L’aire, limite d’une somme Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Dans cette présentation, nous allons voir comment on peut définir l’aire sous une courbe comme limite d’une somme de différentielles.

Exemple 2.1.1 Décomposer l’aire sous la courbe définie par f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1] en 5 rectan-gles de même base et estimer l’aire sous la courbe à l’aide de ces rectangles. A > 30/125 Considérons l’image des frontières de gauche des sous-intervalles comme hauteur : A > A1 + A2 + A3 + A4 + A5 A > f(0) dx + f(1/5) dx +... + f(4/5) dx A > 30/125 A < 55/125 Considérons les images des frontières de droite des sous-intervalles : A < A1 + A2 + A3 + A4 + A5 A < f(1) dx + f(2/5) dx +... + f(5/5) dx A < 55/125 S S S

Discussion En augmentant le nombre de sous-intervalles, on augmente la précision de l’estimation. A > 30/125 A > 285/1000 REMARQUE : Cette discussion nous indique comment obtenir l’aire exacte sous la courbe. Il faut diviser l’intervalle en un nombre infini de sous-intervalles. A < 55/125 A < 385/1000 S S

Sommes de puissances d’entiers Les sommes des puissances des n premiers entiers positifs sont données par les expressions suivantes : S S S

Exemple 2.1.2 En considérant les frontières droites, déterminer l’aire sous la courbe définie par f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1] en évaluant la limite de la somme des aires de rectangles lorsque leur nombre tend vers l’infini. Considérons que l’intervalle [0; 1] est divisé en n sous-intervalles : [0; 1/n], [1/n; 2/n], [2/n; 3/n], ..., [(n–1)/n; n/n] Considérons les images des frontières de droite des sous-intervalles : L’aire sous la courbe de f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1] est donc égale à 1/3 unité d’aire. S S S S S

Exercice En considérant les frontières gauches, déterminer l’aire sous la courbe définie par f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1] en évaluant la limite de la somme des aires de rectangles lorsque leur nombre tend vers l’infini. Considérons que l’intervalle [0; 1] est divisé en n sous-intervalles : [0; 1/n], [1/n; 2/n], [2/n; 3/n], ..., [(n–1)/n; n/n] Considérons les images des frontières de gauche des sous-intervalles : L’aire sous la courbe de f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1] est donc égale à 1/3 unité d’aire. S S S S S

Somme de Riemann DÉFINITION Somme de Riemann Soit f, une fonction définie sur [c; d] et P = {x0, x1, x2, ..., xn} une partition de cet intervalle, où x0 = c et xn = d. On appelle somme de Riemann toute somme de la forme : et ∆xi = xi – xi–1 En utilisant une somme de Riemann, on peut calculer une valeur approchée de l’aire sous la courbe d’une fonction positive. De plus, en considérant la limite lorsque la largeur du plus grand des sous-intervalles tend vers 0, soit : on obtient la grandeur réelle de cette aire.

Intégrale définie DÉFINITION Intégrale définie Soit f, une fonction définie sur [c; d] et P = {x0, x1, x2, ..., xn} une partition de cet intervalle. L’intégrale définie de la fonction f sur l’intervalle [c; d] est notée : et définie par : lorsque cette limite existe. Lorsque c’est le cas, on dit que la fonction est intégrable sur l’intervalle [c; d]. Dans cette notation, c est appelée la borne inférieure et d la borne supérieure de l’intégration. La fonction f(x) est appelée l’intégrande.

Procédure d’intégration Calcul de l’aire par une somme de Riemann 1. Déterminer la largeur ∆x des sous-intervalles, ∆x = (d–c)/n. 2. Déterminer la frontière droite du ie sous-intervalle et calculer son image par la fonction (cette image est la hauteur du rectangle). 3. Déterminer l’aire du ie rectangle (terme général de la somme). 4. Écrire la somme de Riemann, effectuer les simplifications algébriques et écrire les sommes sous forme compacte. 5. Évaluer la limite de la somme et interpréter le résultat selon le contexte en tenant compte des unités s’il y a lieu. S S S S

Exemple 2.1.6 S S S S Calculer l’intégrale définie suivante : On doit déterminer l’aire sous la courbe de f(x) = 4 – x2 sur l’intervalle [0; 2]. La frontière droite du ie rectangle est 2i/n et son image est : L’aire du ie rectangle est : S S S S

Exemple 2.1.7 S S S Calculer l’intégrale définie suivante : On doit déterminer l’aire sous la courbe de f(x) =  x2 sur l’intervalle [2; 5]. Les rectangles seront de largeur 3/n. La frontière droite du ie rectangle est 2 + 3i/n et son image est : L’aire du ie rectangle est : S S S