAFIAT Nicolas PONCET Antoine Bilan Connaissances en statistique Domaine : la fiabilité Méthode : bayésienne Utilisation du logiciel Latex Travail en groupe Participation à l’élaboration d’un logiciel Fiabilitis_2005

MERCI DE VOTRE ATTENTION !! Licence 3 GIS 2004/2005 MERCI DE VOTRE ATTENTION !! Fiabilitis_2005