MOUVEMENT D ’UNE PARTICULE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE

z a0 y x Conditions initiales le champ magnétique B est uniforme dirigé suivant Oz à t = 0 , la particule est en O x0 = y0 = z0 = 0 z le vecteur vitesse initiale est dans le plan Oxz fait un angle a0 avec Oz a0 y q O x

Vecteur perpendiculaire à v et à B Théorème du centre d’inertie Multiplions par v les deux membres Vecteur perpendiculaire à v et à B

Vecteur perpendiculaire à v et à B Théorème du centre d’inertie Multiplions par B les deux membres Champ uniforme Vecteur perpendiculaire à v et à B Champ uniforme Vitesse constante

Vecteur vitesse

k j i k k k -j j j i i i Produit vectoriel Direction Norme Sens 1er vecteur 2e vecteur Produit vectoriel perpendiculaire à Règle de la main droite k k k -j i O i O j O j i

Théorème du centre d’inertie le champ magnétique B est uniforme dirigé suivant Oz On pose

z a0 y x Par intégration Par intégration q Vitesse selon l ’axe Oz Par intégration Mouvement uniforme le long du champ magnétique

r a0 Par intégration z Equation différentielle 2e degré B x y z a0 B r v q Equation différentielle 2e degré la solution est de la forme  Par intégration Conditions initiales  Condition initiale 

Mouvement uniforme suivant Oz On développe On élève les 2 membres au carré On élève les 2 membres au carré On somme les 2 expressions 1 On pose La trajectoire, dans le plan Oxy perpendiculaire à B, est un cercle de rayon R et de centre C (xC=0 et yC=-R )

Nature du mouvement Mouvement circulaire dans le plan Oxy perpendiculaire à B Mouvement uniforme suivant Oz le long du champ B MOUVEMENT HELICOIDAL O x y z a0 B r v q Période du mouvement hélicoïdal La vitesse de la particule n’intervient pas directement dans l’expression de la période. La circonférence décrit par la particule est appelée circonférence de Larmor (physicien anglais). La fréquence est dite fréquence de Larmor.

Le pas de l’hélice Distance parcourue par la particule dans la direction du champ lorsqu’elle effectue un tour complet sur la circonférence. Période (Vitesse selon Oz) . (Période) =0 =1 Si a0 = p / 2 Trajectoire = Cercle

Expression de la vitesse v0 1

Dans un champ croissant Déplacement d’une particule dans un champ non uniforme Rayon de l’hélice Pas de l’hélice Vitesse selon B diminue diminue B augmente diminue diminue B augmente B augmente Dans un champ croissant La composante de la vitesse parallèle au champ décroît et va s’annuler si le champ s’étend suffisamment le pas de l’hélice décroît au fur et à mesure que la particule se déplace vers les champs croissants Le rayon de l ’hélice diminue la particule est obligée de revenir en arrière Application : la ceinture de radiation de Van Allen.