Terminales STI Lycée Paul Langevin - Beauvais François Gonet 2005/2006 Primitives Terminales STI Lycée Paul Langevin - Beauvais François Gonet 2005/2006

On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=0 et x=b?

On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=0 et x=b? Réponse Aire du triangle: (B x h)/2 Soit

On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b?

On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b? Réponse:

On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=3-0,4x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=0 et x=b?

On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=3-0,4x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=0 et x=b? Réponse Aire du trapèze rectangle: Soit:

On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=3-0,4x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b?

On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=3-0,4x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b? Réponse

Résumons…  Quelle est le lien entre f et F ? Pour calculer l’aire comprise entre la courbe d’une fonction f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b, on utilise une fonction F: si alors si alors L’aire cherchée est alors  Quelle est le lien entre f et F ?

Conjecture… La dérivée de F est f , soit En effet si alors Et si alors Vous avez trouvé bien sûr : La dérivée de F est f , soit En effet si alors Et si alors

Conjecture… La dérivée de F est f , soit En effet si alors Et si alors Vous avez trouvé bien sûr : La dérivée de F est f , soit En effet si alors Et si alors Vérifions sur un autre cas …

On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=x² Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=1 et x=2?

On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=x² Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=1 et x=2? 1°) Trouver une fonction F , telle que

On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=x² Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=1 et x=2? 1°) Trouver une fonction F , telle que Par exemple : 2°) L’aire serait

Vérifions avec la calculatrice:

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Définition Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si F une fonction dérivable telle que pour tout On dit que F est une primitive de f

Exemple Soit la fonction f définie sur R par :  Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:

Exemple Soit la fonction f définie sur R par :  Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:

Exemple Soit la fonction f définie sur R par :  Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:  Une autre primitive de f est la fonction G définie sur R par:

Exemple Soit la fonction f définie sur R par :  Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:  Une autre primitive de f est la fonction G définie sur R par:

Exemple Soit la fonction f définie sur R par :  Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:  Une autre primitive de f est la fonction G définie sur R par: Ou bien :

Propriété Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R, alors deux primitives de f diffèrent d’une constante. Autrement dit, si F et G sont deux primitives de f, alors : avec

Démonstration: soit F et G sont deux primitives de f, alors : est la fonction constante Donc ,

Primitives usuelles Pour trouver les primitives des fonctions usuelles, il suffit de lire le tableau des dérivées usuelles, à l’envers. Cependant, il est nécessaire de savoir que: Si alors

Exercices Exercice 1: Déterminer les primitives des fonctions f, g, h définies sur R par : Exercice 2 : Montrer que la fonction F, définie sur R par est une primitive de la fonction f définie sur R par

Fin