Optimisation topologique de formes et adaptation de maillage Frédéric GOLAY Pierre SEPPECHER Mikaël STEHLY Laboratoire ANAM Analyse Non linéaire Appliquée et Modélisation Université de Toulon et du Var

Plan Approche matériaux à blocage Formulation numérique Validation analytique Quelques exemples Raffinement de maillage

Approche matériaux à blocage ú û ù ê ë é ò W ¶ × = ³ d u F Min M dV h ) x ( élasticité ' pb du Solution r Approche matériaux à blocage Déplacement solution du pb d ’élasticité v 2 1 T Ñ + e Tenseur des déformations D Tenseur d ’élasticité  épaisseur de plaque W Domaine de conception ú û ù ê ë é ò W ¶ × - £ e d v F Min 1 : D . A C r

v un champ de déplacement C.A. Soient : · L e volume ò = W dx ) x ( h V v un champ de déplacement C.A. ’énergie élastique e D 2 1 u ’énergie potentielle - ¶ dl v . F , J le champ de déplacement solution du problème d ’ élasticité minimise J(v,h)

ò ò ò ò ò ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h Inf POP = ÷ ø ö ç è æ - = h , v J Sup dx x = ò ³ W ( ) ÷ ø ö ç è æ - = ò ³ W h , v J Sup Inf V dx x Théorème du MinMax ( ) h , v J Inf Sup V dx x - = ò ³ W ÷ ø ö ç è æ - ò e = W ¶ ³ dl v . F dx h : D 2 1 Sup Inf V ) x ( On concentre h où l’énergie est la plus élevée ÷ ø ö ç è æ - e = ¥ dl v . F : D 2 V Inf ò W ¶ On pose s v w = et ¥ e : D ÷ ø ö ç è æ - dl . F 2 V Inf 1 , ò W ¶ L’inf sur s est atteint pour = dl w . F V 1 s ò W ¶ ( ) ÷ ø ö ç è æ - e ¥ 2 : D Inf ( ) 2 1 : D w dl . F Inf V - = £ e ¥ ò W ¶

Formulation numérique On approxime la norme infinie ( ) [ ] p 1 v dx : D lim e = ò W ¥ ® w - ¶ dl . F 2 V Inf ÷ ø ö ( ) - e = ò W ¶ dl v . F 2 dx : D V J p 1 ÷ ø ö = ¢ V v ). u ( J p - ) e dx : D 2 1 ÷ ø ö ò W dl . F ¶ Problème d’élasticité non-linéaire en contraintes planes avec ( ) 1 p u dx : D V H - e = ò W ÷ ø ö dl v . F ¶

Formulation analogue ( ) ( ) ò ò = e dl v . F dx : D V ÷ ø ö e : D W ¶ - dl v . F dx : D V u 1 p ÷ ø ö ( ) e - : D 1 p u On pose h(u)= = h(u) ò e W dx : D v u ¶ dl . F V - 1 p  ÷ ø ö

Formulation Eléments Finis Avec les notations vectorielles habituelles { } [ ] u B = e ) x ( N r et On réécrit le problème sous la forme { } [ ] å ò - = e elt T 1 p F N u B D H ) ( R Soit à résoudre le problème non-linéaire avec Le problème est fortement non-linéaire Donc, à partir de la solution élastique, on incrémente la valeur de p

[ ] { } { } ï î í ì + d = - ú û ù ê ë é ¶ u R H ) 1 p ( 2 u R B D + = Résolution par Newton-Raphson { } ï î í ì + d = - ú û ù ê ë é ¶ ) 1 i ( u R Dérivée seconde Ecriture matricielle H ) 1 p ( 2 u R T - [ ] B D + = ú û ù ê ë é ¶ { }

Validation Analytique x

Validation Analytique Ecart relatif

Quelques exemples p=5 p=25 p=109 Thickness B A

Raffinement de maillage ? Un Elt créé ? Elt conforme ? Elt à raffiner ? Boucle sur les éléments Fin de boucle sur les éléments raffinement Essai de découpage Oui Non

e1 e2 e3 e4 Méthode: Par permutation on se replace dans les cas élémentaires Difficulté: Comment discerner les nœuds non conformes e1 e2 e3 e1 e2 e3 e1 e2 e1 e2 e3 e4

Qualité ? Critère ? Stratégie ? P=4,6 Raf P=0,2,4 Raf P=16,20,24,28

Qualité + B On maîtrise la qualité du maillage a c ri C 20 rc ri £ On maîtrise la qualité du maillage ri c b a aire 2 + ´ = rc c b a aire 4 ´ = ( ) 50 ri Max elt £ On maîtrise l’évolution du maillage 1 2 3 4 +

Critère ò ( ) ò { } On applique la méthodologie de Zienkiewicz L’épaisseur est un champ discontinu hd, on cherche donc le champ continu hc qui l’approche au mieux: ( d , = W ò ) h c - j " On approche le champ continu par une discrétisation éléments finis { } å ò = ÷ ø ö ç è æ elt e d dv h N

Critères utilisés …. ( ) ò ò ò ) ( ò ò + Normalisation de h 1 - de h 1 Ñ e d de h 1 ò e 2 de h 1 c ( ) ò - e 2 c d de h 1 ( ) c e h Max c d e h Max - d e h Max Ñ + Normalisation

P = 2 Nelt = 130 Nnoe=399 P = 4 Nelt=244 Nnoe=679 P = 6 Nelt=357 Nnoe=956 P = 8 Nelt=510 Nnoe=1353 P = 10 Nelt=759 Nnoe=1898 P = 12 Nelt=947 Nnoe=2282 P = 14 Nelt=1170 Nnoe=2723 P=2

Temps de calcul avec remaillage: 1166 s Temps de calcul sur maillage optimisé: 1262 s

Critère épaisseur moyenne Critère épaisseur max

Critère différence moyenne Critère gradient maximal

Calcul d’erreur a posteriori å ò + Î e face ¶ [ ] 2 u dl D ) ( h 1 ce de R = r K erreur þ ý ü î í ì £ R. Verfürth (2000) dl A u erreur 2 l ' p arêtes arête 1 - å ò ÷ ø ö ç è æ + Ñ = avec W. Liu & N. Yan (2001)

Conclusions et perspectives Mise en œuvre simple Résolution numérique validée en 2D Un bon outil initial de dimensionnement Raffinement validé Critères intuitifs efficaces Erreurs a posteriori en cours d’étude SIC2002