La méthode d’Euler Objectif : résoudre une équation différentielle de façon numérique Applications en physique (en Terminale S): Résoudre une équation différentielle du premier ordre (radioactivité, charge-décharge condensateur, chute avec frottement, etc.) … mais on peut résoudre aussi des équations différentielles d’ordre supérieur (voir TP Mercure) Intérêt : trouver une solution numérique quand la solution analytique est compliquée ou inaccessible

La méthode d’Euler : l’idée A partir de la connaissance de la valeur de la fonction pour une valeur de la variable - ex : pour xi, on connaît yi = f(xi) – on calcule la valeur suivante en utilisant la valeur de la dérivée ..il faut donc connaître un point (x0,y0) et la dérivée

La méthode d’Euler pas à pas Au départ, il y a : - une équation différentielle du premier ordre* y’(t) = d(y(t))/dt = fonction de y(t) qu’on ne sait pas nécessairement résoudre... - une condition initiale : c’est à dire une valeur que l’on connaît : Par exemple : y(0) = y0 * Mais ça marche aussi pour un ordre plus élevé !

d ’où y(t+Dt)  y(t) + y’(t).Dt Un peu de math... Par définition, y’(t) = limDt-->0 ([y(t+Dt) - y(t)]/Dt) En physique, pour un intervalle de temps Dt suffisamment petit (mais fini et défini) : y’(t)  [y(t+Dt) - y(t)]/Dt d ’où y(t+Dt)  y(t) + y’(t).Dt on note Dy(t) = y(t +Dt) - y(t) Dy(t)  y’(t).Dt

y(t +Dt) = y(t) + Dy(t) Soit donc : Dy(t) = y(t +Dt) - y(t) Attention : quand le mathématicien écrit  le physicien écrit = mais il ne faut pas perdre de vue que le résultat est approché ! Soit donc : Dy(t) = y(t +Dt) - y(t) Dy(t) = y’(t).Dt y(t +Dt) = y(t) + Dy(t) Tout cela à chaque instant t...

    y(t +Dt) = y(t) + Dy(t) Rappel : on connaît une équation différentielle du premier degré (caractéristique du phénomène physique étudié) donc...  y’(t) = fonction de y(t)  Dy(t) = y’(t).Dt  y(t +Dt) = y(t) + Dy(t) On connaît aussi a priori une valeur de y(t) : c’est la condition initiale : y(0) = y0 

    On a ainsi y(t1) On connait y(0) => calcul de y’(0) Condition initiale y(0) y’(t) = fonction de y(t)  On connait y(0) => calcul de y’(0)  Dy(t) = y’(t).Dt Soit Dt (« petit »): le pas On a calculé y’(0), => calcul de Dy(0)  y(t +Dt) = y(t) + Dy(t) On a calculé y(0) et Dy(0)=>calcul y(0+Dt) On a ainsi y(t1) avec t1 = 0 + Dt

On répète les opérations :    

A partir de xi, yi, y’i = f’(xi) on calcule y(ti+1) avec ti+1 = ti +Dt     y(ti) Dy(ti) y’(ti) y(ti +Dt) A partir de xi, yi, y’i = f’(xi) on calcule y(ti+1) avec ti+1 = ti +Dt Et ainsi de suite … c’est une méthode itérative

Le mieux est encore d’utiliser un un exemple concret La décharge d’un condensateur chargé

(avec les conventions du schéma) soit u C + RC duC/dt = 0 La loi des tensions permet d'écrire à chaque instant que uC + uR = 0 (avec les conventions du schéma) soit u C + RC duC/dt = 0

    uC(t1) est connu uC’(0)= - (1/RC).uC(0) pas « petit » par rapport à quoi ? Condition initiale uC(0) uC’(t) = - (1/RC).uC(t)  uC’(0)= - (1/RC).uC(0)  DuC(t) = uC’(t).Dt Pas : Dt (« petit ») DuC(0) = - (1/RC).uC(0).Dt  y(t +Dt) = y(t) + Dy(t) uC(0+Dt) = uC(0) - (1/RC).uC(0).Dt t1 = 0 + Dt uC(t1) est connu

Exigences du baccalauréat : Savoir appliquer la méthode d’Euler dans différents contextes Epreuve expérimentale (E.C.E) - Dans un tableur Savoir calculer (avec calculette) quelques étapes de la méthode Epreuve écrite