5. Signaux en bande passante ELG3575 5. Signaux en bande passante

Pré-enveloppe positive Soit x(t) un signal réel avec une transformée de Fourier X(f). Nous définissons x+(t) comme la pré-enveloppe positive du signal x(t). Le spectre de la pré-enveloppe positive est nulle pour les fréquences négatives et proportionnel au spectre de x(t) pour les fréquences positives. Le spectre de la pré-enveloppe positive est :

Pré-enveloppe positive Nous pouvons démontrer que X+(f) = X(f) + sgn(f)X(f) = X(f) + j(-jsgn(f)X(f)) = X(f) + jXh(f) où Xh(f) = F{xh(t)}. Alors

Exemples Trouvez la pré-enveloppe positive de x(t) = cos(2pfct). Trouvez la pré-enveloppe de y(t) = sinc(t). SOLUTION On sait que xh(t) = sin(2pfct), alors x+(t) = cos(2pfct)+jsin(2pfct). Alors x+(t) = ej2pfct. Pour y+(t) il faudra trouver Y+(f). Y(f) = P(f), alors Y+(f) = 2P(2(f-¼)). Alors y+(t) = F-1{Y+(f)} = sinc(t/2)ej(p/2)t.

Pré-enveloppe négative La pré-enveloppe négative du signal x(t) est le signal dont son contenu spectral est le spectre négatif de x(t). On voit que X+(f)+X-(f) = 2X(f), alors x+(t)+x-(t) = 2x(t). Alors x-(t) = x(t)-jxh(t).

Signaux en bande passante Le signal x(t) est un signal en bande passante si son spectre est non-zéro dans la gamme de fréquences fc - (B/2) ≤ |f| ≤ fc + B/2 où B est la largeur de bande de x(t) et B < fc.

Pré-enveloppe d’un signal en bande passante Prenons la pré-enveloppe du signal en bande passante x(t). |X+(f)| est démontré ci-dessous. La pré-enveloppe x+(t) = x(t)+jxh(t).

L’enveloppe complexe L’enveloppe complexe de x(t), , est son équivalent en bande de basse. C'est-à-dire que le spectre de a la même forme que celui de x+(t), mais centré à f = 0. Alors,

L’enveloppe complexe Alors, nous définissons comme l’enveloppe complexe du signal en bande passante x(t). Nous voyons du spectre de que la largeur de bande de l’enveloppe complexe est B/2 pour un signal en bande passante avec largeur de bande B.

La forme en quadrature d’un signal en bande passante Alors Aussi Un signal en bande passante peut être exprimé dans la forme Où et

Exemple 1 x(t) = Acos(2pfct+f). Trouvez son enveloppe complexe ainsi que sa forme en quadrature. SOLUTION X(f) = (1/2)ejfd(f-fc)+(1/2)e-jfd(f+fc) X+(f) = ejfd(f-fc) Alors x(t) = xI(t)cos(2pfct)-xQ(t)sin(2pfct) = cos(f)cos(2pfct)- sin(f)sin(2pfct).

Exemple 2 y(t) = 100sin(2p(fc-f1)t)+500cos2pfct+100sin(2p(fc+f1)t). Y(f) = -j50d(f-fc+f1)+j50d(f+fc-f1)+250d(f-fc)+250d(f+fc)-j50d(f-fc-f1)+j50d(f+fc+f1). Y+(f) = -j100d(f-fc+f1) +500d(f-fc)-j100d(f-fc-f1) y(t) = 500cos(2pfct)+200cos(2pf1t)sin(2pfct)