Formules d’aires des solides

Calculer l’aire totale d’un solide, c’est calculer l’aire de tous les polygones ou cercles composant le solide. Le calcul se fait en trois étapes: - on calcule l’aire des bases ou de la base; - on calcule l’aire des faces latérales; - on additionne le tout.

Aire totale des prismes Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de ce prisme. largeur hauteur Longueur Les bases Les faces latérales L l l h L h l h L h L l On peut donc calculer l’aire de chaque rectangle et en faire la somme. Cependant, il existe une formule plus rapide.

Aire totale des prismes h L l largeur hauteur Longueur 1) Calculer l’aire des bases : chaque base est un rectangle donc A = L X l ; il y a 2 bases donc l’aire des deux bases : 2 X L X l . 2) Calculer l’aire latérale: l’ensemble des rectangles forment un grand rectangle. La longueur de ce rectangle correspond au périmètre d’une base. donc L + l + L + l ou 2 ( L + l ) ; on multiplie alors par la hauteur . Aire latérale = 2 ( L + l ) X h Aire totale d’un prisme : Aire des 2 bases + l’aire latérale Aire totale d’un prisme : Aire des 2 bases + Périmètre d’une base X hauteur

Aire totale d’un prisme : Aire des 2 bases + Périmètre d’une base X hauteur Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h L l h Aire totale : 2 X L x l + 2 ( L + l ) h Aire totale : 2 X n c a 2 + n c h n : nombre de côtés ( ici 6 ) h c : mesure d’un côté a : mesure de l’apothème h h Aire totale : 2 2 X b X h ( c1 + c2 + c3 ) h + h c3 c2 c1 Attention : Il ne faut pas confondre la hauteur du triangle et la hauteur du prisme. Remarque: La hauteur d’un prisme est le segment reliant les deux bases.

Exemple Calcule l’aire totale de ce prisme. 3 cm 5 cm 4 cm Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h Aire totale : 2 X L X l + 2 ( L + l ) X h Aire totale : 2 X 4 X 5 + 2 ( 4 + 5 ) X 3 Aire totale : 40 + 54 Aire totale : 94 cm2

Prends le temps de lire et de comprendre la situation. Remarque: Certaines situations peuvent ne demander que l’aire latérale. Prends le temps de lire et de comprendre la situation. 4 cm 5 cm 3 cm Calcule l’aire latérale de ce prisme. Exemple : Tu n’as pas besoin de toute la formule. Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h Aire latérale : Aire totale : 2 X L x l + 2 ( L + l ) X h 2 ( 4 + 5 ) X 3 Aire latérale : Aire latérale : 54 Aire latérale : 54 cm2

Aire totale du cube c Le cube est une figure régulière composée de 6 carrés. La formule pour calculer son aire totale est simple. Aire totale : 6 c2 car il est composé de 6 carrés Aire latérale : 4 c2 car l’aire latérale est composée de 4 carrés. Remarque : On peut aussi utiliser la formule des prismes puisque le cube est un prisme.

Exemple 5 m 4 m 12 m Calcule l’aire totale de ce prisme. Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h Aire totale : 2 X n c a 2 n c h + Aire totale : 2 X 6 X 5 X 4 2 6 X 5 X 12 + Aire totale : 120 + 360 Aire totale : 480 m2

Exemple 10 cm Calcule l’aire totale de ce prisme. 8 cm 4,8 cm 6 cm 9 cm Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h Aire totale : 2 2 X b X h ( c1 + c2 + c3 ) h + 2 X 10 X 4,8 Aire totale : 2 ( 6 + 8 + 10) X 9 + Aire totale : 48 + 216 Aire totale : 264 cm2

Attention Exemple Calcule l’aire totale de ce cube. Aire totale d’un cube : 6c2 Aire totale du cube : 6 X 102 On doit calculer l’exposant avant de multiplier par le coefficient. Aire totale du cube : 6 X 100 10 dm Aire totale du cube : 600 dm2 Attention Priorité d’opérations Calcule l’aire latérale de ce cube. Aire latérale d’un cube : 4c2 Aire latérale du cube : 4 X 102 Aire latérale du cube : 400 dm2

Aire totale des pyramides Avant de calculer l’aire, il faut connaître 3 segments très importants. La hauteur d’une pyramide droite arrive perpendiculairement au centre de la base. L’apothème de la pyramide: L’apothème est une ligne joignant le sommet d’une pyramide au milieu d’un des côtés de la base. Hauteur 3 Exemple Demi-côté 6 Comme la hauteur arrive au centre de la base, la mesure du demi-côté vaut la moitié de la mesure du côté.

La relation de Pythagore nous sera donc très utile. b c c2 = a2 + b2

Aire totale des pyramides Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de cette pyramide. L’apothème de la pyramide correspond à la hauteur du triangle. 1) Calculer l’aire de la base : ici, la base est un carré donc c2 2) Calculer l’aire latérale: la longueur totale des bases de ces triangles correspond au périmètre de la base. On calcule le périmètre de la base ; ici, c’est un carré donc 4 c on multiplie par l’apothème et on divise par 2 car ce sont des triangles. Aire latérale = 4 X c X a 2 Aire totale d’une pyramide : Aire de la base + Périmètre de la base X apothème 2

droite à base hexagonale Aire totale d’une pyramide : Aire de la base + Périmètre de la base X apothème 2 Aire totale d’une pyramide : Aire base + P base X apothème 2 droite à base carrée Aire totale de la pyramide : c2 + 4c X apothème 2 droite à base hexagonale apothème a Aire totale de la pyramide : + nc X apothème 2 nca n : nombre de côtés c : mesure d’un côté Attention: Il ne faut pas confondre l’apothème du polygone et l’apothème de la pyramide.

Exemple Calcule l’aire totale de cette pyramide. 5 cm 6 cm 6 cm Aire totale de la pyramide : Aire base + P base X apothème 2 Aire totale de la pyramide : c2 + 4c X apothème 2 Aire totale de la pyramide : 62 + 4 X 6 X 5 2 36 + 60 = 96 cm2

Exemple Calcule l’aire totale de cette pyramide. c b a ? On ne connaît pas l’apothème donc 8 m 1) Déterminer le demi-côté: 6 m 6 m 12 m 12 m 2) Déterminer l’apothème: c2 = a2 + b2 c2 = 82 + 62 c2 = 100 c = 10 m

Exemple Calcule l’aire totale de cette pyramide. 10 m 8 m 12 m 12 m Aire totale de la pyramide : Aire base + P base X apothème 2 Aire totale de la pyramide : c2 + 4ca 2 Aire totale de la pyramide : 122 + 4 X 12 X 10 2 144 + 240 = 384 m2

Exemple c = 7 m a hexagone = 4 m a pyramide = 12 m Calcule l’aire totale de cette pyramide. Aire totale de la pyramide : Aire base + P base X a 2 ncap Aire totale de la pyramide : 2 ncah + apothème de la pyramide apothème de l’hexagone 2 6 X 7 X 12 Aire totale de la pyramide : 6 X 7 X 4 + Aire totale de la pyramide : 84 m2 + 252 m2 = 336 m2

Aire totale d’un cylindre Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de ce cylindre. h En déroulant la face latérale d’un cylindre, nous obtenons un rectangle. 1) Calculer l’aire des bases : chaque base est un cercle donc πr2. il y a 2 bases donc 2 πr2. 2) Calculer l’aire latérale : la largeur du rectangle correspond à la hauteur du cylindre; la longueur du rectangle correspond à la circonférence du cercle. Aire latérale : 2πr X h Aire totale d’un cylindre : Aire des bases + aire latérale Aire totale d’un cylindre : 2πr2 + 2πrh

Calcule l’aire totale de ce cylindre. Exemple 5 cm 10 cm Calcule l’aire totale de ce cylindre. Aire totale d’un cylindre : Aire des bases + aire latérale Aire totale d’un cylindre : 2πr2 + 2πrh Aire totale d’un cylindre : 2 X π X 52 + 2 X π X 5 X 10 Aire totale d’un cylindre ≈ 157,08 + 314,16 ≈ 471,24 cm2

L’aire totale d’un cône Avant de calculer l’aire, il faut connaître 3 segments très importants. La hauteur d’un cône droit arrive perpendiculairement au centre du cercle. L’apothème est une ligne joignant le sommet d’un cône à un point de la circonférence de la base. Hauteur Rayon Remarque: On fait correspondre l’apothème avec le côté du cône.

La relation de Pythagore nous sera donc très utile. b c c2 = a2 + b2

Aire totale d’un cône On pourrait comparer un cône à une pyramide dont la base serait composée d’une infinité de segments avec une infinité de faces latérales. La formule pour trouver l’aire totale d’un cône ressemble donc légèrement à celle de la pyramide.

Aire totale d’un cône Aire totale d’un cône : Aire de la base + Aire latérale Aire totale d’un cône : Aire de la base + 2 Circonférence de la base X apothème Aire totale d’un cône : Aire base + C base X apothème 2 Aire totale d’un cône : π X r2 + 2 X π X r X a 2 Aire totale d’un cône : π r2 + 2 π r a 2

Exemple : 3 cm 5 cm Calcule l’aire totale de ce cône. Aire totale d’un cône : π r2 + 2 π r a 2 Aire totale de ce cône : π X 32 + 2 X π X 3 X 5 2 Aire totale de ce cône ≈ 28,27 + 47,12 ≈ 75,39 cm2

Exemple Calcule l’aire totale de ce cône. c b a ? On ne connaît pas l’apothème donc 1) Rayon : 9 m 12 m 2) Déterminer l’apothème: c2 = a2 + b2 9 m c2 = 122 + 92 c2 = 144 + 81 c2 = 225 c = 15 m

Calcule l’aire totale de ce cône. 15 m 12 m 9 m Aire totale d’un cône : π r2 + 2 π r a 2 Aire totale de ce cône : π X 92 + 2 X π X 9 X 15 2 Aire totale de ce cône ≈ 254,47 + 424,12 ≈ 678,59 m2

Aire d’une sphère Une sphère n’a pas de développement. Cependant, si on défaisait sa surface, on obtiendrait 4 cercles. Comme l’aire d’un cercle se calcule avec la formule : A = πr2 et que la sphère est composée de 4 cercles, alors Aire d’une sphère = 4 π r2

Exemple : Calcule l’aire de la sphère suivante : A sphère = 4 π r2 r = 5 dm A sphère = 4 X π X 52 A sphère ≈ 314,16 dm2

Ces deux formules dépendent de la forme des bases. En résumé Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h Aire totale d’une pyramide : Aire base + P base X apothème 2 Ces deux formules dépendent de la forme des bases. 2πr2 + 2πrh Aire totale d’un cylindre : Aire des bases + aire latérale π r2 + 2 π r a 2 Aire totale d’un cône : Aire base + C base X apothème Aire d’une sphère = 4 π r2 Aire totale du cube : 6 c2 Aire latérale du cube : 4 c2