Rappel... Sous-espaces de Rn: Définition; Sous-espaces associés à une matrice; Bases; Coordonnées; Dimension; Rang.

Aujourd’hui Déterminants: définition; propriétés; règle de Cramer; calcul de l’inverse d’une matrice; aire et volume; transformations linéaires.

9. Déterminants Aujourd’hui, on étudie surtout les « petits » déterminants. Matlab: det(A)

Définition du déterminant Pour n ³ 2, le déterminant d’une matrice n´n A = [aij] est la somme des n termes de la forme ±a1jdetA1j, avec les signes plus et moins en alternance et où les éléments a11, a12, ... , a1n forment la première ligne de A.

Définition du déterminant (suite) De façon symbolique, on écrit: detA = a11detA11 - a12detA12+ … +(-1)1+na1ndetA1n

Notation det(A) detA |A|

Calcul d’un déterminant Le déterminant d’une matrice n´n A peut être calculé par une expansion en cofacteur le long de toute ligne ou de toute colonne. Soit Cij = (-1)i+jdetAij, le cofacteur-(i, j) de la matrice A. L’expansion le long de la i-ième ligne est donnée par: detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin

Calcul d’un déterminant (suite) L’expansion le long de la j-ième colonne est donnée par: detA = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

Que fait un ordinateur? 1000 Gflops  500000 ans!!!! Pour calculer le déterminant d’une matrice 2525 selon la méthode de l’expansion en cofacteurs, il faut 25! (1.551025) opérations. 1000 Gflops  500000 ans!!!! Il existe des méthodes plus efficaces (heureusement!)

Déterminant d’une matrice triangulaire Si A est une matrice triangulaire, alors det A est le produit des éléments de la diagonale principale de A.

Opérations sur les lignes Soit A une matrice carrée. a. Si un multiple d’une ligne de A est additionné à une autre ligne pour produire une matrice B, alors det B = det A. b. Si deux lignes de A sont permutées pour produire B, alors det B = -det A. c. Si une ligne de A est multipliée par k pour produire B, alors detB = kdetA.

A ~ U detA = (-1)rdetU Donc, detA = (-1)r  (produits des pivots de U), si A est inversible. detA = 0, si A n’est pas inversible.

Ordinateurs Les ordinateurs utilisent la méthode précédente. 2n3/3 opérations. Matrice 2525:  10 kflops.

Matrices inversibles et déterminants Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det A  0.

Déterminant de la transposée d’une matrice Si A est une matrice n ´ n, alors det AT = det A.

Déterminant d’un produit de matrices Si A et B sont des matrices n ´ n, alors det AB = (det A)(det B). ATTENTION! det(A+B)  detA + detB

Règle de Cramer Soit A une matrice réversible n ´ n. Pour tout b  Rn, l’unique solution x du système Ax = b est donnée par où Ai(b) = [a1, … ai-1, b, ai+1, …, an].

Formule pour calculer l’inverse d’une matrice Soit A une matrice n ´ n inversible. Alors

Matrice adjointe La matrice adjointe de la matrice A est la transposée de la matrice des cofacteurs.

Calcul de l’aire et du volume avec des déterminants Si A est une matrice 2´2, l’aire du parallélogramme déterminé par les colonnes de A est |det A|. Si A est une matrice 3´3, le volume du parallélépipède déterminé par les colonnes de A est |det A|.

Matrice diagonale 2´2 C’est vrai. y x Aire = |ad| (a, 0) (0, d)

Matrice 2´2 a2 a2 + L a2 + ca1 L a1 ca1

Exemple (6, 7) (0,0) (2,5) (4, 2) (-7, -4) (-5, 1) (-1, 3) (-3, -2)

Transformations linéaires et calcul de l’aire Soit T : R2®R2 une transformation linéaire déterminée par une matrice A 2 ´ 2. Si S est un parallélogramme dans R2 alors {aire de T(S)} = |det A|{aire de S}

Transformations linéaires et calcul du volume Soit T : R3®R3 une transformation linéaire déterminée par une matrice A 3 ´ 3. Si S est un parallélépipède dans R3 alors {volume de T(S)} = |det A|{volume de S}

Prochain cours... Valeurs propres et vecteurs propres.